3.2双曲线及其标准方程(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线及其标准方程(共26张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 11:43:58 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
3.2双曲线
3.2.1双曲线及其标准方程
一、回顾
1.椭圆的定义是什么？
2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
定义
图象
方程
焦点
a.b.c的关系
y
o
x
F1
F2
·
·
x
y
o
F1
F2
·
·
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
a2=b2+c2
F ( ±c,0) F(0, ± c)
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
情境引入
数 学 实 验（1）
[1]取一条拉链，
[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2
[3] 拉动拉链（M）思考拉链运动的轨迹
双曲线定义演示
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下.
情境引入
体验探究
如图3.2-1，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|， 那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
探究一 ： 双曲线的定义
如图3.2-2，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2l= |AB|.
总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数（|AB|<|F1F2|）.这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于| F1F2 |）的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线的定义
发现新知
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考2：若常数不是小于|F1F2|的非零常数, 那么点的轨迹又是什么？
发现新知
双曲线的一支
两条射线
2、若常数2a=0,轨迹是什么
3、若常数2a= |F1F2|轨迹是什么？
垂直平分线
1、平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数2a （ 2a小于 |F1F2| ）的点的轨迹是什么？
轨迹不存在
4、若常数2a> |F1F2|轨迹是什么？
探究二 ：双曲线标准方程的推导
体验探究
思考3：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.
设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0), 那么,焦点F1 , F2的坐标分别是(-c,0) ,(c,0)，又设||MF1|-|MF2||=2a（a为大于0的常数）.
x
y
O
F1
F2
M
体验探究
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c,0) , F2 (c,0)的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0) , F2 (c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
发现新知
思考4：如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1, F2的坐标分别为(0，-c)，(0， c)，a，b的意义同上，那么双曲线的方程是什么？
只要将双曲线的标准方程1的x，y互换，就可以得到它的方程
这个方程也是双曲线的标准方程.
F1
F2
y
x
o
M
相同处：x2、y2 的系数异号。a、b之间没有大小关系。
不同处：第一个式子x2 的系数为正，代表的是焦点在x轴上的双曲线。
第二个式子y2 的系数为正，代表的是焦点在y轴上的双曲线。
变1、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐标
解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标
∵ （m-1）>0,(2-m)<0, ∴m>1且m>2, ∴m>2.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
∵2a=6，2c=10.
∴a=3，c=5.
∴b2=52 -32 =16.
所以所求双曲线的标准方程是
练习
本题是用待定系数法来解的，得到关于待定系数a，b的方程组是一个分式方程组，并且字母的次数是2.解这种方程组时，利用换元法可以将它化为二元一次方程组;也可以将a2，b2 作为未知数，直接化为分式方程组。
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性；
2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
小结
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
定义 | | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2 | )
方程
图象
关系 c 2 = a 2 + b 2
B
B1
x
y
.
.
A
o
A1
A
B
o
A1
x
B1
y
.
.
课后作业:
P127习题3.2
第1题、第2题、第7题
Thank you for watching !
3.2双曲线
3.2.1双曲线及其标准方程
一、回顾
1.椭圆的定义是什么？
2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
定义
图象
方程
焦点
a.b.c的关系
y
o
x
F1
F2
·
·
x
y
o
F1
F2
·
·
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
a2=b2+c2
F ( ±c,0) F(0, ± c)
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
情境引入
数 学 实 验（1）
[1]取一条拉链，
[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2
[3] 拉动拉链（M）思考拉链运动的轨迹
双曲线定义演示
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下.
情境引入
体验探究
如图3.2-1，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|， 那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
探究一 ： 双曲线的定义
如图3.2-2，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2l= |AB|.
总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数（|AB|<|F1F2|）.这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于| F1F2 |）的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线的定义
发现新知
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考2：若常数不是小于|F1F2|的非零常数, 那么点的轨迹又是什么？
发现新知
双曲线的一支
两条射线
2、若常数2a=0,轨迹是什么
3、若常数2a= |F1F2|轨迹是什么？
垂直平分线
1、平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数2a （ 2a小于 |F1F2| ）的点的轨迹是什么？
轨迹不存在
4、若常数2a> |F1F2|轨迹是什么？
探究二 ：双曲线标准方程的推导
体验探究
思考3：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.
设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0), 那么,焦点F1 , F2的坐标分别是(-c,0) ,(c,0)，又设||MF1|-|MF2||=2a（a为大于0的常数）.
x
y
O
F1
F2
M
体验探究
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c,0) , F2 (c,0)的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0) , F2 (c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
发现新知
思考4：如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1, F2的坐标分别为(0，-c)，(0， c)，a，b的意义同上，那么双曲线的方程是什么？
只要将双曲线的标准方程1的x，y互换，就可以得到它的方程
这个方程也是双曲线的标准方程.
F1
F2
y
x
o
M
相同处：x2、y2 的系数异号。a、b之间没有大小关系。
不同处：第一个式子x2 的系数为正，代表的是焦点在x轴上的双曲线。
第二个式子y2 的系数为正，代表的是焦点在y轴上的双曲线。
变1、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐标
解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标
∵ （m-1）>0,(2-m)<0, ∴m>1且m>2, ∴m>2.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
∵2a=6，2c=10.
∴a=3，c=5.
∴b2=52 -32 =16.
所以所求双曲线的标准方程是
练习
本题是用待定系数法来解的，得到关于待定系数a，b的方程组是一个分式方程组，并且字母的次数是2.解这种方程组时，利用换元法可以将它化为二元一次方程组;也可以将a2，b2 作为未知数，直接化为分式方程组。
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性；
2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
小结
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
定义 | | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2 | )
方程
图象
关系 c 2 = a 2 + b 2
B
B1
x
y
.
.
A
o
A1
A
B
o
A1
x
B1
y
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.
课后作业:
P127习题3.2
第1题、第2题、第7题
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