九年级下册 第三章《圆》复习课
第三章《圆》复习课共分两个课时，第一课时，梳理本章知识脉络，一方面从知识点的角度整理“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”三大板块内容；另一方面结合本章典型例题归纳数学思想方法；第二课时，通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.
第三章 圆
《回顾与思考（第1课时）》
教学设计说明
一、学生起点分析
学生的知识技能基础
通过《圆》的整张内容的学习，学生能初步掌握圆的相关知识，对与圆有关的基本概念及定理有了清楚的认识.但本单元知识点较多，学生在知识体系建构以及应用定理解决实际问题方面均需要一个循序渐进的过程.
学生活动经验基础
在初中阶段各个单元的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了归纳总结所学知识的习惯.同时在以往的数学学习中学生已经具备了一定的分析问题的能力，且在解决具体问题时会运用转化等数学思想方法.
二、教学任务分析
本课为单元的复习课的第一课时，需要引导学生对所学知识进行系统梳理.同时针对圆的相关定理，配以典型例题，以习题讲练的形式进行，以点带面，将本单元中各种典型的图形展现，使学生对定理的应用得到进一步的深化.
为此，本节课的教学目标是：
1．逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”的知识网络体系；
2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法，特别是辅助线添加和转化思想等难点问题.
三、教学设计分析
本课共分三个环节：知识回顾、精选精练、归纳小结.
第一环节：知识回顾
在课前，先让学生自行回顾本单元内容，并尝试建构单元的知识框架，并在课堂上展示.之后老师给出参考框图如下：
对于每一个知识点，可以在利用学案填空的形式让学生回顾.
1. 圆的对称性
圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；
圆又是 中心 对称图形， _圆心____是它的对称中心.
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的两、条弧.
3. 圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧，两条弦，中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 .
4.圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等 ，都等于它所对弧的圆心角 度数的一半 .
直径所对的圆周角是直角 ，90°所对的弦是直径 .
5.与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
①点P在圆外 d > r；
②点P在圆上 d = r；
③点P在圆内 d < r.
（2）直线与圆的位置关系
①直线和⊙O相交 d < r；
②直线和⊙O相切 d = r；
③直线和⊙O相离 d > r.
6.圆的切线的性质
圆的切线 垂直于 过切点的半径；
符号语言：∵l是⊙O的切线，
切点为A，OA是⊙O的直径，
∴OA⊥l
7．圆的切线的判定
经过 半径 的外端，并且垂直于 这条 半径 的直线是圆的切线.
符号语言∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A,
∴ l是⊙O的切线.
8. 切线长定理
从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
符号语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB
9．圆的内接多边形
圆的内接四边形对角互补.
10．弧长与扇形面积的计算
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 ，
n°的圆心角所在的扇形面积为 .
本环节主要由学生自主填写，课堂上可以用大概5分钟左右时间让学生去完成，之后老师和同学以前回顾，并指出当中规范符号语言表达.
第二环节：精选精练
对于圆的各种定理，学生学习完本单元后往往只停留在表面的理解之上.对于定理的具体应用及之间的联系是不够深刻的.本环节设计了6道习题，从不同的角度对问题进行分析，以达到精练而有效的目的.
问题1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，∠B=_______．
『分析』本题考察的是同弧所对的圆周角的问题，题目只给出了部分图形，需要学生挖掘相关条件，因此，添加辅助性是一个关键.
方法一：连接OA，可知∠B=∠ACO，由等腰三角形性质易求∠ACO=120°；
方法二：延长CO交⊙O于D，连接DA，则∠B与∠D均为所对的圆周角，而CD为直径，可得∠DAC=90°，则∠B=∠D=90°-30°=60°.
教师点拨：通过辅助线的添加，建立同弧所对的圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所求对象的转换.
问题2.如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于______cm.
『分析』本题所求的对象——直径并非显性对象，需要构造出来，同时要与题目中的已知条件有联系，因此构造直角三角形是关键点和难点.
解：连接AO，并延长交⊙O于D，连接BD，
，
∴∠D=∠C=30° ，
∵AD是直径，∴∠B=90° ，
∴
教师点拨：当所求对象非显性存在时，可先将其作出，并寻找与之相关的已知条件.
问题3.已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F, 且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明.
『分析』本题需要先通过观察，对线段的数量关系进行判断，对于证明线段相等的问题，学生往往会选择使用较多的全等方法，此时可以提出对称形的思想方法，利用垂径定理的结论直接解答，当然，辅助性的添加是个难点.
解法一：连接OA、OB，可知△AOB为等腰三角形，因此可以找到全等三角形的三组条件OA=OB，∠A=∠B，AE=BF，所以△AOE≌△BOF，可得OE=OF.
解法二：过O作AB的垂线OG，由垂径定理可得AG=BG,又已知AE=BF，所以得EG=GF，从而知道OG为EF的垂直平分线，所以OE=OF.
教师点拨：图形呈轴对称性时，可利用垂径定理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角形的对称性求解.
问题4. 某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？请你用圆的相关知识加以解释.
『分析』本题需要先表示出圆环的面积，而大小圆的半径未知，但利用圆的切线可以将两半径OA与OC联系在一起，从而达到解决问题的目的.
解：连接圆心O与切点C，连接AO ，
∵OC⊥AB,
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2
∴S圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2 =π()2,
教师点拨：遇到相切问题经常需要作出过切点的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角形，并利用勾股定理求解三边.
问题5. 如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，且OO’圆O半径长两倍，则∠AOB=______.
『分析』本题的基本图形是切线长定理的模型，但问题却转化为求切线的夹角，此时连接过切点的半径是解决问题的关键.同时直角三角形的边角关系也是一个考察的知识点.
解：连接OA,OB，OO’，
∵OA,OB与⊙O′相切，
∴OA=OB，且O’A⊥OA，O’B⊥OB,
在Rt△AOO’中，∵，∴∠AOO’=30°
同理可得∠BOO’=30°，即∠AOB=60°
教师点拨：过圆外一点可作两条与圆相切的直线，该点与两切点的距离相等，且OO’平分∠AOB
问题6. 如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线.
『分析』本题是综合应用定理解决问题，表面是考察切线的判定问题，但实际需要使用辅助线，实现直角三角形的判定.
证明：连OC，如图，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COB=60°，
∵△COB为等边三角形，∴BC=BO，
而BD等于⊙O半径，
∴BC=BO=BD，
∴△OCD为直角三角形，即∠OCD=90°，
所以DC是⊙O切线．
教师点拨：求证圆的切线问题除了需要作出过切点的半径，还要注意观察图形的特征，例如包涵的特殊三角形的性质.
第三环节 课堂小结
1．本章知识结构和重点内容；
2．观察——猜想——关联；
3．辅助线的添加以及转化的数学思想在解决圆的问题时的相关应用.
四、教学设计反思
本课是在完成北师大九年级下《圆》的一整章教学后的一节复习课，但本课并没有过多地进行知识的归纳和直接的梳理，而是以习题讲练的形式进行，以点带面，将本单元中各种典型的图形展现，特别是突出辅助线添加和转化思想等难点问题，内容充实.学生通过自己的练习发现每个题目均有多种不同的方法，并发现其之间的联系，实现了巩固知识，突破难点的目的.
为了更高效的复习，可以选用学案的形式，先以图表的形式展示了《圆》知识结构，并通过填空的形式重温了重要的定理.之后由学生随堂动笔解决问题，并由学生自己提出解答方案，将课堂还给学生，一题多解，探索效果较好.但实际教学中的时间有限，对于转化思想的几个难题较作更深入的探究，老师也会急于提示相关的方法.实际上学生可能有更多的解答方法，甚至可以提出更多的新的问题，这需要在教学中为学生创设更宽广的空间.
圆
基本概念与性质
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
定义
对称性
点与圆的位置关系
弧长
确定圆的条件
圆周角与圆心角的关系
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
直线与圆的位置关系
圆的内接四边形
扇形面积
切线长定理
内接正多边形
·
O
A
B
D
E
C
·
O
A
B
A′
B′
·
A
C
B
O
r
·
O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
·
O
l
A
A
P
O
.
B
A
B
C
D
·
O
n°
1°
B
A
O
C
D
B
A
O
C
B
C
O
A
D
O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
G
O
A
B
C
O
A
B
O’
O
A
B
C
D
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1 / 7第三章 圆
《回顾与思考（第2课时）》
教学设计说明
一、学生起点分析
学生的知识技能基础
通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合《圆》复习课第一课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”的知识网络体系.
学生活动经验基础
在圆的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了数学思想方法，如在探索圆周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想，研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之间关系定理时体会化归与转化思想等.同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多探究学习的过程，具有了一定的探究学习的经验，具备一定的提出问题、分析问题的能力.
二、教学任务分析
通过复习课第一课时内容的学习，学生对《圆》的知识网络体系进行了初步的梳理与构建.本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反思，通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中.为此，本节课的教学目标是：
1．通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出问题，分析问题的能力；
2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法.
3．在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.
三、教学设计分析
本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳.
第一环节：问题开放
如图：已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，CD＝，∠ACB＝30 .
请同学们尝试提出问题.
『分析』本题改编自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.如：
问题1：求证点D是BC的中点；
问题2：求⊙O的半径；
问题3：求点O到BD的距离；
问题4：求证DE是⊙O的切线；
……
学生提出问题后，分组并进行求解或证明.
问题1：求证点D是BC的中点；
『分析』本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接AD，构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证. 本题辅助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案，本题也较好地体现了转化的思想方法.类似地，学生还可以提出：求证AD平分∠CAB.
问题2：求⊙O的半径；
『分析』利用含30 角的直角三角形边角关系，勾股定理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了圆与三角形知识的综合应用.
类似的，学生还可以提出：求DE、AE、AD的长度，解题思路类似.
问题3：求点O到BD的距离；
『分析』本题通过作OF⊥BD,构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可求得结论.
教师点拨：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理，请同学们谈一谈学习这部分内容的知识线索？
——圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研究了圆周角与圆心角的关系.
教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富，但只要我们把握了学习的基本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握.本章还研究了与圆有关的位置关系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？
问题4：求证DE是⊙O的切线
『分析』本题主要考察直线与圆的位置关系，证明方法多种，涉及知识面较丰富，是一个很有价值的问题.为此，本题先由学生独立完成，再进行分组讨论，讨论、比较不同的证明方法，总结规律.
证法1：由于已知点D为圆上一点，要求证DE是⊙O的切线，根据切线得判定定理，可构造辅助线OD，并证明半径OD⊥DE.具体方法如下：连接DO、AD，因为AB是直径，所以∠ADB＝90 ，即∠1＋∠4＝90 ；又因为DE⊥AC，所以∠4＋∠C＝90 ，可得∠1＝∠C＝30 .因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30 ，故∠3＝90 －∠B＝60 ；又因为OD＝OA，所以∠2＝∠3＝60 ，所以∠ODE＝∠1＋∠2＝90 ，即半径OD⊥DE，从而得证DE是⊙O的切线.
教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的辅助线作法，构造半径OD，通过证明OD⊥DE，从而得证DE是⊙O的切线.还有其它证明方法吗？
证法2：可以通过证明OD∥AC，由∠ODE=∠DEC=90 ，证明DE是⊙O的切线.具体方法如下：连接DO，因为OB=OD，AB=AC，所以∠5=∠B，∠C=∠B，故∠5﹦∠C，所以OD∥AC；又因为DE⊥AC，所以∠ODE﹦∠DEC＝90 ，即半径OD⊥DE，所以DE是⊙O的切线.
教师点拨：本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在几何证明过程中，知识综合应用的优越性.
证法3：还有更简洁的方法！由于BO=AO，BD=CD，利用三角形中位线即可得证OD∥AC，便易证DE是⊙O的切线.
『分析』通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展，进一步丰富的几何知识体系的构建.教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法.
第二环节：变式练习
变式：如图，已知⊙O的直径AB＝2，∠ABC＝30 ，BC＝2，D是BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系.
请判断下列解题过程是否正确？
解：连接OD、AD,
∵AB是直径
∴∠ADB＝90
∵AO=BO
∴OD＝=AO
∴点D在圆上
『分析』本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系.该题解题过程为看似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现∠ADB并没有条件确定圆周角，条件不完备，解法错误.本题应利用勾股定理计算出OD的长度，再与半径比较作出判断.
解：连接OD，作OF⊥BC于点F
在Rt△BOF中，∠B＝30 ，OF＝OB＝
∴BF＝
∵D是BC中点，BC＝2，
∴BD＝BC＝
∴DF＝BD－BF＝
在Rt△DOF中，DO＝
∴OD＝OB
∴点D在圆上
第三环节 课堂小结
1．通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题能力；
2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.
四、教学设计反思
本课借用一道课后作业题作为研究对象，请学生从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.由于问题的开放性，学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.通过教师引导，学生参与提问，并尝试解决的方式，充分调动学生学习的积极性，体现了学习的自主性.学生编制题目时，需要思考回忆本章知识的线索，对照过去的问题，是一种主动参与，思维是开放的.通过这样的参与，有助于学生对所学知识的进一步理解与掌握，有助于把章节知识内化到学生原有的认知体系中，并获得新的意义建构，符合新课程教学的基本理念.课堂上学生还可以提出了许多精彩的问题，如求弧长问题、求圆心角问题等，但由于时间所限，部分题目只能留待课下继续完成，面对当前课改提出的探究式教学、开放式教学模式，如何掌控时间的分配，如何引导学生学会发问，如何对学生提出的开放性问题进行有效点拨，如何优化资源的使用等都是值得进一步研究与思考的课题.
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