沪科版数学八年级下册 19.2.1 平行四边形的边和角的性质 同步课件 (共31张PPT)

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第19章 四边形
19.2 第1课时 平行四边形的边和角的性质
情景导入
观察下图，平行四边形在生活中无处不在
你还能举出其他的例子吗？
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知识点一：平行四边形的概念
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号语言：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD
记作 ABCD ( 要注意字母顺序)，读作“平行四边形ABCD”.
A
B
D
C
3.AB与CD，AD与BC叫做对边；
∠A与∠C，∠B与∠D叫做对角.
A
B
D
C
“对边”与“对角”是一组角，注意与三角形中“角的对边”的区别
4.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图线段BD.
平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
反过来，∵
∴四边形ABCD是平行四边形．
例题讲解
例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEKG, ABHG, AEFD, GKFD,
BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD.
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知识点二：平行四边形的边和角的性质
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 旋转180°，你发现了什么
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
根据刚才的旋转，平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你们找出他的对称中心并验证吗？
□ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说□ABCD是 中心对称图形，两条对角线的交点O是它的对称中心.
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗
A
B
C
D
A
B
C
D
测得AB=DC，AD=BC.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗
A
B
C
D
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
通过观察和度量，我们猜想：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
已知：四边形ABCD中，AB ∥ CD，AD∥BC.
求证:（1）AB=CD,AD=BC；
（2）∠AD=∠C,∠B=∠D.
A
B
C
D
连接平行四边形的对角线，从而将四边形问题转化为三角形问题.充分体现了转化的数学思想.
证明：如图，连接AC.
∵AB ∥ CD，AD∥BC,
∴∠1=∠4，∠2=∠3.
在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D.
∵∠BAD=∠3+∠4，∠BCD=∠1+∠2，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
2
3
4
边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB＝CD，AD＝BC；
∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
A
B
C
D
有其他的证法吗？
例题讲解
例2 已知 ： 如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2，求CD的长.
(2)如果∠AEB= 40°，求∠C的度数.
解：(1)∵BE平分∠ABC，并且AD ∥BC，
∴∠ABE=∠EBC= ∠AEB. ∴AB=AE=2.
又CD=AB， ∴CD=2.
(2)由(1)知∠AEB = ∠ABE = 40°，
∴∠A=180°- (40°+40°)=100°.
又∵∠C=∠A，
∴∠C=100°.
A
B
C
D
E
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知识点三：平行线间的距离
l1
l2
A
C
B
D
E
F
┐
┐
已知直线l1 // l2，AB//CD
则AB=CD
依据：平行四边形的判定和性质
AE=CF
即两条平行线中一条直线上任一点到另一条直线的距离都是相等的（平行线间的距离）
A
B
a
b
A
B
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
两点间的距离，点到直线间的距离，平行线间的距离，这三者之间有什么区别和联系吗？
例题讲解
例3 已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=5,∠B=45°.
求直线AD和直线BC之间的距离，
直线AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离.
∵在Rt △ABE中， ∠AEB=90°， ∠B=45°，AB=4，
∴∠B=∠BAE ，∴BE=AE.
又∵AE2+BE2=AB2，∴2AE2=16. ∴AE=
同理：AF=
所以直线AD和直线BC之间的距离为
直线AB和直线CD之间的距离为 .
例4 已知：如图， 过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，
这三条直线两两相交，得△ A′B′C ′ .
求证: △ABC的顶点分别是△ A′B′C ′三边的中点.
分析：如图，要证明点A是B′C ′的中点，只要证明AB′= AC ′.
A
B
C
C'
B'
A'
证明：∵AB ∥B′C，BC ∥AB′ ，
∴AB′= BC .
同理： AC ′=BC. ∴ AB′=AC ′.
同理：BC ′=BA′ ，CA′=CB′ .
所以△ ABC的顶点分别是△ A′B′C ′三边的中点.
A
B
C
C'
B'
A'
随堂演练
1. 如图， ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(　　)
A．13
B．14
C．15
D．18
D
2.如图，已知a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，
则下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b间的距离就是线段CD的长
D
3.在 ABCD中,AD=3 cm,AB=2 cm,则 ABCD的周长是(　　)
A.10 cm B.6 cm C.5 cm 　　D.4 cm
A
4. 如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，
若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
A
5.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S □ABCD= .
40cm2
(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是 .
20cm2
6. 如图所示,在 ABCD中,若∠A∶∠B=1∶3,求∠D的度数.
解:在 ABCD中,∠D=∠B,∠A+∠B=180°.
∵∠A∶∠B=1∶3,∴∠B=180°× =135°,
∴∠D=∠B=135°.
A
B
D
C
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC.
∴ ∠CDE= ∠DEA，∠CFB= ∠FBA.
又∵DE，BF分别平分
∠ADC，∠ABC,
∴∠CDE= ∠ADE，∠CBF= ∠FBA,
∴ ∠DEA= ∠ADE，∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD, CF=BC,
∴AE= CF.
课堂小结
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
边：两组对边分别平行，相等
角：两组对角分别相等，邻角互补
平行线间的距离和性质
应用：利用等底（或同底）等高（或同高）思考