沪科版数学八年级下册 19.3.3 正方形 同步课件 (共25张PPT)

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第19章 四边形
19.3.3 正方形
知识回顾
问题1 平行四边形、矩形、菱形都各有哪些性质？
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等
边：
同上
具有平行四边形所有性质
菱形的性质
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
同上
具有平行四边形一切性质
角：
问题2 你是如何判定是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
情景导入
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
获取新知
知识点一：正方形的性质
邻边相等
矩形
正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
正方形既是矩形又是菱形．　
一个角是直角　
一组邻边相等　　
平行四边形 　
矩形 　
菱形 　
一组邻边相等　　
一个角是直角　
正方形　
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊的平行四边形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角；
2.四条边相等，对边平行；
3.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
例题讲解
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
知识点二：正方形的判定
正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊的平行四边形.所以有：
正方形
+
先判定菱形
矩形条件(二选一)
一个直角
对角线相等
正方形
+
先判定矩形
菱形条件(二选一)
一组邻边相等
对角线垂直
平行四边形
一组邻边相等
一内角是直角
正方形
例题讲解
例2 如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
随堂演练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
B
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角形互相垂直平分
B
3. 如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(　　)
A．45° B．22.5°
C．67.5° D．75°
B
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中正确的是______________________（只填写序号）．
①③或①②或④②或④③
5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△BCF；
(2)AE⊥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°.
在△ABE和△BCF中，AB=BC,∠ABE＝∠C, BE=CF
∴△ABE≌△BCF.
(2)如图，设AE与BF交于点O.
∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠CBF＋∠AEB＝90°，
∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE是矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，∴矩形DFAE是正方形．
课堂小结
正方形的性质
四条边都相等
两组对边分别平行
两条对角线互相平分
边
对角线
角
两组对角分别相等，邻角分别互补
四个角都是直角
两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
对角线相等
正方形
5种识别方法
三个角是直角
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形的判定
四条边都相等