4.2.1 等差数列(共25张PPT)

(共25张PPT)
4.2.1 等差数列
1.理解等差数列的概念；(重点）
2.掌握等差数列的通项公式；（重点）
3.了解等差数列的通项公式的推导过程及思想方法.（难点）
请看下面几个问题中的数列.
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
1.北京天坛圈丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25，24，23，22，21. ③
如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率。
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
38，40，42，44，46，48. ②
25，24，23，22，21. ③
问题1：请你说出这几个数列的后面一项是多少？你的依据是什么？
问题2：这几个数列的共同特征是什么？
观察，分析，
交流，讨论
学生活动1：
问题3：以上数列是否是等差数列？
若是，公差是多少？
公差可以是正数,负数，
也可以是0.
每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征）.
公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
“从第2项起”
探究性问题1
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例如，数列①的公差d=9.
1.数学表达式:an-an-1=d (n≥2).
3.取值范围：d∈R.
2. d为同一个常数，如2，3，5，9，11就不是等差数列.
等差数列的定义
注意：
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
思考
对于①，我们发现18=9+9，27=18+9，…，81=72+9，
换一种写法，就是18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.
如果用 {an}表示数列①，那么有
a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②~④也有这样的取值规律.
探究性问题2：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2， ，4；
（2）-8， ，0；
（3）a， ，b.
等差中项的
相关知识
3
-4
？
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
探究：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
分组讨论学习，
探究等差数列的
通项公式
猜想：
（1）等差数列8，5，2,…的第10项，第30项，第40
项？
（2）已知等差数列的首项为 ，公差为 ，请根据等差
数列的特点，猜想 ？ ？
学生活动2
等差数列的通项公式：
迭加法
观察，发现
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
思考
由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项是一次函数f(x) =dx +(a1-d) (x=R) 当x=n时的函数值，即an = f(x).
如图，在平面直角坐标系中画出函数f(x) =dx +(a1-d)的图象，就得到一条斜率为d，
截距为a1-d的直线.在这条直线上描出点(1,f(1),), (2,f(2),), … , (n,f(n),) , … ,就得到了等差数列{an}的图象.
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
事实上，公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x) =dx +(a1-d)上.
反之，任给一次函数f(x) =kx +b (k,b为常数)，则f(1) =k +b， f(2) =2k +b, … , f(n) =nk +b,…构成一个等差数列{nk+b}，其首项为(k +b) ,公差为k.
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an-an-1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项。
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.
解：
代入公式
在等差数列｛an｝中，
1.已知a1=2,d=3,求a10.
解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
2.已知a1=3,an=21,d=2,求n.
解：21=3+(n-1)×2, ∴n=10.
3.已知a1=12,a6=27,求d.
解：a6=a1+5d,即27=12+5d, ∴d=3.
4.已知d= a7=8,求a1.
解：a7=a1+6d, 8=a1+6×( ), ∴a1=10.
5.求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.
解：a1=3,d=4. an=3+4(n-1)=4n-1，
所以a4=15，a10=39.
6.100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
答案：是， 第15项.
7.-20是不是等差数列0,-3.5,-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：不是，理由如下：
a1=0,d=-3.5.
∴-20不是这个数列中的项.
∵n∈N*，
-20=0+(n-1)×(-3.5)，
1.等差数列的定义
2.通项公式及其应用
你都掌握
了吗？
一劳永逸的话，有是有的，而一劳永逸的事却极少。 ——鲁迅
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