4.2.1 等差数列的性质及应用(共29张PPT)

(共29张PPT)
等差数列的性质及应用
1.理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数
列是否是等差数列；(重点）
2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用；（难点）
3.掌握等差数列的有关性质．
例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元。已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}。由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（220×5%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元。可以利用{an}的通项公式列不等式求解。
例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元。已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
等差数列的性质(一)
an=3n+5
a1=8，d=3
1
3
4
14
118
2
17
an=12-2n
a1=10，d=-2
1
3
4
8
4
6
2
10
y=3x+5
y=12-2x
等差数列的性质(一)
1、若一个数列的通项公式为n的一次型函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,公差为p .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.
常数列的等差数列通项公式为常值函数。
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.
如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.
如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
即：
等差数列的性质(二)
思考题:已知三个数成等差数列，和是12，积是48，求这三个数.
设数技巧
已知三个数成等差 数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d , a ,a+d
四个数怎么设？
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；
(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差数列的设法及求解
如何判断一个数列为等差数列
答：成立
等差数列的性质(三)
可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多
例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形。你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
思考：
例4 在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20.
(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.
解：由a1+a20 =a6+a15=a9+a12 及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.
解：a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15.
熟记性质
(3)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
解:a4+a5+a6+a7=56，∴a4+a7=28，①
又a4a7=187②， 联立①②解得
a4=17，
a7=11，
a4=11，
a7=17，
或
∴d= -2或2, 从而a14= -3或31.
例5.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
（1）求数列{bn}的通项公式.
（2）b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
分析：(1){an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项。
例5.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
（1）求数列{bn}的通项公式.
（2）b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn =4n-3.
令4n-3=29，解得n=8.
所以， b29是数列{an}的第8项.
思考：
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，…，an是等差数列
首项为am+1，公差为d，项数为n-m
等差数列的性质(四)
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，…是等差数列,首项为a1，公差为2d.
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，…是等差数列,首项为a2，公差为2d.
等差数列的性质(四)
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？
a7，a14，a21，…是等差数列,首项为a7，公差为7d.
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，…是等差数列,首项为ak，公差为kd.
（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？
是等差数列，公差为4d.
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{can}也为等差数列，公差为 ____ 。
3、若数列{an}与{bn}分别是公差为d1、d2等差数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列，{pan+qbn}也为等差数列.
cd
2、若数列{an}为等差数列，公差为d， {c+an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；
d
等差数列的性质(四)
例题分析
重点题型：证明一个数列是等差数列
例题分析
重点题型：证明一个数列是等差数列
1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则
a等于( )
A. -1 B. 1 C.-2 D. 2
B
2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).
提示:
2. （2012 福建高考）等差数列{an}中，
则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
提示:
3. 在等差数列{an}中,
(1)若a59=70，a80=112，求a101；
(2)若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q.
（一）等差数列的基本性质
1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.(m,n,p,q∈N*)
2.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做
a与b的等差中项.
3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.
4.两个等差数列{an},{bn}的和、差还是等差数列,即{an±bn}也是等差数列，{pan}、{an+c}也是等差数列.
（二）等差数列的证明
1.利用定义;
2.利用等差中项的性质;
3.利用通项公式是一次函数的性质.
要追求真理，认识真理，更要依赖真理，这是人性中的最高品德。 ——培根
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