4.3.1 等比数列的概念(共27张PPT)

(共27张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
1.理解等比数列的概念；(重点）
2.掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数列的等比关系，提高数学建模的能力．（重点、难点）
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
古巴比伦人用60进制记数，这里转化为十进制.
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果将“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4，8，16,32,64, . ⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
引入
举例
a(1+r)， a(1+r) 2， a(1+r) 3， a(1+r) 4， a(1+r) 5. ⑥
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
如果用{an}表示数列①，那么有
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
2，4，8，16,32,64, . ⑤
a(1+r)， a(1+r) 2， a(1+r) 3， a(1+r) 4， a(1+r) 5. ⑥
2.类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
思考
1.这几个数列的共同特征是什么？
从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q(q≠0).
递推公式：
探究一：等比数列的定义
（q≠0）
为什么？
例如，数列①~⑥的公比依次是
思考：
(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
常数列是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，
奇数项和偶数项分别同号。
注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.
巩固练：下列数列中能否确定是等比数列，若是，公比为多少？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；
②1，2，4，6…；
③
④ 2a，2a，2a，…，2a.
⑤已知a1=2，an=3an+1
√
√
√
×
×
非零的
常数列
q=-1
q=1
若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？
结论：G2=ab
G叫做a,b的等比中项
探究二、等比中项
练一练:
(1)4与9的等比中项是______
(2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x= ______
（1）只有同号两数才有等比中项
（2）两数的等比中项有2个
推导一：归纳法
探究三：通项公式
不完全归纳法
推导二：累乘法
两边分别相乘，可得：
累乘法
由等比数列的定义，有
等比数列的通项公式
在等比数列{an}中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an.
等比数列通项公式的推广公式：
思考：等比数列的通项公式与我们学过的哪种函数有关系？
例1
例1
例2
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
例3
1.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.
2.已知{an}是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.
3.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
3.等比中项：有两个，
2.等比数列的通项公式：
累乘法
推导方法：
幸运所需要的美德是节制，而厄运所需要的美德是坚忍，后者比前者更为难能可贵。
——培根
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