4.3.1 等比数列的性质(共28张PPT)

(共28张PPT)
4.3.1 等比数列的性质
1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；
(重点、难点）
2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．
1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
3.等比中项：有两个，
2.等比数列的通项公式：
累乘法
推导方法：
(1) 1，2，4，8，16，…
观察数列
(3) 4，4，4，4，4，4，4，…
(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比 q=2
公比 q=1
公比 q=-1
等比数列的图象1
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
通过图象观察性质
等比数列的图象2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
等比数列的图象3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
等比数列的图象4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
an-an-1=d （n≥2）
　 等差数列　　　　　等比数列
　　
常数
减—除
加—乘
加-乘
乘—乘方
迭加法
迭乘法
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定义
数学表
达式
通项公式证明
通项 公式
,
类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质1： an=am+(n-m)d
性质2：若an-k,an,an+k
是{an}中的三项 ，
则2an=an+k+ an-k 猜想2：
性质3： 若n+m=p+q,
则am+an=ap+aq
猜想1：
若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项,则
猜想3：若n+m=p+q，则
性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.
(可推广)
性质5: 若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.
猜想5：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn · dn}是公比为q·q′的等比数列.
猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 (可推广)
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
当q>1,a1>0或0当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;
当q<0时, {an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0.
(3)an=amqn-m(n,m∈N*).
(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.
(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{anbn }是公比为qq′的等比数列.
(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列.
例1
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a(1+r) ， a(1+r) 2，…构成等比数列.
例2
用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
例4
用10000元购买某个理财产品一年.
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.
例3
例5
思考
某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
例4
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}，则各月不合格品的数量构成数列{anbn}.由题意可知，数列{an}是等比数列，{bn}是等差数列.由于数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
例4
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .
⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=_____.
-1 458
6
30
480
或-30
5.
的等比中项是___________.
6.如果三角形的三边成等比数列，则公比 q 的取值范
围是___________________.
7.已知正数等比数列
中，
8.设数列
是等比数列，且
则
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =___________.
证明或判断一个数列为等比数列的方法:
等比数列的性质:
1.an=amqn-m（n,m∈N*）
2.若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*）
3.等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
4.a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列.
5.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.
星星——只能白了青年人的发，不能灰了青年人的心。
——冰心
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