4.2等差数列(一）(共25张PPT)

(共25张PPT)
2.2等差数列（一）
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,
简记作:{an}
2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式
3.数列的分类
(1)按项数分：
有穷数列，
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
无穷数列
摆动数列，
常数列。
4.数列的实质
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下一次的大致时间吗？
2062
相差76
引入新课
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
8844.43米
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
减少6.5
…
高度(km)
温度(℃)
1
2
3
28
21.5
15
7
-11
4
5
8.5
2
6
-4.5
9
-24
…
（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062
请观察：
请问：它们有什么共同特点？
（2） 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24
（3）1，1，1，1， ··· .
共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.
d=76
d=-6.5
d=0
是
不是
不是
练习1
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，6，…
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
想一想
小结：
1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断 an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
思 考
( 3 ) , ( ) ,
等差中项
如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：
不难发现，在一个等差数列中，从第
2项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项与后一项的等差中项.
数列：1，3，5，7，9，11，13…
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
问题情景
观察数列：1，3，5，7，…
思 考：
在数列中a100=？我们该如何求解呢？
要是有通项公式该有多好啊！
探究1：等差数列的通项公式（迭代法）
如果一个数列
…，
…
通项公式：
归纳得:
…
等差数列的通项公式（累加法）
共n-1个式子
an-a1=(n-1)d
上述各式两边同时相加，得：
通项公式：
等差数列的通项公式
在等差数列通项公式中，有四个量，
知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .
例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析：
（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20。
解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析：
（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。
题后点评
求通项公式的关键步骤：
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
解得：
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
3. -20是不是等差数列0，-3.5，-7 …中的项；
解得：
解得：
4 . 已知等差数列 ， 求：
解得：
练一练
探究2：已知等差数列{ }中，公差为d，
则 与 (n , m ∈ N*,m≠n) 有何关系？
解：由等差数列的通项公式知
①－②
①
②
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
推广后的通项公式
(n-m)d
例2: 在等差数列{an}中
(1) 若a59=70，a80=112，求a101；
(2) 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；

(3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.
d=2,
a101=154
d= -1,
ap+q=0
d= 4,
n=72
(m≠n)
1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是同一常数。
2、等差中项的概念。三个数成等差数列，中间的数称为等差中项
课堂小结：
这节课主要讲了以下三个问题：
3、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。以及an= am+(n-m) d