4.2.1 等差数列的概念（1）（17张PPT）

4.2.1 等差数列的概念
第一课时
情景引入
通过前面的学习，我们了解了数列的一般概念后,我们要研究一些具有特殊变化规律的数列,建立它们的通项公式和前n项和公式,并运用它们解决实际问题和数学问题,从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面,我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
请看下面几个问题中的数列.
探究新知
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81. ①
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. ②
3.测量上海市垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度,得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位:℃)依次为
25,24,23,22,21. ③
思考：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？
第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
解惑提高
1.等差数列：一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;
2.等差数列定义的符号语言：

一、等差数列的定义：
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示.
（或 an+1-an = d n∈N* ）
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数.
1．判断题
(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ）
(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ）
(3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列（ ）
(4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列（ ）
小试牛刀
√
?
√
?
×
?
×
?
2. 求出下列等差数列的公差.
（1）1，6，11，16，……
（2）-8，-6，-4，-2，……
（3）10，5，0，-5，……
（4）21，19，17，15，……
（5）3，3，3，3，……
d=5
d=2
d=-5
d=-2
d=0
思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2 ,___, 4；(2)－1 ,___, 5；(3)a ,_______, b；(4)0 ,___, 0.
探究新知
3
2
0
????+????????
?
解惑提高
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.
二、等差中项
这三个数满足关系式：
A=????+?????2
?
若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(　　)
小试牛刀
A.-1　　B.-32　　C.1　　D.32
?
C
探究新知
思考：若已知等差数列{an}的首项????????和公差????，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
?
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+(n-1)d (n ≥ 2)
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法1： 由等差数列的定义可得
不完全归纳法
an+1-an=d
探究新知
思考：若已知等差数列{an}的首项????????和公差????，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
?
∴a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d (n ≥ 2)
上述各式两边同时相加，得
an-a1=(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
累加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
an+1-an=d
∴ an=a1+(n-1)d
三、等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
解惑提高
an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．
点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上.
思考 我们知道数列是自变量为n的函数，
你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
小试牛刀
在下列等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n
解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10
（3）已知a1=12，a6=27，求d
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3
（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10
an=a1+(n-1)d
典型例题
例1. (1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数列{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,······的第20项；
(3)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？
解：(1)由已知得，a1=3,d=a2-a1=1-3=-2,
所以，数列{an}的公差为-2，首项为3.
　（3）由题意得，a1=-5，d=-4，
∵an=a1+(n-1)d=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1
令 -4n-1= -401
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项
（2）依题意得，a1=8，d=5-8=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
等差数列通项公式的应用
解惑提高
求等差数列通项公式的求法与应用技巧

1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.

2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.

3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.
例2. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝????????????????????+????.
(1)数列{????????????}是否为等差数列？说明理由；(2)求an.
?
典型例题
等差数列的判定与证明
用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为:

(1)作差an+1-an.

(2)对差式进行变形.

(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
解惑提高
巩固练习
在数列{an}中, an=pn + q (p、q是常数) ，证明数列{an}是等差数列.
证明:an+1-an=[p (n+1) + q ]-(p n + q )
= p (n∈N*),
故该数列为等差数列.
结论：数列{an}是等差数列? an=pn + q (p、q是常数).
?
课堂小结
1.等差数列定义：an-an-1=d （n≥2）或
an+1-an=d (n∈N*)
3 通项公式
an =a1+(n-1)d
{an}为等差数列 ?
4. 等差数列的判断
an-an-1=d （n≥2）或
an+1-an=d (n∈N*)
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
2.等差中项
这三个数满足关系式：
A=????+?????2