4.2.1 等差数列的概念（2）（16张PPT）

4.2.1 等差数列的概念
第二课时 等差数列的性质
1.等差数列的定义：
2. 通项公式：
{an}为等差数列 ?
4. 等差数列的判断
an+1- an=d
an=p n + q (p、q是常数)
?
复习巩固
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
3.等差中项：
这三个数满足关系式：
A=????+?????2
?
知识拓展
等差数列的性质
思考：设 {an}是公差为d的等差数列，那么????????=????????+_____ d.
?
解：∵ an =a1+(n-1)d ①
am =a1+(m-1)d ②
由①-②得， an - am =(n-m)d
∴ an =am+(n-m)d
(n-m)
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
性质1 an =am+(n-m)d
且d=??????????????????????????
?
应用举例
例1 在等差数列{an}中， a5=10，
（1）若a12=31，求a25 ；
（2）若d=2，求a10.
a10=20
－7
2. 若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2， b3，y各成等差数列，那么?????????????????????????????????? =______.
?
1. 等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______
巩固练习
????????
?
a25=70
应用举例
例2 已知数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*且m＋n＝p＋q，求证：am＋an＝ap＋aq.
证明：设数列{an}的公差为d，则
am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因为m＋n＝p＋q，所以
am＋an＝ap＋aq.
知识拓展
等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
性质1 an =am+(n-m)d
d=??????????????????????????
?
性质2 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
特别地，m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
巩固练习
在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
10
15
例3 在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
d= _2
a14= _3
d= 2
a14= 31
或
不能
解： a4+ a17 = a6+ a15
= 19+46=65
应用举例
知识拓展
等差数列的其他性质
思考：已知等差数列{an},{bn},则下列数列是不是等差数列？
①将等差数列{an}中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列，
是等差数列.
②取出等差数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列，
是等差数列.
③在等差数列{an}中每隔m项取出一项,组成一个新的数列，
是等差数列.
④数列{an+bn}，
是等差数列.
{an-bn}，
{an+c}，
{kan}，
{kan+mbn}，
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
应用举例
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.
已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数?
巩固练习
三个数分别为3,5,7或7,5,3.
例5 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由.
解： (1)设数列{bn}的公差为d’ ,则
应用举例
b1= a1=2, b5 = a2=10
d’ =??????????????????????????
?
=?????????????????=2
?
∴ bn= b1+(n-1) d’
= 2+(n-1) 2=2n
(2) 由已知，an= a1+(n-1) d=2 +(n-1) 8=8n-6
b29=58
令8n-6=58
解得 n=8
所以， b29是数列{an}的第8项.
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
应用举例
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公式列不等式求解.
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
应用举例
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
于是an = a1 +(n-1)(-d)=220-nd
根据题意,得
????????????≥11????????1<11
?
即??????????????10????≥11?????????????11????<11
?
解得 19 ?
所以,d的取值范围为19解惑提高
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.
所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
? a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2
答：需要支付车费23.2元。
巩固练习
课堂小结
等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
性质1an =am+(n-m)d
d=??????????????????????????
?
性质2 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
特别地，m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap