4.2.1等差数列的概念(共20张PPT)

(共20张PPT)
4.2.1等差数列的概念
(第一课时)
复习
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25,24,23,22,21. ③
引入
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... ④
引入
① 9,18,27,36,45,54,63,72,81.
② 38,40,42,44,46,48.
③ 25,24,23,22,21.
④ ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...
对于①，我们发现
18=9+9,27=18+9....81=72+9,
换一种写法，就是
18-9=9,27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9,a3- a2 =9,...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—④也有这样的取值规律。
思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—④的取值规律吗？
探究
新知
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an+1 - an=d(d为常数，n∈N*)
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
(2) 3，3，3，3，3，3
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
(4)95，82，69，56，43，30
(5) 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
(6) 1，－2，3，－4，5，－6
(7)
a1=3,公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－3
×
×
练习
a1=1 公差 d=
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4
（2）-12，( ) ，0
3
-6
练习
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。
由等差数列的定义可知
等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。
由等差数列的定义可知
新知 等差中项
巩固新知
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个数列通项公式？
解：
探究：
归纳可得：
当 时，上式为 ，即上式当 时也成立。
因此，首项为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
新知
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
（2）38,40,42,44,46,48...
（3）25,24,23,22,21.
(1)an=9+(n－1)×9=9n
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
(3)an=25+(n－1)×(-1)=－n+26
结论：等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
探究、新知
等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，
这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，
f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
问题：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的
哪一类函数有关？
例1.(1)已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n,求{an}公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2....的第20项
分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，
由an – an－1 =d即可求出公差d;
例题
(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
例1.
解:
例2.－401是不是等差数列 －5,－9,－13,…,的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401,解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
例题
在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
解得
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一
练习
等差数列
an=a1+(n-1)d
直线上均匀排开的一群孤立的点
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差:d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4图象:
课堂小结
3等差中项：a,A,b成等差数列 2A=a+b
作业
P15 课本 练习 3、4、5
小结
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
3.由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。即
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一.