4.3.1等比数列 学案

4.3.1等比数列
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【使用说明】课前完成学案，牢记基础知识，掌握基本题型；课上小组合作探究，达疑解惑。
【学习目标】
(1)理解等比数列的定义；(2)掌握等比数列的通项公式；(3)掌握等比中项的概念；
(4)掌握等比数列的性质；(5)掌握证明等比数列的方法。
【学习过程】
问题情境：
(1)1，2，4，8，16，32，。。。。。 (2)1，，，，，。。。。。
(3)1，，，，。。。。。 (4)，，，，。。。。。。
有什么共同特点？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于 。
一、等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于 ，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 （常用字母“q”表示（q≠0））。
用递推公式表示为： 。
思考：(1)等比数列中有为0的项吗？ (2)公比为1的数列是什么数列？
(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？(4)常数列都是等比数列吗？
注：(1)隐含： ；(2) q= 1时，为 ；
(3)既是等差又是等比数列的数列： 。
探究：若一等比数列的首项是，公比是q，则据其定义可得：
； ； ；。。。。。。。。
由上述关系还可得：
二、等比数列的通项公式：
例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
例2：求下列各等比数列的通项公式：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
三、等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称G为a与b的等比中项。
即 （注意两解互为相反数，且同号两项才有等比中项）。
用递推公式表示为：
思考：(1)是等比数列，成立吗？
(2)是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？
(3)是项数相同的等比数列，、、、、是等比数列吗？
四、等比数列的性质：
1、等比数列中，若，则 ；
2、等比数列中，若，则 ；
3、有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于其首末两项之积；
即： 。
例3：(1)在等比数列中，，，求。
(2)在等比数列中，，求。
(3)在等比数列中，，，求。
(4)在等比数列中，，求。
五、证明等比数列的方法：
1、定义法： ；
2、通项公式法： ；
3、等比中项法： 。
思考：在同一直角坐标系中，画出数列的图象与函数的图象观察关系？
六、等比数列的增减性：
等比数列的通项公式是 ,它的图象是分布在曲线 上的一些孤立的点。
1、当时，等比数列是 ；
2、当时，等比数列是 ；
3、当，q >1时，等比数列是 ；
4、当，时，等比数列是 ；
5、当，q >1时，等比数列是 ；
6、当，，等比数列是 。
例4：已知数列满足，
(1)求证数列是等比数列；(2)求的表达式。