等差数列的前n项和公式 教学设计
文档属性
| 名称 | 等差数列的前n项和公式 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 66.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 21:04:53 | ||
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文档简介
等差数列的前n项和公式
一、内容和内容解析
1.内容
学会推导等差数列前n项和公式的基本方法和基本思路，能够应用求和公式解决简单的求和问题。发现并掌握等差数列前n项和的函数形式。
2.内容解析
选择性必修第二册中关于数列主要分为三部分内容：一是数列概念，二是等差数列，三是等比数列。本章通过具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列----等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。
等差数列是特殊数列中取值规律比较简单的，它的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解决实际问题，为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础。
运算是代数学的核心，本节的教科书就利用具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律。等差数列前n项和的推导过程体现了代数变换在数列研究中的价值，其中也蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数学思想。为后期数列其他求和问题的展开打下伏笔。
二．这节课面向的学生是美术生和音乐生，为了激发孩子们上课的积极性，开头部分我加入了一些素描的
1.目标
了解等差数列前n项和公式发现的背景.
推导并掌握等差数列前n项和公式.
在具体情境中，能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过学习，能够了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前任严谨的治学精神.
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，描述等差数列的前n项和公式的特征，以及它与相应二次函数关系.
（3）学生能在具体情境中，运用等差数列的前n项和公式解决相应问题.
三、教学问题诊断分析
等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般概念，这些认知准备，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，都能起到思路引领的作用.
学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”，但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对法要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）正是这种差异导致了等差数列的前n项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性关键.
为了有效突破这个难点，在求和公式的教学中，加入“钢管堆堆问题”“天坛书地砖问题”，让学生经历等差数列的前n项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质.
四、教学过程设计
（一）新课引入
问题1：——大家会计算1+2+3+4+5+ +100等于几吗？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯采用的是什么算法？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯在求和的过程中利用了数列1，2，3， ，100的什么特点？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯求法的实质是什么？
设计意图：通过一步步地追问，得出1+2+3+4+5+ +100计算方法的本质，为下一步的讲解打基础.
（二）新课讲解
问题2
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？
师生活动：教师进行讲解.
问题2从上而下共27圈，第一圈是9块，第二层是18块，第三层是27块…第27圈是243块地砖，共多少块地砖？
师生活动：教师进行讲解.
设计意图：由特殊向一般情况转换，引导分类讨论的思想，得到最终结论
问题4：如何避免n取值奇偶的讨论呢？
师生活动：教师进行讲解.
设计意图：将求和方法进行升华，简化计算，引出数列求和的一般方法.
巩固应用
例1 已知数列{an}是等差数列.
若a1=7，a50=101，求S50；
师生活动：教师逐题分析解题思路，熟悉等差数列前n项和公式的应用，教师给出规范的解答过程.
设计意图：通过具体实例，让学生体会等差数列前n项和公式的应用.
例2 已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
师生活动：教师给予解答.
设计意图：
知识拓展
问题5：
师生活动：教师讲解.
设计意图：数列是特殊的函数，将这种特殊性体现出来，便于学生从整体上把握数学知识，进一步体会函数思想.
（五）归纳总结、布置作业
归纳总结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
1.等差数列前n项和公式推导方法是什么？
2.等差数列前n项和公式的三种形式你能说出来吗？
3.本节课你掌握了哪些求和方法？
设计意图：从知识技能以及数学思想三个方面对本节课进行小结．
布置作业：
教材P22 练习 1.2.3.4.
（六）目标检测设计
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
设计意图：考察学生对等差数列前n项和公式的应用能力．
差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.
设计意图：考察学生对等差数列前n项和公式中蕴含的函数思想方面的应用能力.
一、内容和内容解析
1.内容
学会推导等差数列前n项和公式的基本方法和基本思路，能够应用求和公式解决简单的求和问题。发现并掌握等差数列前n项和的函数形式。
2.内容解析
选择性必修第二册中关于数列主要分为三部分内容：一是数列概念，二是等差数列，三是等比数列。本章通过具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列----等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。
等差数列是特殊数列中取值规律比较简单的，它的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解决实际问题，为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础。
运算是代数学的核心，本节的教科书就利用具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律。等差数列前n项和的推导过程体现了代数变换在数列研究中的价值，其中也蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数学思想。为后期数列其他求和问题的展开打下伏笔。
二．这节课面向的学生是美术生和音乐生，为了激发孩子们上课的积极性，开头部分我加入了一些素描的
1.目标
了解等差数列前n项和公式发现的背景.
推导并掌握等差数列前n项和公式.
在具体情境中，能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过学习，能够了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前任严谨的治学精神.
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，描述等差数列的前n项和公式的特征，以及它与相应二次函数关系.
（3）学生能在具体情境中，运用等差数列的前n项和公式解决相应问题.
三、教学问题诊断分析
等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般概念，这些认知准备，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，都能起到思路引领的作用.
学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”，但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对法要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）正是这种差异导致了等差数列的前n项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性关键.
为了有效突破这个难点，在求和公式的教学中，加入“钢管堆堆问题”“天坛书地砖问题”，让学生经历等差数列的前n项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质.
四、教学过程设计
（一）新课引入
问题1：——大家会计算1+2+3+4+5+ +100等于几吗？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯采用的是什么算法？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯在求和的过程中利用了数列1，2，3， ，100的什么特点？
师生活动：教师进行回答.
追问：高斯求法的实质是什么？
设计意图：通过一步步地追问，得出1+2+3+4+5+ +100计算方法的本质，为下一步的讲解打基础.
（二）新课讲解
问题2
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？
师生活动：教师进行讲解.
问题2从上而下共27圈，第一圈是9块，第二层是18块，第三层是27块…第27圈是243块地砖，共多少块地砖？
师生活动：教师进行讲解.
设计意图：由特殊向一般情况转换，引导分类讨论的思想，得到最终结论
问题4：如何避免n取值奇偶的讨论呢？
师生活动：教师进行讲解.
设计意图：将求和方法进行升华，简化计算，引出数列求和的一般方法.
巩固应用
例1 已知数列{an}是等差数列.
若a1=7，a50=101，求S50；
师生活动：教师逐题分析解题思路，熟悉等差数列前n项和公式的应用，教师给出规范的解答过程.
设计意图：通过具体实例，让学生体会等差数列前n项和公式的应用.
例2 已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
师生活动：教师给予解答.
设计意图：
知识拓展
问题5：
师生活动：教师讲解.
设计意图：数列是特殊的函数，将这种特殊性体现出来，便于学生从整体上把握数学知识，进一步体会函数思想.
（五）归纳总结、布置作业
归纳总结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
1.等差数列前n项和公式推导方法是什么？
2.等差数列前n项和公式的三种形式你能说出来吗？
3.本节课你掌握了哪些求和方法？
设计意图：从知识技能以及数学思想三个方面对本节课进行小结．
布置作业：
教材P22 练习 1.2.3.4.
（六）目标检测设计
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
设计意图：考察学生对等差数列前n项和公式的应用能力．
差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.
设计意图：考察学生对等差数列前n项和公式中蕴含的函数思想方面的应用能力.