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北师大版 八年级下册数学
第四章因式分解
5.1 认识分式
回忆:什么叫整式 请你举例说明.
整式
单项式: 数与字母或字母与字母的积
多项式: 几个单项式的和
复习引入
第十届田径运动会
情景引入
(1)如果乐乐的速度是7米/秒,那么她所用的时间是( )秒;
(2)如果乐乐的速度是a米/秒,那么她所用的时间是( )秒;
(3)如果乐乐原来的速度是a米/秒,经过训练她的速度每秒增加了1米,那么她现在所用的时间是( )秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空:乐乐同学参加百米赛跑
(4)后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中,水面高度为( )cm;若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,水面高度为( ).
V
S
(5)采购秒表8块共8a元,一把发射枪b元,合计为 元.
(8a+b)
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类:
7
100
a
100
a+1
100
单项式:
多项式:
既不是单项式也不是多项式:
a
100
a+1
100
8a+b
8a+b
整
式
7
100
一、分式的概念
探究新知
问题2 :式子
它们有什么相同点和不同点?
相同点
不同点
(观察分母)
从形式上都具有分数 形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100
分子f、分母 g 都是整式
知识要点
分式的定义
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成 的形式, 且B中含有字母,那么称 为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母不能为零.
理解要点:
(1)分式也是代数式;
(2)分式是两个整式的商,它的形式是 (其中A,B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式);
(3)A称为分式的分子,B为分式的分母.
思考:(1)分式与分数有何联系?
②分数是分式中的字母取某些值的结果,分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母)
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
整数
分数
整式
分式
有理数
有理式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子,那么它们统称为什么呢?
数的扩充
式的扩充
判一判:下面的式子哪些是分式?
分式:
归纳:1.判断时,注意含有 的式子, 是常数.
2.式子中含有多项时,若其中有一项分
母含有字母,则该式也为分式,如:
.
1.在分式中,当分母的值不为0时,分式有意义;当
分母的值为0时,分式无意义.
要点精析:
(1)分母不为0,并不是说分母中的字母不能为0,而
是表示分母的整式的值不能为0.
(2)分式是否有意义,只与分式的分母是否为0有关,
而与分式的分子的值是否为0无关.
二、分式有意义的条件
探究新知
2.条件的求法:
(1)当分式有意义时,根据分式分母值不为0的条件
转化为不等式求解.
(2)当分式无意义时,根据分式分母值为0的条件转
化为方程求解.
3.易错警示:当分母出现含字母的式子是平方形式
时,容易出现考虑不周的错误.
例2
〈贺州〉分式 有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≠1 B.x=1
C.x≠-1 D.x=-1
根据分式有意义的条件:分母不等于0,即可求
解.根据题意得:x-1≠0,解得:x≠1.
导引:
A
求分式有意义时字母的取值范围,一般是根据
分母不等于0构造不等式,求使分式的分母不等于0
的字母的取值范围.
总 结
例3
当x取何值时,下列分式无意义?
(1) (2)
由分式无意义可得分母的值为0,从而利用方程
求解.
导引:
(1)当3x=0,即x=0时,分式 无意义;
(2)当3x2-27=0,即x=±3时,
分式 无意义.
解:
本题运用方程思想求解.利用分式无意义时需
分母等于0这一条件,构造方程求解.
总 结
1
当x取什么值时,下列分式有意义?
(1)由x-1≠0,得x≠1.
所以,当 x≠1时,分式 有意义.
(2)由x2-9≠0,得x≠±3.
所以,当x≠±3时,分式 有意义.
解:
针对练习
若代数式 有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=0 B.x=4
C.x≠0 D.x≠4
2
D
当x=-1时,下列分式中有意义的是( )
A. B.
C. D.
3
C
使分式 无意义的x满足的条件是( )
A.x=2 B.x=-2
C.x≠2 D.x≠-2
4
B
5 下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是
( )
A. B.
C. D.
D
分式值为零的条件及求法:
(1)条件:分子为0,分母不为0.
(2)求法:①利用分子等于0,构建方程.②解方程
求出所含字母的值.③代入验证:将所求的值
代入分母,验证是否使分母为0,若分母不为0,
所求的值使分式值为0;否则,应舍去.
三、分式的值为零的条件
探究新知
对于分式 :
(1)若 =0,则A=0且B≠0;
(2)若 =1,则A=B≠0;
(3)若 =-1,则A+B=0且B≠0;
例4
(1)当a=1,2,-1时,分别求分式 的值.
(2)当a取何值时,分式 有意义?
解:
(1)当a=1时,
当a=2时,
当a=-1时,
(2)当分母的值等于零时,分式没有意义,除此之
外,分式都有意义.
由分母2a -1=0,得a=
所以,当a≠ 时,分式 有意义.
例5
〈毕节〉 若分式 的值为零,则x的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
导引:
分式的值为0的条件是:分子为0,分母不为0,由
此条件解出x即可.
由x2-1=0,得x=±1.
当x=1时,x-1=0,故x=1不合题意;
当x=-1时,x-1=-2≠0,
所以x=-1时分式的值为0.
C
求使分式的值为0的字母的值的方法:
首先求出使分子的值等于0的字母的值,再
检验这个字母的值是否使分母的值等于0,只有
当它使分母的值不为0时,才是我们所要求的字
母的值.
总 结
1
当x=0,-2, 时,分别求 分式的值.
当x=0时,
当x=-2时,
当x= 时,
解:
针对练习
【中考·淄博】若分式 的值为零,则x的值是( )
A.1 B.-1
C.±1 D.2
2
A
【中考·乐山】若a2-ab=0(b≠0),则 =( )
A.0 B.
C.0或 D.1或2
3
C
下列关于分式的判断,正确的是( )
A.当x=2时, 的值为零
B.当x≠3时, 有意义
C.无论x为何值, 不可能得整数值
D.无论x为何值, 的值总为正数
4
D
5 分式 中,当x=-a时,下列结论正确的
是( )
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.若a≠- ,分式的值为零
D.若a≠ ,分式的值为零
C
你认为分式 与 相等吗? 与 呢?
与同伴交流.
三、分式的基本性质
探究新知
分数的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的数,分数的值不变.
分数的基本性质:
即对于任意一个分数 有:
(1)因为y≠0,所以
(2)因为x≠0,所以
下列等式的右边是怎样从左边得到的
(1) (2)
例1
解:
应用分式的基本性质时,一定要确定分式在有
意义的情况下才能应用.应用时要注意是否符合两
个“同”:一是要同时作“乘法”或“除法”运算;
二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的
整式.
总 结
不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
(1) (2)
例2
(1)根据分式的基本性质,将 的分子
与分母同乘60,得
(2)根据分式的基本性质,将
的分子与分母同乘12,得
解:
将分式的分子、分母的各项系数化整的方法:
第一步:找出分子、分母中各项的系数,确定使系
数都能化成整数的最小正整数;
第二步:分子、分母同时乘这个最小正整数.
总 结
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
想一想:
联想分数的约分,由例1你能想出如何对分式进行约分?
( )
( )
与分数约分类似,关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
四、分式的约分
探究新知
把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
知识要点
约分的定义
在化简分式 时,小颖和小明的做法出现了分歧:
小颖:
小明:
你对他们俩的解法有何看法?说说看!
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
判断一个分式是不是最简分式,要严格按照定义来判断,就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时,要先把分子、分母因式分解.
注意
知识要点
最简分式
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
例3 约分:
典例精析
分析:为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法:
(1)约去系数的最大公约数.
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
解:
(公因式是5abc)
解:
分析:约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
约分:
解:
(公因式是ab)
解:
知识要点
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式,则约去系数的最大公约数,并约去相同字母的最低次幂;
(2)若分子﹑分母含有多项式,则先将多项式分解因式,然后约去分子﹑分母所有的公因式.
注意事项:
(1)约分前后分式的值要相等.
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
(3)约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
1
填空:
(1)
(2)
2x(x+y)
y-2
针对练习
2 写出下列等式中所缺的分子或分母.
(1)
(2)
(3)
bc
ma+mb
x-y
3
下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A. B.
C. D.
C
4
如果把 中的x与y都扩大到原来的20倍,
那么这个式子的值( )
A.不变
B.扩大到原来的10倍
C.扩大到原来的20倍
D.缩小到原来的
A
5
当x=6,y=-2时,则式子
的值为( )
A.2 B.
C.1 D.
D
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