5.1 认识分式 课件（共57张PPT）

(共57张PPT)
北师大版 八年级下册数学
第四章因式分解
5.1 认识分式
回忆：什么叫整式 请你举例说明.
整式
单项式: 数与字母或字母与字母的积
多项式: 几个单项式的和
复习引入
第十届田径运动会
情景引入
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空：乐乐同学参加百米赛跑
（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ).
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.
（8a+b）
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
7
100
a
100
a+1
100
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式：
a
100
a+1
100
8a+b
8a+b
整
式
7
100
一、分式的概念
探究新知
问题2 ：式子
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
（观察分母）
从形式上都具有分数 形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100
分子f、分母 g 都是整式
知识要点
分式的定义
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式， 且B中含有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
理解要点：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是　　（其中A，B都是
　整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
思考：（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
整数
分数
整式
分式
有理数
有理式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
数的扩充
式的扩充
判一判：下面的式子哪些是分式？
分式:
归纳：1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分
母含有字母，则该式也为分式，如：
.
1.在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义；当
分母的值为0时，分式无意义．
要点精析：
(1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而
是表示分母的整式的值不能为0.
(2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，
而与分式的分子的值是否为0无关．
二、分式有意义的条件
探究新知
2.条件的求法：
(1)当分式有意义时，根据分式分母值不为0的条件
转化为不等式求解．
(2)当分式无意义时，根据分式分母值为0的条件转
化为方程求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式
时，容易出现考虑不周的错误．
例2
〈贺州〉分式 有意义，则x的取值范围是 (　　)
A．x≠1　　　 B．x＝1　　　
C．x≠－1　　　 D．x＝－1
根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求
解．根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
导引：
A
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据
分母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于0
的字母的取值范围．
总 结
例3
当x取何值时，下列分式无意义？
(1) (2)
由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程
求解．
导引：
(1)当3x＝0，即x＝0时，分式 无意义；
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
分式 无意义．
解：
本题运用方程思想求解．利用分式无意义时需
分母等于0这一条件，构造方程求解．
总 结
1
当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)由x－1≠0，得x≠1.
所以，当 x≠1时，分式 有意义．
(2)由x2－9≠0，得x≠±3.
所以，当x≠±3时，分式 有意义．
解：
针对练习
若代数式 有意义，则实数x的取值范围是(　　)
A．x＝0 B．x＝4
C．x≠0 D．x≠4
2
D
当x＝－1时，下列分式中有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
3
C
使分式 无意义的x满足的条件是(　　)
A．x＝2 B．x＝－2
C．x≠2 D．x≠－2
4
B
5　下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是
(　　)
A. B.
C. D.
D
分式值为零的条件及求法：
(1)条件：分子为0，分母不为0.
(2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方程
求出所含字母的值．③代入验证：将所求的值
代入分母，验证是否使分母为0，若分母不为0，
所求的值使分式值为0；否则，应舍去．
三、分式的值为零的条件
探究新知
对于分式 ：
(1)若 ＝0，则A＝0且B≠0；
(2)若 ＝1，则A＝B≠0；
(3)若 ＝－1，则A＋B＝0且B≠0；
例4
(1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 的值.
(2)当a取何值时，分式 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
当a＝2时，
当a＝－1时，
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a －1＝0，得a＝
所以，当a≠ 时，分式 有意义.
例5
〈毕节〉 若分式 的值为零，则x的值为(　　)
A．0　　 　B．1　　　C．－1　　D．±1
导引：
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，由
此条件解出x即可．
由x2－1＝0，得x＝±1.
当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意；
当x＝－1时，x－1＝－2≠0，
所以x＝－1时分式的值为0.
C
求使分式的值为0的字母的值的方法：
首先求出使分子的值等于0的字母的值，再
检验这个字母的值是否使分母的值等于0，只有
当它使分母的值不为0时，才是我们所要求的字
母的值．
总 结
1
当x＝0，－2， 时，分别求 分式的值.
当x＝0时，
当x＝－2时，
当x＝ 时，
解：
针对练习
【中考·淄博】若分式 的值为零，则x的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2
A
【中考·乐山】若a2－ab＝0(b≠0)，则 ＝(　　)
A．0 B.
C．0或 D．1或2
3
C
下列关于分式的判断，正确的是(　　)
A．当x＝2时， 的值为零
B．当x≠3时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得整数值
D．无论x为何值， 的值总为正数
4
D
5　分式 中，当x＝－a时，下列结论正确的
是(　　)
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠－ ，分式的值为零
D．若a≠ ，分式的值为零
C
你认为分式 与 相等吗？ 与 呢？
与同伴交流.
三、分式的基本性质
探究新知
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即对于任意一个分数 有：
(1)因为y≠0，所以
(2)因为x≠0，所以
下列等式的右边是怎样从左边得到的
(1) (2)
例1
解：
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有
意义的情况下才能应用．应用时要注意是否符合两
个“同”：一是要同时作“乘法”或“除法”运算；
二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的
整式．
总 结
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
(1) (2)
例2
(1)根据分式的基本性质，将 的分子
与分母同乘60，得
(2)根据分式的基本性质，将
的分子与分母同乘12，得
解：
将分式的分子、分母的各项系数化整的方法：
第一步：找出分子、分母中各项的系数，确定使系
数都能化成整数的最小正整数；
第二步：分子、分母同时乘这个最小正整数．
总 结
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？
（ ）
（ ）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
四、分式的约分
探究新知
　 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
知识要点
约分的定义
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
注意
知识要点
最简分式
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
　　例3 约分:
典例精析
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法:
（1）约去系数的最大公约数.
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
(公因式是5abc)
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
约分:
解：
(公因式是ab)
解：
知识要点
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
1
填空：
(1)
(2)
2x(x＋y)
y－2
针对练习
2　写出下列等式中所缺的分子或分母．
(1)
(2)
(3)
bc
ma＋mb
x－y
3
下列式子从左到右的变形一定正确的是(　　)
A. B.
C. D.
C
4
如果把 中的x与y都扩大到原来的20倍，
那么这个式子的值(　　)
A．不变
B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍
D．缩小到原来的
A
5
当x＝6，y＝－2时，则式子
的值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
D
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