4.3 公式法 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
北师大版八年级下册数学
第四章因式分解
4.3 公式法
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
问题引入
看一看：观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积。
b
a
b
b
b
a
a
a2+b(a-b)=a2-b2+ab
ab+(a+b)(a-b)
方法一：
方法二：
a2-b2+ab
=ab+(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
情景引入
运用平方差公式因式分解
问题1：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
a2-b2
已知
（a+b）（a-b）= a2-b2
可得
a2-b2= （a+b）（a-b）
因式分解
整式乘法
一、运用平方差公式因式分解
探究新知
运用平方差公式因式分解
运用平方差公式分解因式（依据）：
两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的乘积.
即a2-b2=______________
差
和
（a+b）（a-b）
运用平方差公式因式分解
例 把下列各式因式分解：
(1)25-16x2; (2)9a2- b2.
解：9a2- b2
＝(3a)2-( b)2
＝(3a+ b)(3a- b)
解：25-16x2
＝52-(4x)2
＝(5+4x)(5-4x)
运用平方差公式因式分解
练一练：下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.a2+b2
B.-a2-b2
C.a2-c2-2ac
D.-4a2+b2
D
归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
例1 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2; (2)2x3-8x.
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝4(2m＋n)(m＋2n)．
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝[3(m＋n)+(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
(2)2x3-8x.
(2)原式＝2x(x2－4)
＝2x(x＋2)(x－2)
＝2x(x2－22)
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
平方差公式与提公因式法综合运用
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
＝(x2)2-(y2)2
解：a3b-ab
＝ab(a+1)(a-1).
＝ab(a2-1)
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
例2 分解因式：
(1)x4-y4 ; (2)a3b-ab
练一练：把x3-9x分解因式，结果正确的是（ ）
A.x(x2-9)
B.x(x-3)2
C.x(x+3)2
D.x(x+3)(x-3)
D
平方差公式与提公因式法综合运用
平方差公式与提公因式法综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
＝(101＋99)(101－99)
＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
解：53.52×4-46.52×4
解：1012－992
＝400
平方差公式与提公因式法综合运用
练一练：计算：
（1）50×1252-50×252=____________;
（2） =____________.
750 000
1
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
二、运用完全平方公式因式分解
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例2 把以下三个多项式因式分解：
(x+6)2
(x-y)2
(a+b-3)2
因式分解：
3a(m+n)2
-(a-2b)2
【做一做】
下列因式分解是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果.
不正确，分解不彻底
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
你能彻底分解下面的因式吗？
要分解到不能再分解为止.
(x+y)2(x-y)2
【合作探究】
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
课堂练习
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
5.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
6.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
7.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
±4
8.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
(2)原式
9.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
10.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
11.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2－2x＋3.
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2
小聪: 小明:
×
×
12.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
13.已知a、b、c是 ABC的三边，且满足a +b +c =ab+ac+bc，是说明 ABC是等边三角形.
解：∵a +b +c =ab+bc+ac,
∴a +b +c -ab-bc-ac=0
等式两边同乘以2，得
2a +2b +2c -2ab-2bc-2ac=0
（a -2ab＋b ）＋（b -2bc＋c ）＋（c -2ac＋a ）=0
∴(a-b) +(b-c) +(c-a) =0，
a=b=c 即 ABC为等边三角形
运用平方差公式因式分解
依据
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.
课堂小结
运用完全平方公式
分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
步骤
一提、二套、三查
课堂小结
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