萍乡实验学校2021-2022学年第二学期第三次调研考试
高一数学试题参考答案及评分建议
命题人:晏海林
审核人:孔祥优
选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.:1-8DAAA DBAD
1．【答案】D
【解析】．
2．【答案】A
【解析】解：因为复数，
所以复数的虚部是，故答案为：A
3．【答案】A
【解析】以A为坐标原点，为轴建立直角坐标系，
从而，，，
因为，，所以，
所以，所以 ，.
又，，
而.故答案为：A.
4．【答案】A
【解析】因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
。故答案为：A.
5．【答案】D
【解析】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，A不符合题意；
对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，B不符合题意；
对C，若，则与的夹角为或，C不符合题意；
对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，D符合题意.
故答案为：D.
6．【答案】B
【解析】解：根据题意可得：，
则，
当时，，A不符合题意；
当时，，及，B符合题意；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，C不符合题意；
当时，即，解得，
又因，所以，D不符合题意.故答案为：B.
7．【答案】A
【解析】令，则的图象是过点，斜率为a的直线．
由可知的图象关于直线对称，
又为偶函数，可画出和在同一坐标系下的图象（下图为时的情况）
有且仅有三个零点，则和的图象有且仅有三个交点．
当时，显然不成立，
当时，由上图可得，解得：．
当时，由对称性知．
所以a的取值范围是，故答案为：A.
8．【答案】D
【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.
所以在堑堵 中， ，侧棱 平面 ,
在A中，因为 ， ，显然 与 不垂直，
且 为矩形，所以四棱锥 不为“阳马”，A不符合题意；
在B中，由 ， 且 ，
所以 平面 ，所以 ，则 为直角三角形，
为直角三角形，
由 平面 ，得 为直角三角形，
不为直角三角形，所以 不是“鳖臑”，，B不符合题意;
在C中，在底面有 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
则 ，所以C不符合题意；
在D中，由 平面 ，则 且 ，
则 平面 ，所以
又 且 ，则 平面 ，则 ，所以D符合题意.故答案：D.
多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分,选对不全得2分，选错得0分.
BC ; AB ;ACD ; ABD
9．B,C
【解析】由题设及正弦定理知：，令且，
，可得，
所以，则△周长为，A错误；
，又，则，B正确；
△的外接圆半径为，C正确；
如下图，过D作，由题设知：，则，
又，可得，故，
所以，D错误.故答案为：BC
10．A,B
【解析】如图，正四面体ABCD，由题意，，则O为正四面体ABCD的中心，B符合题意；
设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则，而，所以平面ABF，所以.A符合题意；
设该正四面体棱长为，则，因为，，联立解得.C不符合题意；
易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为。故答案为：AB.
11．A,C,D
【解析】解：对于A，因为为定值，且，
所以，
则，又因为，在上单调递减，所以当时，取得最小值为，故A对；
对于B，因为，所以B错；
对于C，当时，，则，故C对；
对于D，当时，，则，故D对.
故答案为：ACD.
12．A,B,D
【解析】对于A， ， ，即 ，同理可证得： ， ， 是 的垂心，A正确；
对于B，延长 交 于 两点，
由A可知： ， ， ， ，
，又 ， ，B正确；
对于C，由B可得： ，
同理可得： ， ，
，
，C错误；
对于D，由B可得： ，
同理可得： ， ，
，
由C可得： ，
又因为 ， ，D正确.
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．
【解析】根据直观图还原平面图形，如下所示直角梯形即为所求：
在直观图中，根据其为等腰梯形，且，可得，
故原图中：，
故其面积.故答案为：.
14．
【解析】由已知，，，，得，
又由得，
因为，
所以
所以故答案为：
15．
【解析】如图，延长、、，与对边分别交于点、、，
，
，即 ，∴，
同理
∴，又在等腰直角三角形中，，
延长至点，使得.则.
记，，
则，，
四点共圆，
，
。故答案为：。
16．4
【解析】在 中，因为 ， ，
所以 ，
又因为 与 互补，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以观光线路之和最长是4。故答案为：4。
四、解答题:本大题共6小题，满分70分.
17．（1）解：由题意可知，，.
在中，由余弦定理可得.
由正弦定理得，解得，所以.
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上.
（2）解：如图，
设小时后缉私艇在处追上走私船，则，.
.
在中，由正弦定理得，
解得，则，所以是等腰三角形.
，即.
故缉私艇至少需要小时追上走私船.
18．（1）解：∵ ，∴ ，∴
（2）解： . ，
∴ .
(2)结合(1)，利用二倍角公式先求得sin2α,cos2α,进而得答案.
19．（1）解：因为半圆的直径，由题易知：又
又，，则，
即.
（2）解：由（1）知，，，
所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）解：设，由（1）知，，，，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为-1，
此时点的坐标为.
20．解：（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，
则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，
因为，
所以（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝土；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为，
其余侧面均为长方形，且，，
，
，
所有侧面面积之和为
，
所以该预制件的表面积是（平方米）．
21．（1）解：由题意，函数
因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 .
故
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象.
再把橫坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象.
当 时， ，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
故函数 的值域 .
（3）解：由方程 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
设 ，其中 ，即 ，结合正弦函数 的图象，
可得方程 在区间 有5个解，即 ，
其中 ，
即
解得
所以 . 综上，
22．（1）解：正确；因为对于非零向量 ， 是 方向上的单位向量，
又 且 与 共线，所以
（2）证明：因为 为 的中点，则 ，
从而在 中， ，
又 M是AB的中点，∴ ，
又 ， ，
所以 ，
化简得，萍实高中2021-2022学年度第二学期数学三调考试知识细目表
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 平面向量的坐标运算 12.0(8.0%) 22
2 两角和与差正弦公式 5.0(3.3%) 1
3 正弦定理的应用 10.0(6.7%) 17
4 数量积的坐标表达式 12.0(8.0%) 22
5 同角三角函数间的基本关系 5.0(3.3%) 4
6 诱导公式 5.0(3.3%) 1
7 复数的基本概念 5.0(3.3%) 2
8 正弦定理 5.0(3.3%) 9
9 数量积判断两个平面向量的垂直关系 5.0(3.3%) 12
10 平行向量与共线向量 17.0(11.3%) 5,22
11 向量的模 5.0(3.3%) 14
12 正弦函数的单调性 12.0(8.0%) 21
13 相等向量与相反向量 5.0(3.3%) 5
14 函数的零点与方程根的关系 5.0(3.3%) 7
15 余弦定理 10.0(6.7%) 6,16
16 同角三角函数基本关系的运用 12.0(8.0%) 18
17 空间中直线与直线之间的位置关系 5.0(3.3%) 10
18 函数的零点 5.0(3.3%) 7
19 平面向量数量积的含义与物理意义 10.0(6.7%) 11,12
20 复数的代数表示法及其几何意义 5.0(3.3%) 4
21 二倍角的正弦公式 12.0(8.0%) 18
22 单位向量 17.0(11.3%) 5,22
23 二倍角的余弦公式 12.0(8.0%) 18
24 棱柱、棱锥、棱台的体积 12.0(8.0%) 20
25 斜二测画法直观图 5.0(3.3%) 13
26 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 12.0(8.0%) 21
27 任意角三角函数的定义 17.0(11.3%) 15,19
28 数量积表示两个向量的夹角 27.0(18.0%) 3,6,14,19
29 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 17.0(11.3%) 8,20
30 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.3%) 16
31 二次函数的性质 12.0(8.0%) 19
32 平面向量的基本定理及其意义 5.0(3.3%) 15
33 三角形中的几何计算 10.0(6.7%) 9,12
34 棱锥的结构特征 10.0(6.7%) 8,10
35 解三角形 15.0(10.0%) 14,17
36 余弦定理的应用 10.0(6.7%) 17
37 余弦函数的图象 5.0(3.3%) 7
38 正弦函数的图象 12.0(8.0%) 21
39 两角和与差的正切公式 5.0(3.3%) 4
40 球的体积和表面积 5.0(3.3%) 10
41 余弦函数的单调性 5.0(3.3%) 7萍实校训:以诚待人，自强不息 萍实校风：诚信、勤奋、自理、和谐
萍实校训:以诚待人，自强不息 萍实校风：诚信、勤奋、自理、和谐
2021-2022学年第二学期高一第三次调研考试
数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分； 考试范围：北师大必修二
命题人: 晏海林 审题人: 孔祥优
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．的值为
A． B． C． D．
2．复数，则复数的虚部是
A． B． C． D．
3．如图，在中，已知，，， 边上的两条中线AM 相交于点，则的余弦值为
A． B． C． D．
4．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则
A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的有
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若和是都是单位向量，则
C．若，则与的夹角为0°
D．零向量与任何向量共线
6．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的选项是
A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
7．让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数满足，且当时，有，已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
（第3题图）（第6题图）（第8题图）
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 中， ，且 ．下列说法正确的是
A．四棱锥 为“阳马” B．四面体 为“鳖臑”
C．四棱锥 体积的最大值为
D．过 点分别作 于点 ， 于点 ，则
二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分,选对不全得2分，选错得0分.
9．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是
A．△周长为 B．
C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为
10．扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，设，则下列结论正确的是
A． B．为正四面体的中心
C． D．四面体的外接球表面积为
11．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 ，两个拉力分别为 ，若 与 的夹角为 ，则以下结论正确的是
A． 的最小值为 B． 的范围为
C．当 时， D．当 时，
12．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( )的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 是锐角 内的一点， 是 的三个内角，且点 满足 ，则
A． 为 的垂心 B．
C． D．
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．有一块空地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示），//，则这块空地的实际面积为 ．
（13题）（14题）（16题）
14．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 .
15．在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则 .
16．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 ，已知射线 ， 为湿地两边夹角为 的公路（长度均超过 千米），在两条公路 ， 上分别设立游客接送点 ， ，且 千米，若要求观景台 与两接送点所成角 与 互补且观景台 在 的右侧，并在观景台 与接送点 ， 之间建造两条观光线路 与 ，则观光线路之和最长是 （千米）.
四、解答题:本大题共6小题，满分70分.
17．（本小题满分10分）如图，在海岸边点的观测站发现南偏西30°方向上，距离点20海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，船正以10海里/时的速度从处沿南偏东15°方向逃窜.
（1）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
（2）缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
18．（本小题满分12分）已知 ， .
（1）求 的值； （2）求 的值．
19．（本小题满分12分）已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求点、、的坐标；（2）若，求与夹角的大小；
（3）试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值.
20．（本小题满分12分）某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园的一条小河上建一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）
（注：，结果精确到0.01．）
（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？
（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？
21．（本小题满分12分）已知数 的相邻两对称轴间的距离为 .
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域；
（3）对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若 ，试求 与 的值
22．（本小题满分12分）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式： ．具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边作角 ， ．它们的终边与单位圆 的交点分别为A，B．
则 ， ，由向量数量积的坐标表示，有 ．
设 ， 的夹角为 ，则 ，
另一方面，由图（1）可知， ；
由图（2）可知 ，于是 ， ．
所以 ，也有 ；
所以，对于任意角 ， 有： ．
此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 ．有了公式 以后，我们只要知道 ， ， ， 的值，就可以求得 的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）
解决下列问题：
（1）判断 是否正确？（回答“正确”，“不正确”，需要证明）
（2）证明： ．
