第 1 讲 正弦定理
图片预览
文档简介
第一讲 正弦定理
一、知识梳理
1．内角和定理：在中，；；
面积公式:
S
△ABC
=
1
2
ab
sin
C
=
1
2
b
csin
A=
1
2
ac
sin
B
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)
形式三：/
形式四： sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R
二、方法归纳
(1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=π及
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，可求出角C，再求、.
(2)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
，求出另一边的对角B，由C=π-(A+B)，求出，再由
a
sinA
=
c
sinC
求出C，而通过
a
sinA
=
b
sinB
求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
A>90°
A=90°
A<90°
>
一解
一解
一解
=
无解
无解
一解
<
a>bsinA
两解
无解
无解
a=bsinA
一解
a无解
=sinA有一解 >>sinA有两解 ≥ 有一解 >有一解
【典型例题】
例1在中，若，,，则 .
例2在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.
例3（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，c．已知/．
（I）求/的值；
例4．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，
求△ABC的面积S.
【课堂练习】
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶∶2
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为 ( )
A.＋1 B．2＋1 C．2 D．2＋2
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为 ( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于 ( )
A．45°或135° B．60° C．45° D．135°
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 ( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.
8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
13．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
【课后练习】一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是 ( )
A. B．(10，＋∞) C．(0,10) D.
4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于 ( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为 ( )
A．1 B．2 C. D．4
7．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为 ( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空题
8．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
10．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
11．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
三、解答题
12．在△ABC中，求证：＝.
13．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
一、知识梳理
1．内角和定理：在中，；；
面积公式:
S
△ABC
=
1
2
ab
sin
C
=
1
2
b
csin
A=
1
2
ac
sin
B
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)
形式三：/
形式四： sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R
二、方法归纳
(1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=π及
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，可求出角C，再求、.
(2)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
，求出另一边的对角B，由C=π-(A+B)，求出，再由
a
sinA
=
c
sinC
求出C，而通过
a
sinA
=
b
sinB
求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
A>90°
A=90°
A<90°
>
一解
一解
一解
=
无解
无解
一解
<
a>bsinA
两解
无解
无解
a=bsinA
一解
a
=sinA有一解 >>sinA有两解 ≥ 有一解 >有一解
【典型例题】
例1在中，若，,，则 .
例2在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.
例3（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，c．已知/．
（I）求/的值；
例4．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，
求△ABC的面积S.
【课堂练习】
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶∶2
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为 ( )
A.＋1 B．2＋1 C．2 D．2＋2
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为 ( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于 ( )
A．45°或135° B．60° C．45° D．135°
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 ( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.
8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
13．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
【课后练习】一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是 ( )
A. B．(10，＋∞) C．(0,10) D.
4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于 ( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为 ( )
A．1 B．2 C. D．4
7．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为 ( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空题
8．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
10．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
11．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
三、解答题
12．在△ABC中，求证：＝.
13．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．