第 2 讲余弦定理
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第二讲 余弦定理
【知识要点】
a2=b2+c2-2bccosA, ；
证明过程如下：
证明：如图ΔABC中，
当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
2．余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA．
c2=a2+b2-2abcosC．
b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为
3．余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
4．三角形ABC中
【典型例题】
例1、设中，求的值.
例2、在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
（1）求角C的度数；（2）求的长；（3）求△ABC的面积。
例3、在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则
A． B． C． D． （ ）
例4、已知，，分别是的三个内角，，所对的边，若，，，则 ．
例5、如图，在中，，，．（1）求的值； （2）求的值.
解
.
【课堂练习】
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于 ( )
A. B.3 C. D．5
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 ( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于 ( )
A．1 B. C．2 D．4
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于 ( )
A. B. C. D.
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为 ( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
8．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 ( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
10.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则 ( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
二、填空题
14．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
15．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
16．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．
17．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
三、解答题
19．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．
【课后作业】
1．在△ABC中，已知b＝4
3
，c＝2
3
，∠A＝120°，则a等于 ( )
A．2/ B．6
C．2/或6 D．2/
2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于 ( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )
A．135° B．90°
C．120° D．150°
4．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为 ( )
A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)
B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)
C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC
D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sinBsinCcos(A＋B)
5、在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
二、填空题
1．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝
13
14
，则最大角的余弦值是________．
3．在△ABC中，若AB＝/，AC＝5，且cosC＝
9
10
，则BC＝________．
4．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
三、解答题
1．已知a＝3
3
，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12
3
，bc＝48，b-c＝2，求a．
3．在中，若，试判断的形状.
4．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
【知识要点】
a2=b2+c2-2bccosA, ；
证明过程如下：
证明：如图ΔABC中，
当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
2．余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA．
c2=a2+b2-2abcosC．
b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为
3．余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
4．三角形ABC中
【典型例题】
例1、设中，求的值.
例2、在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
（1）求角C的度数；（2）求的长；（3）求△ABC的面积。
例3、在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则
A． B． C． D． （ ）
例4、已知，，分别是的三个内角，，所对的边，若，，，则 ．
例5、如图，在中，，，．（1）求的值； （2）求的值.
解
.
【课堂练习】
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于 ( )
A. B.3 C. D．5
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 ( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于 ( )
A．1 B. C．2 D．4
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于 ( )
A. B. C. D.
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为 ( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
8．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 ( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
10.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则 ( )
A．a>b B．a
13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
二、填空题
14．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
15．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
16．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．
17．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
三、解答题
19．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．
【课后作业】
1．在△ABC中，已知b＝4
3
，c＝2
3
，∠A＝120°，则a等于 ( )
A．2/ B．6
C．2/或6 D．2/
2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于 ( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )
A．135° B．90°
C．120° D．150°
4．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为 ( )
A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)
B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)
C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC
D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sinBsinCcos(A＋B)
5、在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
二、填空题
1．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝
13
14
，则最大角的余弦值是________．
3．在△ABC中，若AB＝/，AC＝5，且cosC＝
9
10
，则BC＝________．
4．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
三、解答题
1．已知a＝3
3
，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12
3
，bc＝48，b-c＝2，求a．
3．在中，若，试判断的形状.
4．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．