第16章 分式复习

分 式
知识要点及难点：
1 理解分式定义及基本性质。
2 理解分式有意义与值为0的条件。（难点）
3 会化简和通分。（难点）
4 能进行分式加减乘除运算，关键是通分和因式分解。
5. 有理式。
6. 能熟练解出分式方程。
一、分式的定义（概念）及基本性质
1、定义：设A、B表示两个整式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，（B≠0）。
2、意义：整式的另一种表示法。
3、有意义的条件：B≠0；
无意义的条件：B=0；
值为零的条件：B≠0且A=0。
必须在有意义的条件下，才能谈分式的值。
4、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。否则约分化简。
5、基本性质：同乘同除一个不为零的整式，值不变
==（M为不等于零的整式）。
二、分式的四则运算规则
运算规则与整式类似
1、加减：
2、乘除：，。
三、有理式的概念
有理式包括整式和分式。整式和分式统称有理式。
四、有关分式加减运算的技巧
1、通分
（1）加减的实质：分式加减运算就是通分。
（2）通分的依据：分式的基本性质（注意同乘的因式不能为零）。
（3）通分的关键：确定最简公分母（不是最简也可运算，但结果要化简）。
（4）最简公分母：各分母所有因式（包括因数）的最高次幂的积叫最简公分母。多项式应先分解因式。如何求？系数取最小公倍数；凡出现的以字母为底的幂的因式都要取；相同字母的幂的因式取最高次幂；这些因式的积就是最简公分母。
（5）通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。
2、分式通分的方法：
注意观察，如果不加思考地一味寻找公分母，有时会让计算变得更加复杂化。
（1）整体处理后通分。就是把分散的整式合并后，把整式的分母看分1，再寻找公共的最简公分母，再通分。
例3：
例4：
（2）化积约分后通分。先分解因式，再通分。
例5：
（3）分组结合后通分。把有关联的分式分组，再分别通分。
例6：
（4）拆项相消后通分。两因式相加减后可以变为分子或分子的相反数。
如1/（1×2）+1/（2×3）+1/（3×4）+1/（4×5)+1/(5×6)+1/(6×7)
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/5-1/6）+（1/6-1/7）
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/5-1/6+1/6-1/7
=1-1/7
=6/7
例7：
（5）提取因式后通分。
例8：
（6）添项后通分。添一项或几项，使分式在巧合中简化
例9：
例10：
（7）拆项后通分。即是整体处理后通分的逆运算，通过拆项，消掉每对相反数。
例11：
（8）分离整式后通分。即把分子先简化，其实也是一种拆分。
例12：
（9）代入条件后通分。
例13：
（10）换元后通分。
例14：
五、分式的乘除运算
1、乘除规则：，
2、分式的乘除就是约分。
（1）乘除的实质：分式的乘除就是约分。
（2）约分的依据：分式的基本性质。（与通分不同，约分不必考虑约去的因式是否为零，但乘上的因式还需要考虑是否为零）
（3）约分的关键：先分解因式，然后找出分子分母的最大公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子分母没有除1之外的公因式，叫最简分式。约分就是将分式化为最简分式的过程。
3、变号规则：分式的分子、分母和本身的符号，同时改变其中两个，其值不变。
4、分式的乘方
分式的乘方等于分子分母各自乘方，实质是几个相同的分式之积。
六、分式方程
1、概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程。分式方程是方程中的一种。
2、特征：（1）含分母；（2）分母里含未知数。
3、可化为一元一次方程的分式方程的解法。
（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；若遇到互为相反数时，不要忘了改变符号;
（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;
（3）验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所有的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。