第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版Word无答案）
文档属性
| 名称 | 第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版Word无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 360.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 22:17:43 | ||
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文档简介
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第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考点梳理】
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
知识点三 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题
不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
知识点四 两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
【题型归纳】
考点一 分类计算原理
【例1-1】（2021·全国·高二单元测试）如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例1-2】（2021·江西·横峰中学）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．5
【考点精练】
1．（2021·甘肃·静宁县第一中学）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.
A．9 B．11 C．13 D．15
2．（2021·全国·高二课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）
A．64 B．56 C．53 D．51
3．（2021·全国·高二课时练习）设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（ ）
A．20 B．24 C．12 D．11
4（2021·全国·高二课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
考点二 分步计算原理
【例2-1】（2021·全国·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
【例2-2】（2021·福建·泉州科技中学）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
2．（2021·全国·高二课时练习）现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
3．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
4．（2021·全国·高二课时练习）将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（ ）
A．81 B．64 C．14 D．12
考点三 两个计数原理的综合运用
【例3-1】（2021·全国·高二课时练习）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比大的四位偶数．
【例3-2】（2021·全国·高二课时练习）用种不同的颜色给如图所示的，，，四个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色.
（1）当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案，求的值.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）已知甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A．64 B．80 C．96 D．120
2．（2021·全国·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法；
（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法；
（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法.
3．（2021·全国·高二课时练习）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
4．（2021·全国·高二课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
5．（2021·全国·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
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第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考点梳理】
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
知识点三 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题
不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
知识点四 两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
【题型归纳】
考点一 分类计算原理
【例1-1】（2021·全国·高二单元测试）如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例1-2】（2021·江西·横峰中学）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．5
【考点精练】
1．（2021·甘肃·静宁县第一中学）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.
A．9 B．11 C．13 D．15
2．（2021·全国·高二课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）
A．64 B．56 C．53 D．51
3．（2021·全国·高二课时练习）设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（ ）
A．20 B．24 C．12 D．11
4（2021·全国·高二课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
考点二 分步计算原理
【例2-1】（2021·全国·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
【例2-2】（2021·福建·泉州科技中学）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
2．（2021·全国·高二课时练习）现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
3．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
4．（2021·全国·高二课时练习）将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（ ）
A．81 B．64 C．14 D．12
考点三 两个计数原理的综合运用
【例3-1】（2021·全国·高二课时练习）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比大的四位偶数．
【例3-2】（2021·全国·高二课时练习）用种不同的颜色给如图所示的，，，四个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色.
（1）当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案，求的值.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）已知甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A．64 B．80 C．96 D．120
2．（2021·全国·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法；
（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法；
（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法.
3．（2021·全国·高二课时练习）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
4．（2021·全国·高二课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
5．（2021·全国·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
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