第7讲 离散型随机变量及其分布列（原卷版Word无答案）

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第7讲 离散型随机变量及其分布列
【考点梳理】
知识点一　随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
知识点二　离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点四　两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【题型归纳】
考点一 随机变量的辨析
【例1】（2021·全国·高二课时练习）一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（ ）
A．所取球的个数 B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
2．（2021·全国·高二课时练习）一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球或1个黑球
3．（2021·全国·高二专题练习）下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
考点二 离散型随机变量及取值
【例2-1】（2021·全国·高二课时练习）下列X是离散型随机变量的是（ ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【例2-2】（2021·全国·高二课时练习）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（ ）
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
2．（2021·全国·高二单元测试）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
3．（2021·河北·辛集中学高二期中）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5
4．（2021·全国·高二课时练习）已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．
考点三 分布列的性质的应用
【例3-1】（2021·全国·高二课时练习）随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【例3-2】（2021·全国·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A． B． C．110 D．55
2．（2021·全国·高二课时练习）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B．
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C．
X 1 2 3
P －
D．
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
3．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B．
C．[－3，3] D．[0，1]
4．（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
考点四 离散型随机变量的分布列
【例4】（2021·全国·高二课时练习）某品牌汽车的4S点，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示．已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．
付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期
频数 20 20
（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件“至多有1位采用分6期付款”的概率；
（2）按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列．
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示．
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；
（2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列．
2．（2021·全国·高二课时练习）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．
3．（2021·全国·高二课时练习）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和，求的分布列．
4．（2021·全国·高二课时练习）写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数．
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数是一个随机变量．
5（2021·江苏·立人高中高二期中）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.
（1）这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率；
（2）设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列
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