第10讲 正态分布（原卷版Word无答案）
文档属性
| 名称 | 第10讲 正态分布（原卷版Word无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 592.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 22:23:46 | ||
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文档简介
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第10讲 正态分布
【知识梳理】
知识点一 正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
知识点二 正态曲线的特点
1．对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
【题型归纳】
考点一 正态分布曲线
【例1】（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
2．（2021·全国·高二课时练习）（多选）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
3．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ）
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
4．（2021·全国·高二课时练习）(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（ ）
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
考点二 正态分布（小题）
【例2-1】（2021·全国·高二课时练习）若随机变量，且，则等于（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
【例2-2】（2021·全国·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考点精练】
1．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）若随机变量，且，则（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
2．（2021·全国·高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（ ）
（注：若随机变量服从正态分布，则，）
A．31.7% B．27.18%
C．13. 55% D．4.5%
3．（2021·全国·高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
4．（2021·全国·高二课时练习）随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 ( )
A． B．
C． D．
考点三 正态分布的应用（解答题）
【例3】（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）哈尔滨市香坊区为了了解全区1万名学生的汉字书写水平，在全区范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）估算该校50名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）求这50名学生成绩在的人数；
（3）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全区前228名的人数记为，求的分布列和数学期望.
参考数据：，则，，
【考点精练】
1（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量
频数 5 6 9 12 8 6 7
（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.
（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值（精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，，.
2．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.
（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）.
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
3．（2021·全国·高二单元测试）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用298名职员，其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名.
（1）求最低录取分数（结果保留整数）；
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.
参考资料：①当时，令，则.②当时， ，，，.
4．（2021·山东胶州·高二期中）年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．
（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）
附1：，，．
（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？
附2：若，则．
5．（2021·福建泉州·高二期末）2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.
（1）求这100名受访群众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值代替）.
（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为.
①求；
②从年龄在，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在内的人数为，求变量的分布列和数学期望.
参考数据：取，若，则，
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第10讲 正态分布
【知识梳理】
知识点一 正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
知识点二 正态曲线的特点
1．对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
【题型归纳】
考点一 正态分布曲线
【例1】（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
2．（2021·全国·高二课时练习）（多选）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
3．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ）
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
4．（2021·全国·高二课时练习）(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（ ）
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
考点二 正态分布（小题）
【例2-1】（2021·全国·高二课时练习）若随机变量，且，则等于（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
【例2-2】（2021·全国·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考点精练】
1．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）若随机变量，且，则（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
2．（2021·全国·高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（ ）
（注：若随机变量服从正态分布，则，）
A．31.7% B．27.18%
C．13. 55% D．4.5%
3．（2021·全国·高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
4．（2021·全国·高二课时练习）随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 ( )
A． B．
C． D．
考点三 正态分布的应用（解答题）
【例3】（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）哈尔滨市香坊区为了了解全区1万名学生的汉字书写水平，在全区范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）估算该校50名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）求这50名学生成绩在的人数；
（3）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全区前228名的人数记为，求的分布列和数学期望.
参考数据：，则，，
【考点精练】
1（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量
频数 5 6 9 12 8 6 7
（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.
（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值（精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，，.
2．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.
（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）.
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
3．（2021·全国·高二单元测试）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用298名职员，其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名.
（1）求最低录取分数（结果保留整数）；
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.
参考资料：①当时，令，则.②当时， ，，，.
4．（2021·山东胶州·高二期中）年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．
（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）
附1：，，．
（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？
附2：若，则．
5．（2021·福建泉州·高二期末）2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.
（1）求这100名受访群众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值代替）.
（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为.
①求；
②从年龄在，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在内的人数为，求变量的分布列和数学期望.
参考数据：取，若，则，
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