第5讲 2.1数列的概念与简单表示法
文档属性
| 名称 | 第5讲 2.1数列的概念与简单表示法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 117.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-03-18 08:36:05 | ||
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文档简介
第五讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的定义： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 注意： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不
同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2．数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n位的数称
为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。 注意：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数
在数列中的位置序号。 3. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为。其中是数列的第项。 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第n项。
二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意： ⑴并不是所有数列都能写出其通项公式； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是. ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. ⑷数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 2. 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前n项逐个相加之和，通常用表示，即； 3．与的关系 当时； 当时， 故.
四：数列的表示方法 1．通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 2．列表法 3．图象法： 4．递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 规律方法指导 1．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2．数列与函数的关系 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。 （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数
列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 （3）数列的图象是落在y轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点 ，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的
右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】【题型一】根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1：（1）观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出各数列的一个通项公式：
（1）1、、、、、（ ）…
（2）1，，（ ），2，，（ ），…
（3）（ ），-4 ,9，-16，25，（ ），49…
(4)
(5)
（2）、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝1, ＝ (n∈N)；
【题型二】通项公式的应用
例2：已知数列的通项公式为
（1）指出数列的第4项和第6项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是给数列的一项呢？
【题型三】递推公式的应用
例3．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
例4、已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围
例5、已知数列的前n项和公式，求的通项公式
①； ②
【课堂练习】
数列中，，则= （ ）
A.2 B.3 C.9 D.32
已知数列1,2,3,4，...，则这个数列的一个通项公式是 （ ）
A. B. C. D.
3、数列4，－１，，－ ，，…的一个通项公式是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列说法中，正确的是 （ ）
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,2,3与数列2,3,1,0是相同的数列
C.数列的第想为
D.数列0，2,4,6，...可记为
5、（1）
（2）
（3）8,88,888,8888,88888，…
6、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
7、已知数列
(1)写出这个数列的一个通项公式; (2)根据判断数列的增减性和有界性.
8、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1
9、根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
（1） a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
（2） a1＝1，an＝ (n≥2)
【课后练习】
1. 设数列则是这个数列的 （ ）
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列中，，，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
5.设数列， ，其中a、b、c均为正数，则此数列 （ ）
A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增
6. 数列的一个通项公式是 。
7. 数列的前n项和，则 。
8. 数列满足，则 。
9. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
10. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，
（1）若，求的值；
（2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.
11. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
1．数列的定义： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 注意： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不
同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2．数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n位的数称
为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。 注意：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数
在数列中的位置序号。 3. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为。其中是数列的第项。 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第n项。
二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意： ⑴并不是所有数列都能写出其通项公式； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是. ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. ⑷数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 2. 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前n项逐个相加之和，通常用表示，即； 3．与的关系 当时； 当时， 故.
四：数列的表示方法 1．通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 2．列表法 3．图象法： 4．递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 规律方法指导 1．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2．数列与函数的关系 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。 （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数
列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 （3）数列的图象是落在y轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点 ，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的
右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】【题型一】根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1：（1）观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出各数列的一个通项公式：
（1）1、、、、、（ ）…
（2）1，，（ ），2，，（ ），…
（3）（ ），-4 ,9，-16，25，（ ），49…
(4)
(5)
（2）、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝1, ＝ (n∈N)；
【题型二】通项公式的应用
例2：已知数列的通项公式为
（1）指出数列的第4项和第6项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是给数列的一项呢？
【题型三】递推公式的应用
例3．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
例4、已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围
例5、已知数列的前n项和公式，求的通项公式
①； ②
【课堂练习】
数列中，，则= （ ）
A.2 B.3 C.9 D.32
已知数列1,2,3,4，...，则这个数列的一个通项公式是 （ ）
A. B. C. D.
3、数列4，－１，，－ ，，…的一个通项公式是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列说法中，正确的是 （ ）
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,2,3与数列2,3,1,0是相同的数列
C.数列的第想为
D.数列0，2,4,6，...可记为
5、（1）
（2）
（3）8,88,888,8888,88888，…
6、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
7、已知数列
(1)写出这个数列的一个通项公式; (2)根据判断数列的增减性和有界性.
8、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1
9、根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
（1） a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
（2） a1＝1，an＝ (n≥2)
【课后练习】
1. 设数列则是这个数列的 （ ）
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列中，，，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
5.设数列， ，其中a、b、c均为正数，则此数列 （ ）
A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增
6. 数列的一个通项公式是 。
7. 数列的前n项和，则 。
8. 数列满足，则 。
9. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
10. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，
（1）若，求的值；
（2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.
11. 已知数列满足，，求数列的通项公式.