第 7 讲 2.3等差数列前n项的和

第七讲 等差数列前n项的和
【知识点】
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为
Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数且常数项为0.)．
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
【典型例题】
例1、等差数列的常用性质
（1）（2009福建高考）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 （ ）
A．1 B C.- 2 D 3
（2）（2008重庆高考）．已知为等差数列，，则等于 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
（3）已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
（4）在等差数列中，，那么 （ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
（5）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 (　 　)
A.　　 　 B. C. D.
（6）(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于 (　 　)．
A．13 B．35 C．49 D．63
（7）若等差数列、的前项和分别为和，且，则等于 （ ）．
A. B. C. D.
(8)已知等差数列的前项和为30，前2项和为100，则它的前3项和为 （ ）.
A.130 B.170 C.210 D.260
（9）已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 (　 　)
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5
例2．已知数列{an}是等差数列．
(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
等差数列前n项和的最值
例3?设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
例4、已知数列的前n项和为，且满足，
（1）求证：是等差数列； （2）求的表达式．
【课堂练习】
1.在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
2.已知为等差数列，，则等于( )
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
3、已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于 ( )
A.18 B.27 C.36 D.45
4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，
则使得为整数的正整数n的个数是 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．
6、若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝___________.
7、等差数列的前n项和．则此数列的公差 　　 ．
8、已知等差数列与中，，则 .
9、在等差数列中，，则数列前 项和最大？
10、设是等差数列的前项和，若，则 .
11、等差数列中，，则此数列前20项的和为 .
12、已知某等差数共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之项和为30，则公差为 .
13、在等差数列中，，则 .
14、在等差数列中，，则
【课后练习】
1、等差数列的前n项和为 （ ）
A. B. C. D.
2、已知等差数列满足，则 （ ）
A. B. C. D.
3、在等差数列中，已知，那么它的前8项之和等于 （ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
4、设是公差为的等差数列，若，
则的值为 （ ）
A. 78 B. 82 C. 148 D. 182
5、在等差数列中，，则等于 （ ）
A. 5或7 B. 3或5 C. 7或 D. 3或
6、设数列是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7、一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为 （ ）
A. B. C. D.
8、等差数列中，，则等于 （ ）
A. 11 B. 9 C. 9或18 D. 18
9、数列是等差数列，它的前项和可以表示为 （ ）
A. B.
C. D.
10、 。
11、等差数列中，，则 。
12、等差数列中，，则 。
13、在等差数列中，已知求和 。
14、（10山东理18）已知等差数列满足：，的前项和为.
求及；
令，求数列的前项和.
15、已知数列满足，令
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.