第 8 讲 2.4等比数列
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第八讲 等比数列
【知识点】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项：如果a、G、 b成等比列，那么G叫做a与b的等比中项 即G2＝a·b(ab≠0)，
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
（5）在等比数列中，（1）若项数为，则 （2）若项数为，则
（6）、若为等差数列，则 (c>0)是等比数列．
（7）、若为等比数列，则(c>0且c1) 是等差数列
5.在等比数列中，
⑴ 当，q >1时，数列是递增数列；
⑵ 当，，数列是递增数列；
⑶ 当，时，数列是递减数列；
⑷ 当，q >1时，数列是递减数列；
⑸ 当时，数列是摆动数列；
⑹ 当时，数列是常数列.
6.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
【典型例题】
例1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
例2、如果-1，a，b，c，-9成等比数列那么（ ）
A.b=3, ac=9 B. b=－3,ac=9
C. b=3, ac=－9 D. b=－3,ac=－9
例3、①在等比数列中,则
② 设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且，
那么=
③在等比数列中，若，则 ；若，则
④在等比数列中，，则
待定系数法（构造法）
求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。
例4、已知数列{an}满足a1=1，且an+1 =+4，求.
等比数列通项公式的应用
例5、已知等比数列，若
【课堂练习】
1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
2.等比数列中，，，那么它的公比（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等比数列，>，又知，那么（ ）
A. B. C. D.
4.等比数列中，，，若，则为（ ）
A. B. C. D.
5.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
6、和的等比中项是 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
7、在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为 （ ）
A. B. C. D.
8、在等比数列中，且，则的值为 （ ）
A. 16 B. 27 C. 36 D. 81
9、已知公比为的等比数列，若，则数列是 （ ）
A. 公比为的等比数列 B. 公比为的等比数列
C. 公差为的等差数列 D. 公差为的等差数列
10、在正项等比数列中，是方程的两个根，
则的值为 （ ）
A. 32 B. 256 C. D. 64
11、若成等差数列，而和都分别成等比数列，则的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
12、若正数组成等比数列，则一定是 （ ）
A. 等差数列 B.既是等差数列有是等比数列
C. 等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
13、在等比数列中，已知，则= （ ）
A. 8 B. －8 C. D. 16
14、若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则 。
15.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
16、在等比数列中，，则公比q＝ .
17、设是各项均为正数的等比数列，，
求。
18、已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，
求数列的通项公式。
【课后练习】
1、在等比数列中，如果，，那么为 （ ）
A． B． C． D．
2、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是 （ ）
A． B． C． D．
3、若、、成等比数列，则函数 的图象与轴交点的个数为 （ ）
A． B． C． D．不确定
4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为
A． B． C． D． （ ）
5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6、如果1，，，，9成等比数列，那么 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
7、在等比数列中，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
8、在等比数列中，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是 （ ）
A． B． C． D．
13、在等比数列中，若，，则的值为 （ ）
A． B． C．或 D．不存在
14、等比数列中，，，则 （ ）
A． B． C．或 D．或
15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（ ）
A． B． C． D．
16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于 （ ）
A． B． C． D．
19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
20、数列满足，，则_________．
21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．
22、若为等比数列，且，则公比________．
23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．
24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．
25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．
26、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．
27、若数列满足关系，an+1 =2 an+1，求数列的通项公式．
【知识点】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项：如果a、G、 b成等比列，那么G叫做a与b的等比中项 即G2＝a·b(ab≠0)，
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
（5）在等比数列中，（1）若项数为，则 （2）若项数为，则
（6）、若为等差数列，则 (c>0)是等比数列．
（7）、若为等比数列，则(c>0且c1) 是等差数列
5.在等比数列中，
⑴ 当，q >1时，数列是递增数列；
⑵ 当，，数列是递增数列；
⑶ 当，时，数列是递减数列；
⑷ 当，q >1时，数列是递减数列；
⑸ 当时，数列是摆动数列；
⑹ 当时，数列是常数列.
6.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
【典型例题】
例1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
例2、如果-1，a，b，c，-9成等比数列那么（ ）
A.b=3, ac=9 B. b=－3,ac=9
C. b=3, ac=－9 D. b=－3,ac=－9
例3、①在等比数列中,则
② 设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且，
那么=
③在等比数列中，若，则 ；若，则
④在等比数列中，，则
待定系数法（构造法）
求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。
例4、已知数列{an}满足a1=1，且an+1 =+4，求.
等比数列通项公式的应用
例5、已知等比数列，若
【课堂练习】
1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
2.等比数列中，，，那么它的公比（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等比数列，>，又知，那么（ ）
A. B. C. D.
4.等比数列中，，，若，则为（ ）
A. B. C. D.
5.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
6、和的等比中项是 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
7、在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为 （ ）
A. B. C. D.
8、在等比数列中，且，则的值为 （ ）
A. 16 B. 27 C. 36 D. 81
9、已知公比为的等比数列，若，则数列是 （ ）
A. 公比为的等比数列 B. 公比为的等比数列
C. 公差为的等差数列 D. 公差为的等差数列
10、在正项等比数列中，是方程的两个根，
则的值为 （ ）
A. 32 B. 256 C. D. 64
11、若成等差数列，而和都分别成等比数列，则的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
12、若正数组成等比数列，则一定是 （ ）
A. 等差数列 B.既是等差数列有是等比数列
C. 等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
13、在等比数列中，已知，则= （ ）
A. 8 B. －8 C. D. 16
14、若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则 。
15.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
16、在等比数列中，，则公比q＝ .
17、设是各项均为正数的等比数列，，
求。
18、已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，
求数列的通项公式。
【课后练习】
1、在等比数列中，如果，，那么为 （ ）
A． B． C． D．
2、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是 （ ）
A． B． C． D．
3、若、、成等比数列，则函数 的图象与轴交点的个数为 （ ）
A． B． C． D．不确定
4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为
A． B． C． D． （ ）
5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6、如果1，，，，9成等比数列，那么 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
7、在等比数列中，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
8、在等比数列中，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是 （ ）
A． B． C． D．
13、在等比数列中，若，，则的值为 （ ）
A． B． C．或 D．不存在
14、等比数列中，，，则 （ ）
A． B． C．或 D．或
15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（ ）
A． B． C． D．
16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于 （ ）
A． B． C． D．
19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
20、数列满足，，则_________．
21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．
22、若为等比数列，且，则公比________．
23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．
24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．
25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．
26、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．
27、若数列满足关系，an+1 =2 an+1，求数列的通项公式．