10.1.3 古典概型 课件（共40张PPT）

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2022
第十章 概率
10.1.3 古典概型
目 录
01
02
03
04
复习回顾
课堂总结
古典概型概率公式
问题引入
古典概型定义
05
06
巩固练习
复习回顾
01
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：
事件的关系或运算 含义 符合表示
包含 A发生导致B发生 A B或B A
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B= ，A∪B=Ω
注：（1）对立事件是特殊的互斥事件，
若事件A，B对立，则A，B一定互斥，且A∪B是必然事件；
若事件A，B互斥，则A，B不一定对立．
(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.
问题引入
02
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability),事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
思考:在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
问题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点出现的可能性相等吗？
问题2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些样本点？每个样本点出现的
可能性相等吗？
古典概型
03
彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征；
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型
1.古典概型定义
古典概型也叫传统概率、
其定义是由法国数学家
拉普拉斯 (Laplace )
提出的。如果一个随机
试验所包含的单位事件
是有限的，且每个单位
事件发生的可能性均相等，则这个随机试验
叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型
就叫古典概型。
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点． (　　)
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)
2.思考：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
答：不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
×
√
√
概念辨析
3.判断下列概率模型是否是古典概型：
(1)从1~10中任取一个整数，求取到1的概率；
(2)从区间[1,10]中任取一个数，求取到1的概率；
(3)种下一粒种子观察它是否发芽
(4)在一次掷骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率。
是
不是
是
不是
4 下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【跟踪训练】1 下列试验中是古典概型的是(　 　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
①②④
B
思考：
1. 考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小
一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”
解:班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.
因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量，显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.
因此，事件A发生的可能性大小为18/40=0.45
2.下面的随机事件,如何度量事件B发生的可能性大小
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”
解:我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375
古典概型的概率公式
04
2、古典概型的概率公式
法国数学家拉普拉斯在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义.
　　　一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，
事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
例1、单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案；假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”,因为正确答案是唯一的,所以n(M)=1.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
练：1.从52张扑克牌(不含大小王)中随机抽一张牌，计算下列事件的概率:
(1) 抽到的牌是7；
(2) 抽到的牌不是7；
(3) 抽到的牌是方片；
(4) 抽到J或Q或K；
(5) 抽到的牌既是红心又是草花；
(6) 抽到的牌比6大比9小；
(7) 抽到的牌是红花色；
(8) 抽到的牌是红花色或黑花色.
1.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任选一个数,所选中的数是3的倍数的概率为 .
2.一副扑克牌有54张，去掉大王和小王，在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,试分析以下各个事件： A:抽到一张Q ; B:抽到一张“梅花”; C:抽到一张红心 K.
事件 更容易发生.
B
变式训练
思考：在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题，不定项选择题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
我们探讨正确答案的所有结果：
(1)如果只要一个正确答案是对的，则有4种；
(2)如果有两个答案是正确的，则正确答案可以是AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种
(3)如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是ABC，ABD，ACD，BCD，共4种
(4)所有四个都正确，则正确答案只有1种。
正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1＝15种，从这15种答案中任选一种的可能性只有1/15，因此更难猜对。
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出此试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m, n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间
Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}.共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
共36种.
树状图
1
2
3
4
5
6
1
2
2
3
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5
6
1
法一：
列举法
法二：
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) },
所以n(B)=6,从而
（2）因为A={(1,4),(2，3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，所以n(C)=15,从而
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
思考：在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号 如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
如果不给两枚骰子标记号,则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点,有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间
Ω1={(m，n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n}，则n(Ω1)=21. 其中，事件A =“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)}，这时
思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢
可以发现，36个结果都是等可能的;而合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等,这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，
例3. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”
解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以
同时摸出2个球则事件AB的概率是多少？
例4. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点
(1)根据相应的抽样方法可知:
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),
(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),
(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样的样本空间
Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2)}
(2)设事件A=“抽到两名男生”,
则对于有放回简单随机抽样, A={ (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此P(A)=2/12=1/6≈0.167.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0
此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,
在按性别等比例分层抽样时最小,
在不放回简单随机抽样时次之,
在有放回简单随机抽样时最大,
因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，
1.用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;
2.用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.
3.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.
所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
巩固练习
05
1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
答案:A
解析:如图:
基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率
2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为(　　)
答案:A
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为 .故选A.
3.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　　.
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为
4.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),
课堂总结
05
课堂总结
1.古典概型的特征：
有限性
等可能性
2.古典概型的计算公式：
对于古典概型，任何事件A的概率为：
P(A)＝
谢谢观看