第 9 讲 2.5等比数列前n项和

第九讲 等比数列前n项的和
【知识点】
1、等比数列的通项公式：
(1); (2) .(其中为首项、为第项，;
2、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn== Sn=
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，
两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝ (q≠1)．
两个防范
(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
（5）在等比数列中，（1）若项数为，则 （2）若项数为，则
（6）、若为等差数列，则 (c>0)是等比数列．
（7）、若为等比数列，则(c>0且c1) 是等差数列
【典型例题】
例1?(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.
例2、一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
例3、(1)设数列{}是等比数列，其前n项和为，且=3则公比q的值为（ ）
A - B C 1或 D -1或
(2) 数列{an}是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n= ．
例4、数列{}的前n项和2.,确定m的值使数列为等比数列
例5、求和:=

【课堂练习】
1.等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是( )
A.179 B.211 C.243 D.275
2.等比数列中,, 前3项和,则公比q为 ( )
A.3 B.?4 C.3或?4 D.?3或4
3.等比数列的前n项和,则等于 ( )
A.3 B.1 C.0 D.?1
4.已知等比数列的前项和,前项和,则前项和 ( )
A.64 B.66 C. D.
5.等比数列中,,,则( )
A.12 B.10 C.8 D.
6.若是等比数列,前n项和,则 ( )
A. B.
C. D.
7.等比数列4，?2，1，???的前10项和是 .
8. .
9.在等比数列中,,,则 .
10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .
11、求等比数列 的第5项到第10项的和 .
12、数列{an}是等比数列，其中Sm=48，S2m=144，求S3m= ．
13.在等比数列中,,, 14.等比数列中前n项和为,, ,
且前n项和，求n以及公比q. 求的值.
【课后练习】
1.已知数列的通项公式为,则数列的前5项和 ( )
A. B.62 C. D.682
2.已知等比数列的通项公式为，则由此数列的
偶数项所组成的新数列的前n项和 ( )
A. B. C. D.
3.等比数列中,,前三项和,则公比q的值为 （ ）
A.1 B. C.1或 D.或
4.在公比为整数的等比数列中，如果, ,则这个数列的前8项之和( )
A.513 B.512 C.510 D.
5.若,则是,,成等比数列的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.数列的前99项和为 （ ）
A. B.
C. D.
7.在等比数列｛an｝中，S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20等于 ( )
A.32 B.16 C.35 D.162
8.已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于 ( )
A.100 B.80 C.60 D.40
9.一个等比数列，它的前n项和Sn=abn+c，其中a、b、c为常数且a≠0，b≠0且b≠1，
则a、b、c必须满足 ( )
A.a+b=0 B.b+c=0 C.a+c=0 D.a+b+c=0
10.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于 ( )
A.70 B.90 C.100 D.120
11.一个等比数列｛an｝的首项为a1=2，公比q=3，从第m项到第n项(m＜n)的和为720，则m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.数列｛an｝是由实数构成的等比数列，Sn=a1+a2+…+an，则数列｛Sn｝中 ( )
A.任一项均不为0 B.必有一项不为0
C.至多有有限项为0 D.或无一项为0，或有无穷多项为0
13.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8100元，
则15年后，价格降低为 ( )
A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元
14.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n项和Sn等于 ( )
A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n-2n
15.一个等比数列｛an｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an+1为 ( )
A. B. C.20 D.110
16.已知lgx+lgx2+…+lgx10=110,则lgx+(lgx)2+…+(lgx)10= .
17.在等比数列｛an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则n= .
18.S=1+a+a2+a3+…+a10= .
19.等比数列首项为2，公比为3，从前 项的和开始大于100.
20.数列满足,,,…, 是以1为首项，为公比的等比数列，则的通项公式 .
21.已知等比数列｛an｝的首项a1＞0，公比q＞0.设数列｛bn｝的通项bn=an+1+an+2(n∈N+)，数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为An与Bn，试比较An与Bn的大小.
22.已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，其中,,…, 恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，
求k1+k2+…+kn的值.
23.设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-4(n∈N+)，数列｛bn｝满足：bn+1=an+2bn，且b1=2，(1)求通项an.(2)求｛bn｝前n项的和Tn.