第 11 讲 3.1 不等式及其性质

第十一讲 不等式及其性质
【知识点】
1、不等式的定义
用不等号（<，>，，，）表示不等关系的式子叫不等式。如：，等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“”或“”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
2、不等式的分类
（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。如：、、等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：、等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。如、等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。如：与是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。如与是异向不等式。
3、不等式的性质与推论
①对称性：；（也叫反身性）
②传递性：，；
③加法性质：；（这是不等式移项法则的基础）
推论：，；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向）（也叫同向不等式可加性）
④乘法性质：，；，；
推论1：，（同向正值不等式可乘性）
推论2：，，；（正值不等式可乘方）
⑤开方性质：，，。（正值不等式可开方）
注意：
（1）性质③、④、⑤要注意符号。
（2）还有一些常用的结论，大家也要掌握：“， a（3）在使用性质时，如果不满足条件，要注意符号的变换。
（4）不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。
4、两个实数的大小：作差法和作商法
；；
【典型例题】
1．设，下列不等式成立是 （ ）
A. B. C. D.
2．下列命题成立是 （ ）
A. 如果，且，那么 B. 如果，且，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
3．已知，下列不等式成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
4．已知，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5．已知下列不等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
6． 给出下列命题，其中正确的是 （ ）
①若，则 ②若，则
③，则 ④ 则
A. ①② B. ②③ C. ②③④ D.①②③④
7、已知则的取值范围是 。
8、已知则的大小关系是 。
9．下列四个条件中，能推出的有 。
① ② ③ ④
10、 判断下列各命题的真假：
①如果，那么： ；②如果，那么： ；
③如果，那么： ；④如果，那么： 。
⑤如果，那么： ；⑥如果，那么：
⑦如果，那么： ；⑧如果，那么： 。
11、利用不等式的性质求范围(待定系数法)
已知x 、y满足试求x+3y的取值范围？
【课堂练习】
1.如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A. . . .
2、下列命题：①；②
；③；④（），其中真命题是（ ）
A、①②③ B、①③ C、②③④ D、①③④
3、如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、若，则下面各式中恒成立的是（　　　）．
（A）　　　　（B）
（C）　　　　　（D）
5、设，则（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知，那么a，－a，－b，的大小的关系是（　 ）
A． B． C． D．
7．若，则下列关系中不能成立的是（ 　）
A．　 B． C． D．


10、若，，则（ ）
A． B． C． D．
11、比较x2+3与的大小，其中． 12、已知求4a-2b的取值范围。
【课后练习】
判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”
不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）
如果a＞b，那么3－2a＞3－2b. （ ）
如果a是有理数，那么－8a＞－5a. （ ）
如果a＜b，那么a2＜b2. （ ）
如果a为有理数，则a＞－a. （ ）
如果a＞b，那么ac2＞bc2. （ ）
如果－x＞８，那么x＞－8. （ ）
若a＜b，则a＋c＜b＋c. （ ）
若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为 （ ）
A．a＞０　 　B．ａ＜０　　 C．ａ≥0 D．a≤0
3．如果m＜n＜0,那么下列结论中错误的是 （ ）
A、m－9＜n－9 B、－m＞－n C、 D、
4．2a与3a的大小关系 （ ）
A、2a＜3a B、2a＞3a C、2a＝3a D、不能确定
5．由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是 （ ）
A、a≤0 B、a＜0 C、a≥0 D、a＞0
６．下列各题中，结论正确的是 （ ）
A．若a＞0，b＜0，则b／a＞0 B．若a＞b，则a－b＞0
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则b／a＜0
7、如果且，那么以下不等式正确的个数是 （ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
8、已知不等式①，②，③能成立的个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
9.若a>b>c，a+b+c＝0，则下面不等式中恒成立的是 (　　 )
A.ab>ac　　　　　　　　　　　　　B.ac>bc
C.a｜b｜>｜b｜c　　　　　　　　　D.a2>b2>c2
10.若a,b,∈R，则ab(a-b)>0成立的一个充要条件是 (　 　)
A.0<<　　　　　　　　　　　　B.0<<
C.<　　　　　　　　　　　　　D. <
11.若a+d＝b+c,｜a-d｜<｜b-c｜则ad与bc的关系是 (　 　)
A.ad＝bc　　　　　　　　　　　　　B.adC.ad>bc　　　　　　　　　　　　　 D.ad与bc的大小不确定
12.已知0A. C.logba<13、若，，则，的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．随值的变化而变化
14、下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是 （ ）
A． B． C． D．
15、用“”“”号填空：如果，那么________
16、若xR，则x2与x-1的大小关系是
17、若a>0,b>0，则a4+b4 a3b+ab3
18、比较与的大小 19、设，
求的取值范围．