第 14 讲 3.4基本不等式

第十四讲 3.4基本不等式
【知识点】
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么即 (一正二定三相等)
?我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
4、（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
1）
（当且仅当时取到等号）.
2)
（当且仅当时取到等号）.
3)（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
4)，（其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
5、几个著名不等式
①平均不等式：，，当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：

【典型例题】
1、已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.
2、x y z∈R+已知xyz(x+y+z)=1，则求（x+y）(y+z)的最小值？
3、已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
4、当时，求的最大值。（凑系数）
5、当x＞1时，求函数y＝x＋的最小值
6、已知a、b、c，且。求证：
【课堂练习】
1.下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
2.下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
3.设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二. 填空
（1）已知且，则的最小值是
（2）若正数满足，则的取值范围是
（3）已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值
（4）已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值为
（5）已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的取值范围为 .
（6）若，且恒成立，则的最小值为
三利用均值不等式求值域（最值）
（1）求函数的值域。 （2）求函数的最小值。
5 .不等式的证明
（1）求证： （2）求证
6、已知x＞0,y＞0，且y+9x=xy,，求x+y的最小值. 7、 已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.
【课后练习】
1. 若，下列不等式恒成立的是　　　　　　　　　　 （　 　）
A．　　　B．　　C．　 D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是 　　　　（ ）
Ａ．　　　　　 Ｂ. 　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a
3. 设x>0,则的最大值为 （ 　　）
Ａ．3　　　　　　Ｂ．　　　　 Ｃ．　　　　Ｄ．－1
4. 设的最小值是 ( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有　　　　　　　　　 （　 　）
Ａ．最大值16　 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（　 　）　
Ａ．　　　 Ｂ．　　 Ｃ． 　　Ｄ．
9. 下列函数中，最小值为4的是　　　　 （　 　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．　　　　 Ｄ．
10、若, 且, 则的最小值是 ( )
A. B. 6 C. 4 D.
11. 函数的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .
15、已知, 则函数的最小值是 . :
16. 已知函数
（1）当时, 求函数的最小值及相应的的值;
（2）, 求实数的取值范围.
17、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
18、设，求函数的最大值。