苏科版数学七年级下册 12.2 证明 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
12.2证明
180°
三角形3个内角的和是 .
探索发现
你知道如何证明吗？
A
B
C
通过以上操作，你得到了什么结论
三角形三个内角的和等于180°.
结论：
我们在前面学习的时候是如何发现的？
探索发现
证明与图形有关的命题，
一般步骤是：
①根据题意，画出图形
②根据命题的条件、结论，结合图形写出已知求证；已知部分是条件，求证部分是结论。
③写出证明过程。
如何证明三角形内角和等于180°？
试一试！
探索发现
证明:如图,作BC的延长线CD,
过点C作CE∥AB.
则∠1= ∠A
∠2= ∠B
A
B
C
1
2
D
E
已知:△ABC
求证:∠A+∠B+∠C=180°
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°
(两直线平行,内错角相等)
(两直线平行,同位角相等)
（平角的定义）
（等量代换).
探索发现
三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°。
A
B
C
你还有什么不同的方法证明这个定理
D
1
探索发现
A
B
C
E
D
你还有什么
不同的方法
A
B
C
P
H
Q
E
B
C
D
A
1
2
3
3
1
2
1
2
3
探索发现
关于辅助线
1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？
由三角形内角和定理，可以知道：
∠ 1+ ∠ 2+∠3=180°
又∵ ∠ α + ∠ 3=180°
∴ ∠α=∠1+∠2
三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论
α
C
B
A
γ
β
1
2
3
同样道理：∠ β= ∠1 ＋ ∠3，
∠ γ ＝ ∠2 ＋ ∠3
探索发现
例：已知：如图，AC、BD相交于点O，
求证：∠A+∠B=∠C+∠D
C
A
O
B
D
证明：在△ AOB中，
∠A ＋ ∠B ＋∠AOB=180°
（三角形内角和定理）
∴ ∠A ＋ ∠B ＝180°- ∠AOB
(等式的性质)
在△ COD中，同理可得∠C＋∠D=180°-∠COD
∵∠AOB=∠COD(对顶角相等）
∴ ∠A ＋ ∠B = ∠C＋∠D（等量代换）
1 . 如图，∠α、∠β、∠γ是△ABC的3个外角；
猜想△ABC的3个外角的和是多少？证明你的猜想。
解： ∠α+ ∠β+ ∠γ=360°
∵ ∠1+ ∠α=180° ∠2+ ∠β=180°
∠ 3+ ∠γ= 180 (平角的定义)
∴∠1+ ∠α+∠2+ ∠β+ ∠3+ ∠γ=540°
∴ ∠α+ ∠β+ ∠γ =540°- (∠1 +∠2+ ∠3)
= 540°- 180°
= 360°
γ
β
C
B
A
α
⌒
1
⌒
2
3
⌒
课堂练习
2. 证明：直角三角形两个锐角互余。
求证：∠A＋∠B＝90°
已知：如图，△ABC中，∠C=90°
证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°
(三角形的内角和定理)
∴ ∠A＋∠B=180°-∠C
又∵ ∠C=90°
∴ ∠A＋∠B=180°- 90°= 90°
课堂练习
3、四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.
已知：四边形ABCD
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明:
连接AC
∵∠1+∠2+∠D=180°
∠ 3+∠4+∠B=180°
A
B
C
D
⌒
⌒
⌒
2
⌒
1
3
4
∴∠1+∠2+∠D+∠3+∠4+∠B=360°
又∵ ∠DAB=∠1+∠3 ∠DCB=∠2+∠4
∴ ∠DAB+ ∠B+ ∠DCB+∠D= 360°(等量代换)
即四边形的内角和等于360°
360
(三角形的内角和定理)
课堂练习
通过这节课的学习,你有哪些收获？
1.我们通过添加辅助线,把三角形的3个内角拼成1个平角;把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角,证明了三角形内角和定理及推论.
2.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
课堂小结
已知:如图，D是△ ABC内的任意一点.
求证: ∠BDC= ∠1+ ∠A+ ∠ 2
A
B
D
C
Q
⌒
⌒
1
2
课后练习
备用题：已知：如图，已知AD是△ABD和
△ACD 的公共边
求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
A
B
C
D
如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.
求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
A
B
C
D
1
2
3
4
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3 （三角形内角和定理）
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4 （三角形内角和定理）
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－ ∠C－∠4 ）＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.
求证∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
证法二：
A
B
C
D
1
2
B
D
A
C
1
2
3
4
3 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
证法三：延长AD
∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C
∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
在△ABC中，以A为顶点的一个外角120°，∠B=50°，则∠C= °.
A
B
C
D
70
已知，如图，AD是△ABC的高.
求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.
A
B
D
C
探索：
（1）如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
A
B
C
D
E
(甲)
B
A
E
B
C
D
(乙)
A
E
D
C
(丙)
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
谢谢！