第二章 平行线与相交线导学案(2013年北师大新版)

第二章 平行线与相交线
2.1 两条直线的位置关系
学习目标：了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等。
学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
学习难点：学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。
一、自主学习
1、预习书38、39页
2、在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和 _________。
3、若两条直线只有一个_________，则这两条直线__________________。
4、在同一平面内，__________________的两条直线叫做__________________。
5、如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠3的公共顶点为_________，
∠1与∠3的两边互为_________线，则∠1与∠3这两个角
叫_________，此图中_____与_____也叫对顶角。
6、对顶角有何性质____________________________________。
7、预习作业：
①在一副三角板中,每块都有一个角是90°,那么其余两个角的和是多少?
②已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________
③已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________
二、合作探究
8、⑴请同学们拿出事先准备好的直角纸板，用剪刀把直角从顶点
剪开，问：这两个角有什么关系？
⑵再拿出平角纸板并用剪刀把平角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系?
9、⑴在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o 。一般情况下，如果两个角的和等于90o （直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
⑵符号语言：若 = 90o ， 那么∠1与∠2互余。
若 =180o ， 那么∠3与∠4互补。
10、填表：
一个角
30O
70O
这个角的余角
90o-∠
这个角的补角
180o-∠
11、若一个角是它余角的4倍，求这个角。
变式训练：（1）一个角的补角是它的3倍，求这个角。
（2）一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角。
12、①如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？用数学语言表示。
解： ∵______+______=180°
______+______=180°
又∵______=______
∴______=______
②已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？仿照上题格式，写出推理过程。
写出余角与补角的性质结论：
______或______的余角相等，____________________________也相等。
三、展示点拨
13、如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角?
∠ADC与∠BDC有什么关系?为什么?∠ADF与∠BDE有什么关系?为什么?
14、如图，C是AB上的一点，CD是∠ACB的平分线，
则①图中互余的角是__________，互补的角是_________，
相等的角是__________。②在图中再添一条射线CF，使
∠FCE=90°，则图中∠FCD余角是____________，∠ACF
的余角是__________，∠FCB的补角是__________，
理由是____________________________________
15、已知：如图∠AOB =∠COD= 90°，问：图中有几对等的角，并说明理由。
四、达标检测
1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．
2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直
线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°， 若∠COE=55°，求∠BOD的度数．
4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，∠AOE的度数．
五、拓展延伸
1、（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，
∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．
2、（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．
六、学习收获
2.2 探索直线平行的条件（1）
学习目标：会认识三线八角所成的同位角、掌握平行线公理及平行线的传递性。
学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”
学习难点：判断两直线平行的说理过程
一、自主学习
1、预习书44--48页
2、思考：①什么叫同位角、内错角、同旁内角？
②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？
3、预习作业
①∠1的两边分别是射线 ，
∠2的两边分别是射线 ，
它们恰好有一条边在同一条直线 上。
②如图所示，∠1与∠2是 角；它们是由直线
和直线 ，被直线 所截得的；③∠1与
∠4是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；
④∠3与∠4是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的。
二、合作探究
1、两直线被第三直线所截，可形成的角有 ， ， 。
同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：
基本图形
角的名称
位置特征
学法指导：针对同位角，①找准 ；②分清两个“同侧”。
即：两个角相对截线来说是同侧（同上、同下或同左、同右）相对被截线来说是同侧。
例1、如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角
是 ，是对顶角的是 。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理）
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ ( )
如图
（1）∵a⊥b,c⊥a（已知）
∴∠1=∠2= （垂直的定义）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律 。
三、展示点拨
1、如图，已知，试问a与b平行吗？说说你的理由。
2、作图：过直线AB外一点P，作直线CD∥AB，这样的直线CD有 条？
结论1：
平行线公理：过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
3、已知直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则 ∥ 。
结论2：
平行线的传递性：若两条直线同时与 平行，则这两条直线
。
几何语言：若a∥b，b∥c，则 ∥ 。
四、达标检测
如图所示
1、（已知）

∴ ∥ （ ）
2、（已知）
∴ ∥ （ ）
3、如图，已知，直线BC与DF平行吗？为什么？
五、拓展延伸
如图，已知，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。
六、学习收获
2.2 探索直线平行的条件（2）
学习目标：掌握直线平行的条件，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
学习难点：会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
一、自主学习
1、预习书47-48页
2、回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？②同位角相等，两直线平行。
3、预习作业：
如图所示：
（1）如果，那么 ∥
理由是
（2）如果，那么 ∥
理由是
（3）如果，那么 ∥
理由是
（4）如果，那么 ∥
理由是
二、合作探究
平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错
角 ，那么这两直线 。
简称： 。
如右图，可表述为：
∵ （ )
∴ （ )
平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内
角 ，那么这两直线 。
简称：
如右图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
例1、如右图，
∵∠1＝∠2
∴ ∥ ( )
∵∠2＝
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ( )
∴AC∥FG ( )
变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？
解：∵AB⊥BC
∴∠1+∠3=
∵
∴ =
∵∠1=∠2
∴
∴EB∥CF（ ）
例2、如图，已知，那么AB∥CD成立吗？
解：∵∠1+∠B= （ ）
∴AB∥CD（ ）
变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？
解：∵∠ 1+∠2=180°（ ）
∴AB∥_______（ ）
又∵∠1=∠3（ ）
∴∠2+∠________=180°（ ）
∴EF∥GH（ ）
三、展示点拨
如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。
（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180o；
（3）∠CAD＝∠ACB。
解：（1）∵∠ABD=∠CDB
∴ ∥ （ ）
(2) ∵∠CBA+∠BAD=180o
∴ ∥ （ ）
(3) ∵∠CAD＝∠ACB
∴ ∥ （ ）
四、达标检测
1．如右图所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．
2．如下图1所示，请你写一个适当的条件_______ ，
使得AD∥BC．
3．如图2所示AE∥BD，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4
图1 图2 图3 图4
4．如图3所示，能说明AB∥DE的有（ ）
①∠1=∠D； ②∠CFB+∠D=180°； ③∠B=∠D； ④∠BFD=∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图4所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
五、拓展延伸
如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．
解：AB∥CD 理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（ ）
∴∠1= ,∠2＝ （ ）
∵∠1+∠2=90o( )
∴∠ABD+∠CDB＝ ＝ ＝180o。
∴CD∥AB（ ）
六、学习收获
2.3 平行线的性质
学习目标：经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征。
学习重点：平行线的特征的探索
学习难点：运用平行线的特征进行有条理的分析、表达
一、自主学习
1、预习书50-53页
2、回顾：平行线有哪些判定方法？
①
②
③
3、预习作业
①如图，已知BE是AB的延长线，并且AD∥BC,AB∥DC，
若，则 度， 度。
②如图，当 ∥ 时，；
当 ∥ 时，；
二、合作探究
4、变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（ ）
A、∵DE∥BC
∴（同位角相等，两直线平行）
B、∵
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
C、∵DE∥BC
∴（两直线平行，内错角相等）
D、∵
∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）
5、如图，已知AD∥BE，AC∥DE，，可推出（1）；（2）AB∥CD。
填出推理理由。
证明：（1）∵AD∥BE（ ）
∴（ ）
又∵AC∥DE（ ）
∴（ ）
∴（ ）
（2）∵AD∥BE（ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴（ ）
∴AB∥CD（ ）
6、如图，已知AB∥CD，求的度数，写出推理过程。
三、展示点拨
7、如图，，已知AB∥CD，试说明（提示：要作辅助线）
四、达标检测
８、①∵AD∥BC（已知）
∴∠B= （　　　　　　　　　　　　）
②∵AB∥CD（已知）
∴∠D= （　　　　　　　　　　　　）
③∵AD∥BC（已知）
∴∠C+　　=180°（ ）
9、如右图，AB∥CD∥EF,BC∥DE, ∠B=70°,则∠E的
度数为（ ）
A、70° B、110° C、120° D、20°
10、如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，，试说明DG∥BC。
五、拓展延伸
11、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，的平分线与的平分线相交于点P，则，试说明理由。
六、学习收获
2.4用尺规作角
学习目标：1、会用尺规作一个角等于已知角。
学习重点：1、作一个角等于已知角；2、作角的和、差、倍数等。
学习难点：作角的和、差、倍。
一、自主学习
1、预习课本55-56页
2、思考：①用 的直尺和 作几何图形，叫尺规作图。
②直尺的功能是画 。
③圆规的功能是画 和截取 的长度。
3、预习作业
利用尺规按下列要求作图
①延长线段AB至点C，使AC=2AB
②延长线段EF至点G，使EG=3EF
③反向延长MN至P，使MP=2MN
二、合作探究
1、下列说法正确的是（ ）
A、在直线l上取线段AB=a B、作
C、延长射线OA D、反向延长射线OB
知识点一：用尺规作一个角等于已知角.
2、已知：∠α。求作：∠AOB，使∠AOB=∠α。
知识点二：用尺规作一个角等于已知角的倍数:
3、已知：∠1求作：∠MON，使∠MON=2∠1

知识点三：用尺规作一个角等于已知角的和:
4、 已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠1+∠2。

知识点四：用尺规作一个角等于已知角的差:
5、已知：∠1、∠2（∠2＞∠1）。求作：∠AOB，使∠AOB=∠2－∠1。
三、展示点拨
6、如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB
⑴请过点C画出与AB平行的另一条边。
⑵如果你只有一个圆规和一把没有刻度
的直尺，你能解决这个问题吗？
四、达标检测
7、已知直线AB，∠α、∠β，作△ABC，使△ABC中，∠A=∠α，∠B=∠β。

五、拓展延伸
8、已知：直线AB和AB外一点P，作一条经过点P的直线CD，是CD∥AB。

六、学习收获
第二章 平行线与相交线的回顾与思考
全章知识回顾
1、概念：相交线、平行线、对顶角、余角、补角、邻补角、垂直、同旁内角、同位角、内错角、平行线。
2、公理：平行公理、垂直公理
一、自主学习
1、性质：
（1）对顶角的性质 ；
（2）互余两角的性质 ；
互补两角的性质 ；
（3）平行线性质：
两直线平行，可得出 ；
；
。
平行线的判定：

或
或 都可以判定两直线平行。
2、垂线段定理： 。
3、点到直线的距离： 。
二、合作探究
4、辨认图形的方法，见右图：
（1）看“F”型找同位角；
和 是同位角。
（2）看“Z”字型找内错角；
和 是内错角。
（3）看“U”型找同旁内角；
和 是同旁内角。
5、已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB，CD于M、N，MG、NH分别是的平分线。试说明MG∥NH。
6、已知，如图。
7、已知，如图AB∥EF，,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由。
（提示：连接BE）
三、展示点拨
8、下列说法错误的是（ ）
A、是同位角 B、是同位角
C、是同旁内角 D、是内错角
9、已知：如图，AD∥BC，，求证：AB∥DC。
证：∵AD∥BC(已知)
∴ （ ）
又∵（已知）
∴（ ）
∴
∴AB∥DC（ ）
四、达标检测
10、已知：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且，，求的度数。
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）
∴ ∥ （ ）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
11、如图，已知。
解：∵（ ）
（已知）
∴（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
12、如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，，试说明BE∥CF。
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（ ）
∴( )
∴
又∵（ ）
∴（ ）
∴BE∥ （ ）
13、如图，BE∥CD，，试说明
解： ∵BE∥CD（ ）
∴ （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
∴BC∥ （ ）
∴（ ）
五、拓展延伸
14、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO，FC⊥AB于C，，试说明OD⊥AB。
解： ∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴DE∥ （ ）
∴ （ ）
∵（ ）
∴ （ ）
∴CF∥ （ ）
∴ （ ）
∵FC⊥AB（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴OD⊥AB（ ）
15、如图，BE平分，DE平分，DG平分,且，试说明BE∥DG。
解：∵BE平分，DE平分（ ）
∴ ， （ ）
∵（已知）
∴ =180°
∴ ∥ （ ）
∴ （ ）
∵DG平分（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
∴BE∥DG（ ）

六、学习收获