人教A版（2019）必修第二册6.2平面向量的运算（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．式子化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
8．已知，则等于（ ）
A． B．97 C． D．61
9．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A． B． C． D．3
10．已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
11．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
12．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
13．已知菱形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知是内一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
16．在直角坐标系中，为原点,O、A、B不共线，，则________
17．已知非零向量，，，则的最大值为______．
18．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
三、解答题
19．已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)．
20．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．
（1）试用，表示；
（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．
21．求函数的最大值.
22．已知向量是夹角为60°的两个单位向量，，求：
（1）；
（2）与的夹角.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解：，
故选：A.
2．B
由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案.
【详解】
由，得，两边平方，得，
即，整理得，
所以或
因为，所以，所以，
所以.
故选:B.
本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.
3．B
根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】
由
.
故选：B.
4．C
求出的最大值和最小值，可得出结果.
【详解】
解：、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，即，
综上所述，.
故选：C.
5．D
根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.
【详解】
；
；
；
.
故选：D.
本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.
6．B
利用向量加法和减法计算即可求解.
【详解】
，
故选：B.
7．D
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
8．C
根据向量的平方等于向量模的平方利用平方法即可求出的值.
【详解】
因为，
所以.
故选：C.
9．B
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】
，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
10．B
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为，，所以，
故向量与向量共线反向.
故选：B.
11．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
12．B
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
13．B
根据平面向量基本定理，由题中条件，用和表示出与，再由向量数量积的运算法则，根据题中数据，可直接得出结果.
【详解】
由题，，
所以，，
所以，
在菱形中，，，
则，，，
所以.
故选：B.
思路点睛：
求解平面图形中的向量数量积问题时，一般需要利用已知模与夹角的向量表示出所求向量，再由向量数量积的运算法则，即可求解.
14．A
根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.
【详解】
，
所以是的重心，所以.
故选：A.
15．A
利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
由，则，，
又向量与的夹角为，
所以.
故选：A
本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．0
根据向量的线性运算求出，根据对应关系求出的值即可．
【详解】
，
，
，
，，.
故答案为：0．
17．13
根据向量数量积的运算性质，有，即可求的最大值.
【详解】
∵，
∴当时，有最大值为169.
∴的最大值为13.
故答案为：13.
18．.
根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】
因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
19．(1)
(2)
（1）根据向量加法的三角形法则计算
（2）直接利用向量的加法和减法计算即可.
(1)
如图：
(2)
20．（1）；（2）．
（1）由三角形中位线的性质可知，可得到答案；
（2）先求得，将，代入，用表示再求其范围.
【详解】
（1）连接AB，则，
∵A，B分别是线段CE，ED的中点，
∴，则．
（2)
，
将，代入，
则．
∵，
∴，则，
故．
本题考查了向量的共线表示，向量的数量积公式及求模长的取值范围问题.
21．39
设，，利用求得结果.
【详解】
【解】设，，则，，
由得：，
当且仅当且方向相同时，不等式取“”号，即：，
解之得：.所以当时，.
22．（1）0；（2）
（1）按多项式乘法的运算法则展开，再计算出每一部分的值
（2）首先由向量数量积的公式以及向量模的公式分别计算出，，，利用数量积公式的变形即可得到答案．
【详解】
由题可得
（1）
（2），，，，，.
本题考查向量数量积的运算，向量夹角的求法，属于基础题
答案第1页，共2页
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