人教A版（2019）必修第二册8.1基本立体图形同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则在侧视图中对应的点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．斜棱柱的侧面中可能有矩形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
4．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
5．已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点，则的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．64π B．48π C．32π D．16π
8．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
9．下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长和外接球的半径分别是（ ）
A．； B．； C．； D．；
11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
12．已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为、（边缘忽略不计），母线长为，则该花盆的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为,则是的__________心.
14．给出下列命题：
①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________（只填序号）．
15．在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
16．一个正四棱台上 下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______.
17．已知正四棱锥的体积为6，高为3，正四棱锥的一个侧面截其外接球所得截面的面积为___________.
三、解答题
18．如图，已知圆锥底面半径，为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为，求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）两点在圆锥面上的最短距离.
19．如果正三棱台的下底面边长为，上底面边长和侧棱长都为，求棱台的斜高与高.
20．如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积.
21．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；
（2）求棱台的高.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据三视图作出几何体的直观图，标出点的位置，由此可得出结论.
【详解】
根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，在侧视图中对应的点为点，
故选：C．
2．D
利用已知条件得到底面圆的半径，再利用求圆心角的公式代入即可得出结果.
【详解】
设半径为，
由母线长为，母线与轴的夹角为，
得：，
则底面圆的周长为：，
所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为：.
故选：D.
本题主要考查了弧长公式.属于较易题.
3．A
由棱柱的概念可判断A；由棱锥的概念可判断B；由圆锥的概念可判断C；由棱台的概念可判断D
【详解】
对于A：斜棱柱的侧面中是平行四边形，有可能是矩形，故A正确；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果三角形没有公共点，该的几何体不是棱锥，故B错误；
对于C：如果绕直角三角形斜边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体不是圆锥，故C错误；
对于D：棱台各侧棱的延长线一定交于一点，故D错误；
故选：A
4．C
根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可.
【详解】
图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；
图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③中的几何体是棱锥；
图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，
且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.
故选：C.
本题主要考查了棱台、圆台、棱柱、棱锥的判断，属于基础题.
5．B
根据正四面体的对称性，由为棱上的（或）点和为棱的中点时，利用余弦定理求解，进而得到的余弦值的取值范围.
【详解】
因为四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，
所以，，
所以，
当为棱上的（或）点时，
，
当为棱的中点时，所以，
，
由正四面体的对称性知：
的余弦值的取值范围是，
故选：B
6．B
根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．
【详解】
解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，
所以面角和为，
故总曲率为．
故选：B.
7．C
由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.
【详解】
由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长
扇形面积为：
故选：C
8．D
根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；
对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；
对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；
对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.
故选：D
9．C
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.
【详解】
A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
10．D
由勾股定理得出体对角线的长度，由外接球的半径长为体对角线长的一半得出半径.
【详解】
该正方体的体对角线长为，外接球的半径为
故选：D
11．A
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，
矩形的高（即木棍的高）为尺，矩形的底边长为（尺），
因此葛藤长（尺）.
故选：A.
方法点睛：对于空间几何体中最值问题的求解方法：
（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
12．B
取圆台的轴截面，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
设花盆的盆口与盆底的半径分别为、，母线长与高分别为、，
则，，，.
故选：B.
13．外心
由已知可得顶点在底面上的射影到底面三角形顶点距离相等，即必为的外心．
【详解】
在三棱锥中，，
顶点在底面上的射影到底面三角形顶点距离相等，即必为的外心.
故答案为：外心．
本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．
14．②④
利用圆锥和圆柱的结构特征分析判断即可
【详解】
①错．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台；
由圆锥的性质可知②正确，
③错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
④由圆柱的定义可知正确．
故答案为：②④
15．
平面,垂足为点，连接，由条件可知 是四边形外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出，根据同弦所对的圆周角相等，可知 ，求出的长.
【详解】
平面,垂足为点，连接，
，
平面，平面 ，
，同理，
是四边形外接圆的直径，
取的中点，即是四边形外接圆的圆心，
作平面，则
过的中点作的垂线，交于点，则
，
是三棱锥外接球的球心，
，， ,
,
，即底面外接圆的直径是2，
，，
.
故答案为：
本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.
16．
由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果.
【详解】
由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形，
所以,
所以,
因此经过相对两侧棱的截面的面积为，
故答案为：.
17．
根据题意，可得正方形ABCD边长，设底面中心为E，CD中点为F，连接PE，EF，PF，CE，则正四棱锥的外接球球心O在PE上，根据勾股定理，可得其外接球半径R，在中，可得PF长，过O作，则Q为平面截其外接球所得截面圆的圆心，根据，可得，进而可得，即可得答案.
【详解】
设正方形ABCD边长为a，则，解得，
设底面中心为E，CD中点为F，连接PE，EF，PF，CE，如图所示：
由题意得，且正四棱锥的外接球球心O在PE上，
设外接球半径为R，则OP=OA=OB=OC=OD=R，
在中，，且，
所以，解得R=2，即，
在中，，
过O作，则OQ即为点O到平面的距离，且Q为平面截其外接球所得截面圆的圆心，
所以，则，
所以，
所以，
所以平面截其外接球所得截面圆的半径平方为，
所以截面的面积.
故答案为：
解题的关键是熟悉正四棱锥的性质，即外接球的球心在PE上，根据勾股定理，可求得外接球半径R，再根据球的几何性质，求解即可，考查空间想象，计算求解的能力，属中档题.
18．（1）；（2）.
（1）取中点，连接，根据可得；根据垂直关系，结合勾股定理和直角三角形中的长度关系可求得圆锥母线长；根据扇形面积公式可求得圆锥的侧面积；（2）在圆锥侧面上连接两点可知最短距离为直线，将圆锥沿母线展开，根据（1）的结果可知圆心角为，根据角度和长度关系可证得为等边三角形，从而求得结果.
【详解】
（1）取中点，连接
则 即为异面直线与所成角
又平面 平面
平面
在中，
又
圆锥母线长，即侧面展开扇形半径
底面圆周长 圆锥的侧面积
即圆锥的侧面积为：
（2）在圆锥侧面上连接两点的所有曲线中，最短的必为直线
由（1）知，侧面展开图扇形的圆心角为
沿母线将圆锥侧面展开，如下图所示：
则
是半圆弧的中点
又 为等边三角形
即两点在圆锥面上的最短距离为：
本题考查立体几何中圆锥侧面积的求解、最短距离的求解问题；解决侧面上两点间的最短距离的方法是将侧面展开，可知两点间线段最短，从而根据角度和长度关系来进行求解.
19．斜高为，高为
过作于，在中，利用勾股定理可计算出，从而得出该正三棱台的斜高，过作于，在中，利用勾股定理计算出，即为该三棱台的高.
【详解】
如图，过作于，在中，，，
，斜高为.
过作于，在中，，，
，高为.
本题考查正三棱台的高和斜高的计算，解题时要将空间问题转化为平面问题，利用勾股定理来计算，考查计算能力，属于中等题.
20．
根据正四棱锥的性质求解截面的面积即可.
【详解】
根据正棱锥的性质，知底面是正方形，故.
在等腰中，，又∵，
∴，
∴，即.
21．（1）（2）
（1）棱台侧面是等腰梯形，在等腰梯形中可计算出斜高；
（2）在直角梯形中计算高或补形为棱锥的直角三角形计算．
【详解】
（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.

（2） （3）
如图（2）所示，在梯形中，分别过，作AC的垂线与，则由，可知，从而，
即斜高为.
（2）根据O与分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出
.
假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱台的高.
因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图（3）所示，则是的中位线.
因为棱台的棱长为1，所以，，从而
，
因此.
因此棱台的高为.
本题考查正棱台中的高与斜高的计算，解题关键是掌握正棱台中两个直角梯形．棱台可能看作是由棱锥截出来的，因此也可借助正棱锥中的直角三角形计算．
答案第1页，共2页
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