人教A版（2019）必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．若a b c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则a b c共面 B．若a b c过同一点，则a b c共面
C．若，则 D．若，则
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．- C．2 D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，则与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么
5．设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
6．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
7．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
9．在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
10．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面.其中不正确的是（ ）
A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤
11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
二、填空题
13．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．
14．如图，质点从正方体的顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点到达的顶点为________点
15．已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 ______（写出所有正确结论的序号）.
①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.
16．已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中真命题的序号是___________.
17．两个平面最多可以将空间分为___________部分.
三、解答题
18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱是四棱锥的高，且，是侧棱上的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角；
19．在正方体中，，，分别为棱，，的中点，试证明：．
20．若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
21．如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.
（1）当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由
（2）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
ABC三项举出反例即可说明，D选项结合线线关系即可判定.
【详解】
A设确定的平面为，当时，a b c不共面，故A错误；
B不妨设a b c为三棱锥的三条侧棱所在直线，显然a b c共点，但是a b c不共面，故B错误；
C若为平面内的两条直线，且，显然满足，但是不一定平行，故C错误；
D若，则，故D正确；
故选：D.
2．A
如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角．
【详解】
解：如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
3．B
连接，易知就是与平面所成的平面角，结合正方体的性质及，求正弦值即可.
【详解】
连接，由面，则就是与平面所成的角.
∴，
故选：B
4．C
A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．
【详解】
A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；
B.因为，，所以或，又，所以，故错误；
C. 因为，，所以，又，所以，故正确；
D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．
故选：C
5．D
根据线面垂直判定定理和线面垂直的性质定理即可判断﹒
【详解】
对于，若，则，错误，满足条件与相交时正确，若与平行，l不一定垂直于；
对于，若，则或与相交或与异面，故错误；
对于，若，则或与相交或与异面，相交与异面时也不一定垂直，故错误；
对于，若，则内存在直线与平行，又，而，故D正确﹒
故选：﹒
6．B
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
7．A
可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.
【详解】
连接，
四边形为平行四边形
异面直线与所成角即为与所成角，即
设
， ，
，，
在中，由余弦定理得：
异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.
8．C
取AB中点E，连接，,可知（或其补角）为异面直线所求角，解三角形即可求解.
【详解】
取AB中点E，连接，，如图，
分别是,中点，
,
（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,
直三棱柱中，，
，,,
，
，
故异面直线与直线所成的角大小为，
故选：C
9．B
由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.
【详解】
由题意知：面，又交于一点P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：点P一定在直线上.
故选：B.
10．D
根据平面的表示方法判断．
【详解】
③中不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.
故选：D.
11．D
根据题意还原正方体，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据题意，还原正方体，如图所示，
连接，可得，又由，所以，所以A正确；
由正方体的结构特征，可知，所以B正确；
因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确；
根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误.
故选：D.
12．B
由已知为三角形的中位线，从而且，由，得在四边形中，，即，，，四点共面，且，由此能得出结论．
【详解】
如图所示，连接EF,GH.
四边形是空间四边形，、分别是、的中点，
为三角形的中位线
且
又，
，且，
在四边形中，
即，，，四点共面，且，
四边形是梯形，
直线与直线相交，
故选：B
方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明，，，四点共面，再证明直线与直线不平行.
13．5
根据异面直线的定义判断即可．
【详解】
根据图形，异面直线共5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，BP与EF．
故答案为：5
14．
由题意设第次运动前起始点为，分析第次运动后所在的位置与的位置关系即可.
【详解】
由题，不妨设第次运动前质点在点处，则第次运动经过的或，
当第次运动经过时，第次运动经过或，又第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，故第次运动只能经过或，即第次运动后只可能在处，同理当第次运动经过时也有第次运动后只可能在处，故从开始第3次运动后必定在，第6次运动后必定回到,即6次运动为一个周期，又,故经过2021次运动后与经过5次后的位置相同,即处.
故答案为：.
15．①②③
推导出四边形为正方形，取点、、为、、的中点，可判断①；分别取、、的中点、、，可判断②；分别取、、的中点作平面，交于点，可判断③；说明④不可能.由此可得出结果.
【详解】
如下图所示，连接、交于点，则为、的中点，
，则，同理可得，
故，所以，，
因为平面四边形的四条边相等，故四边形为正方形.
已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：
如图所示：
点、、为、、的中点，所以，故①正确；
对于②：如图所示：
分别取、、的中点、、，
所以：构成的平面交的中点，则，且，
因为四边形为菱形，则且，
又因为、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
所以，且，故四边形为等腰梯形，故②正确；
对于③，如上图，分别取、、的中点作平面，交于点，则为的中点，
由已知条件可知，且，，
因为，则，故四边形为正方形，故③正确；
对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故④错误.
故答案为：①②③.
16．①②
根据线面、面面的关系一一判断.
【详解】
因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故答案为：①②．
17．4
根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即可得解.
【详解】
两个平面的位置关系有平行和相交两种，
当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，
当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，
所以两个平面最多可以将空间分为4部分.
故答案为：4
18．（1）；（2）.
（1）利用求解即可
（2）连结交于，连结，则可证得，所以(或补角)为异面直线与所成的角，由已知条件可得为等边三角形，再由正三角形的性质可得的值，从而可求得结果
【详解】
（1）因为是四棱锥的高，
所以是三棱锥的高，
所以.
（2）连结交于，连结，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
所以(或补角)为异面直线与所成的角，
因为，，
可得，
所以为等边三角形，所以，
又因为为的中点，所以，
即异面直线与所成的角.
此题考查三棱锥体积的求法，考查异成直线所成的角的求法，考查计算能力的推理能力，属于中档题
19．证明见解析
证明，，由与的对应边平行且方向相同即可证出.
【详解】
因为为的中点，所以，因为为的中点，
所以．
又，，
所以，．所以四边形为平行四边形．
所以，同理．
所以与的对应边平行且方向相同，所以．
20．答案见解析
延长BA交l于D，则AB是平面ABC与α的交线，CD是平面ABC与β的交线.
【详解】
α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
21．（1）见解析；（2）当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3
（1）先找到点，再证明此时平面.
（2），，体积的表达式为得到答案.
【详解】
（1）存在点，使得平面，此时.
当时，，
过点作，交于点，连接，如图，则.
∵在四边形中，
∴，∴.
∵，
∴，且，故四边形为平行四边形，
∴.
∵平面平面，
∴平面.
（2）∵平面平面，平面平面，平面.
∵，∴，
故三棱锥的体积，
当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3
本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页