人教A版（2019）必修第二册10.1随机事件与概率同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、单选题
1．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 〇
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示21，“〇”表示609.在“〇”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到偶数的概率是（ ）A． B． C． D．
3．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
5．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　)
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
11．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某校进行体育抽测，小明与小华都要在跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.
14．已知随机事件，互斥，且，，则________.
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究种取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数种，随机选取两个不同的数，其和等于30的取法有______种.
16．2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．
17．若从一副张的扑克牌中随机抽取张，放回后再抽取张，则两张牌都是的概率为____________．（结果用最简分数表示）．
三、解答题
18．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天.
（1）这3人的值班顺序共有多少种？写出样本空间.
（2）写出事件A：“甲在乙之前值班”的集合表示.
19．根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
20．起源于汉代的“踢键子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢键子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢键子的分值均在分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”．
(1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(2)要在“踢毽健将”和“踢建达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演，试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少？
(3)以样本的频率值为概率，若高一(1)班有60个同学，试估计该班“踢毽健将”和“踢健达人”各有多少人．
21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由题可知正方体切开共有27个小正方体，其中只有2个面涂色的小正方体共有12个，进而根据古典概型即可得答案.
【详解】
沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
其中有3个面涂色的小正方体共有8个，
只有2个面涂色的小正方体共有12个，
只有1个面涂色的小正方体共有6个，
所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．
故选：C．
本题考查古典概型，解题的关键在于正确计数各类型的小正方体，进而利用古典概型公式计算求解，是基础题.
2．D
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
所有情况列举如下：
百位 十位 个位 备注
1 3 4 偶数
1 3 0 偶数
1 8 4 偶数
1 8 0 偶数
1 0 4 偶数
4 3 1 奇数
4 3 0 偶数
4 8 1 奇数
4 8 0 偶数
4 0 1 奇数
所以取到偶数的概率是
故选：D
3．B
设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.
【详解】
设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.
4．C
判断事件、的类型，由此可得出结论.
【详解】
对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
本题考查事件类型的判断，属于基础题.
5．A
直接由古典概型的概率公式求解即可
【详解】
解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，
所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是,
故选：A
此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题
6．D
依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；
故选：D
7．A
先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】
由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；
则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；
该同学选到物理、地理两门功课的概率为.
故选：A.
本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.
8．C
利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】
因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．D
先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】
如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
10．D
根据点数之和为选出正确选项.
【详解】
包括：“甲是3点，乙是1点”，“甲是1点，乙是3点”，“两颗都是2点”等种基本事件.
故选：D.
本小题主要考查事件与基本事件的理解，属于基础题.
11．A
设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，分别求出各自被投诉的人数的占比，即可求解.
【详解】
设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，
由题意可得，网上购买的合格率为，
则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，
所以，解得.
故选：A．
本题主要考查了概率的应用，其中解答中认真审题，求出各自被投诉的人数的占比是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
12．B
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
13．
由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有2项相同：{有2项相同，有3项相同}，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有种，即可算出概率.
【详解】
由题意，两人在6项运动任选3项的选法：种，
小明与小华选出3项中有2项相同的选法：种，
小明与小华选出3项中有3项相同的选法：种，
∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为，
故答案为：.
关键点点睛：将选择的结果至少有2项相同的基本事件{有2项相同，有3项相同}列出，再应用古典概型求概率.
14．0.5
根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果.
【详解】
随机事件，互斥，
,
.
故答案为：0.5.
本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.
15．3
根据题意列举即可得答案.
【详解】
解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
从中随机选取两个不同的数，其和为30的有，，这3种情况.
故答案为：3
16．
求出总共的安排方式和每个城市都至少安排一辆车的情况即可求出.
【详解】
四辆车前往三个城市安排方式有种，每个城市都至少安排一辆车共种，
因此每个城市都至少安排一辆救援车的概率为．
故答案为：.
17．；
根据题意，每次取到的概率都为，两次直接相乘即可得解.
【详解】
张的扑克牌中共有4张，
故每次取到的概率都为，
故两张牌都是的概率，
故答案为：.
18．（1）共有6种，（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）；（2）（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙）.
（1）直接根据位置轮换，即可得到答案；
（2）样本空间，直接写出符合条件的基本事件；
【详解】
（1）这3人的值班顺序共有6种，样本空间（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）.
（2）（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙）.
19．（1）（2）
（1）根据独立事件概率的加法,即可求得至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率;
（2）根据学生统计人数,先求得选择生物但不选择物理的人数的概率.再根据互斥概率的计算即可求得同时选择生物、物理两门学科的概率.
【详解】
记表示事件：考生选择生物学科
表示事件：考生选择物理但不选择生物学科;
表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科;
表示事件：选择生物但不选择物理
表示事件：同时选择生物、物理两门学科
（1）,,,
（2）由某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,
可知
因为
本题考查了随机事件概率的计算方法,互斥事件概率的求法,属于基础题.
20．(1)68；
(2)；
(3)“踢毽健将”人；“踢毽达人”人．
(1)写出频率分布直方图中各组数据的频率，再求平均数；
(2)由分层抽样求出抽出的6人中，“踢毽达人”应抽人数，再由古典概型求解；
(3)由“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率，估计对应的概率，依据古典概型求得.
【详解】
(1)由，
样本的平均值为68；
(2)依频率分布直方图“踢毽健将”有10人，“踢毽达人”有5人．
需分层抽样抽6人，则要在“踢毽达人”中抽取2人，
所有的抽法共10种，包含张睿的抽法有4种，
故张睿同学被抽取的概率是．
(3)由频率分布直方图知，“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率分别是0.1和0.05，
由此估计“踢毽健将”和“踢毽达人”的概率分别是0.1和0.05，
所以高一(1)班“踢毽健将”有人，“踢毽达人”有人．
21．（1）．（2）．
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P．
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
答案第1页，共2页
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