2.2基本不等式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.2 基本不等式 同步练习
一、单选题
1．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）
A．-3 B．2 C．3 D．8
2．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
4．已知实数均为正数，满足，，则的最小值是
A．10 B．9 C． D．
5．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
6．若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
7．某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．以上都可能
8．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．1 C．2 D．1
10．已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
12．在边长为1的正三角形ABC中，且则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
14．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
15．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
17．已知点在线段上运动，则的最大值是____________．
18．已知均为正实数，且，则的最小值为___________．
三、解答题
19．（1）证明：；
（2）若，，求的最大值.
20．已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值．
21．某地政府指导本地建扶贫车间 搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
22．（1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的条件得即可得结果．
【详解】
令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
2．B
利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
3．D
利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【详解】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
4．B
利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】
，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5．B
确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】
解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
6．B
由题意可知对所有正数x，y均成立，即，然后结合均值不等式求出的最大值即可.
【详解】
解：∵对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又，当且仅当时等号成立，∴
故m的最小值为
故答案为：B
7．A
设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，根据杠杆原理即可得出等量关系，进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以，
故选：A.
8．A
由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】
已知正数、满足，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
结论点睛：利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
9．C
利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.
【详解】
当时，，所以AB选项错误，
同时，所以D选项错误.
对于C选项，由基本不等式得，
当且仅当时等号成立.
所以C选项正确.
故选：C
10．C
由题意可得恒成立，由利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】
若恒成立，则，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以
所以，即，
解得：．
故选：C
方法点睛：求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
11．A
由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立 m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
12．B
根据，可将表示为，利用数量积运算及基本不等式，可求的最大值．
【详解】
由题意，
∵
∴1
∵x＞0，y＞0，且x+y＝1
∴xy
∴﹣11
当且仅当x＝y时，取等号
∴当x＝y时，的最大值为
故选：B．
本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．
13．B
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得．求得，
，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果.
【详解】
解：，可得，即，
时，，又，
相减可得，即，
是首项为，公比为的等比数列．
所以．
，即，
得，
所以
，
当且仅当时取等号，即为，．
因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
因为，在上单调递减，在上单调递增，所以当，时，取得最小值为．
故选：B.
本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
14．D
当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】
当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
15．C
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
16．
由题得ab＝a＋b＋3≥2＋3，解不等式即得解.
【详解】
∵a，b是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
所以，
所以，
所以或，
所以ab≥9.
故答案为：
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：由题设可得：，即，
∴，即，当且仅当时取“=”，
故答案为：．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
18．20
根据式子结构，构造基本不等式中“1的代换”，利用基本不等式求最值.
【详解】
∵均为正实数，且，∴，则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为20.
故答案为：20.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）由不等式，令，则有，即可证得.
（2）由（1）得，化简得到，再由，即可求解.
【详解】
（1）因为，与且仅当时，等号成立，
令，则有，当且仅当时，等号成立，即.
（2）由（1）得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，等号成立，即，即，等号成立，
所以，即，
所以当，时，取到最大值，且最大值为.
利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：
1、利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
2、根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
3、在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
20．当时，y取得最大值
根据基本不等式，求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.
【详解】
∵，∴，∴．
当且仅当，即时，取等号．即当时，y取得最大值．
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
21．（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【详解】
解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
22．（1）8；（2）－1
（1）运用基本不等式由，可求得 的最小值；
（2）原式可变形为，运用基本不等式可求得的最大值．
【详解】
（1）因为正数，满足，
所以，得，
当且仅当时，即时取等号，则的最小值为8；
（2）因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为－1．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
答案第1页，共2页
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