3.2函数的基本性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 3.2 函数的基本性质
一、单选题
1．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，且在上是单调减函数 B．是奇函数，且在上是单调减函数
C．是偶函数，且在上是单调增函数 D．是奇函数，且在上是单调增函数
2．函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．( D．
12．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
14．函数是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意，均有则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
17．已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
18．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．
三、解答题
19．已知．
（Ⅰ）证明：在[2,+∞)单调递增；
（Ⅱ）解不等式：．
20．设，已知函数.
（1）当，请写出函数的增区间；（不需要证明）
（2）若存在实数a，使不等式在区间上恒成立，求实数b的取值范围.
21．设函数f(x)＝.
（1）若，不等式f(x)>2在内恒成立，求b的取值范围；
（2）若当f(1)＝1，且a>0，b>－1，求的最小值.
22．已知函数.
（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由题可知函数的定义域为，利用定义法判断函数的奇偶性；再利用定义法即可求出函数的单调性，从而可得出答案.
【详解】
解：令，其定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
在上任取两个实数，，且，
则，
因为，所以，而，
所以，即，
所以在上单调递增．
故选：D.
2．C
利用函数的奇偶性可将不等式转化为，再利用单调性去掉，解不等式即可求解.
【详解】
因为为奇函数，且，所以，
所以等价于，
由函数在上单调递减，可得，
解得：，
所以满足的的取值范围是，
故选：C.
3．B
根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】
对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：B.
4．A
由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5．A
根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以图象的对称中心为，且．
因为，
所以图象的对称轴方程为，
故的周期，
，，
从而，
故选：A．
6．C
由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【详解】
是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.
故选：C.
7．B
首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在上的单调性判断即可；
【详解】
解：因为，所以定义域为，所以，当时，因为与在上单调递增，所以函数在定义域上单调递增，故排除A、C、D，
故选：B
8．B
将问题转化为有解，整理得，根据可得，由此可得结果.
【详解】
由“局部奇函数”定义可知方程：有解，
即有解，
整理可得：，
能成立，，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：B.
关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解题关键是能够根据“局部奇函数”定义，将问题转化为有解的问题，从而利用能成立的思想来进行求解.
9．B
化简各选项中的函数解析式，利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.
【详解】
由题意可得，
对于A，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于B，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，函数为偶函数；
对于C，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于D，，
设，对任意的，，
，，则，函数不是偶函数.
故选：B.
10．D
化简函数解析式，利用解析式即可判断函数图像.
【详解】
根据题意，的定义域为，排除C选项;
，，是奇函数，排除A、B选项；
又，的图像是选项D中的图像.
故选：D
11．C
根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可.
【详解】
因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，
所以时，，
所以，作出函数图象：
所以函数是上的单调递增，
又因为不等式，所以，即，
故选：C.
12．A
根据函数的奇偶性和单调性化简，由此求得不等式的解集.
【详解】
依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，
所以，
.
故选：A
13．B
选项的函数是减函数，选项的函数是增函数.
【详解】
对于选项，函数在上是减函数；
对于选项，函数在上是增函数；
对于选项，函数在上是减函数；
对于选项，函数在上是减函数.
故选：B
本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．A
根据函数为偶函数，且在上单调递增，得到，化简解出即可.
【详解】
易知，函数在上单调递增，
由，得，
又，且函数为偶函数，
，两边平方化简，则在恒成立，
令，则，
即，
解得，
综上：的最大值为．
故选：．
15．C
根据函数的定义域以及单调性可得，解不等式组即可．
【详解】
因为函数是定义在的单调递增函数，且，
所以，
解得或．
故选：C．
16．-3
当时，代入条件即可得解.
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
17．x＜
将不等式化为，再根据函数的单调性可解得结果.
【详解】
因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
18．11
根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】
，，当时，，
即，
，，．
故答案为：11.
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
（I）用定义证明函数的单调性即可．
（II）由（I）知函数在[2,+∞)上单调递增，利用函数单调性，由y值的大小转化为比较x的大小即可．
【详解】
（I） x1，x2∈[2,+∞)，且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2,+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2,+∞)单调递增．
（II）由，即∈[2,+∞)，
∵在[2,+∞)单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
20．（1）；（2）.
（1），根据对勾函数和绝对值函数的性质，解出函数的增区间；
（2）不等式转化为在上的最大值减最小值之差小于等于4，再分别讨论和的两种情况，利用最值建立，求实数的取值范围.
【详解】
（1），
（2）由题意得，，
即恒成立，
所以在上的最大值减最小值之差小于等于4，
当时，
故此时不等式恒成立
当时，
∴
综合，得b的取值范围是.
21．（1）；（2）．
（1）用分离参数法转化为求函数的最值；
（2）凑配出积为定值，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】
（1），即，在上恒成立，
所以，
，，时，取等号，
所以．即的范围是；
（2），，则，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是．
22．（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2.
（1）令，作差通过运算判断符号得出结论；
（2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即
根据基本不等式求解即可.
【详解】
（1）函数在上单调递增.
证明如下：
令，
.
因为，所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
答案第1页，共2页
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