4.5函数的应用（二）同步练习 （Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 4.5 函数的应用（二） 同步练习
一、单选题
1．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
2．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4．某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（ ）
A．60天 B．70天 C．80天 D．90天
5．函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ）
A． B． C． D．
6．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
7．已知函数，，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：，，）（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数有唯一的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知方程 有两个正根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
15．函数与函数在区间上增长速度较快的一个是__________.
16．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
17．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年．（参考数据：，，）
三、解答题
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若方程恰有3个不同的实数解，求实数a的取值范围．
19．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
20．判断函数的零点个数．
21．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】
，
令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，
所以可以取的一个区间是.
故选：B
2．B
根据已知数据和函数关系式直接计算．
【详解】
，
故选：B.
本题考查函数的应用，属于基础题．
3．D
函数在上是连续增函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．
【详解】
解：对于函数在上是连续增函数，
由于，，
所以，
根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
4．C
根据题意将或代入表达式即可求解.
【详解】
由题意可知，，，可得，
所以，
故该品牌牛奶在的保质期是80天.
故选：C
本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题.
5．B
构造函数，由零点存在定理判断．
【详解】
设，是上的增函数，在和上都是减函数，
，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，
，，所以在上有零点．
所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为
故选：B．
6．D
由题意可得a＝x－(x＞0), 令g(x)＝x－，求出g(x)的值域为(－1，＋∞)即得解.
【详解】
由题意可得a＝x－(x＞0).
令g(x)＝x－，
因为都是增函数，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），
所以，
可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，
故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
故选：D.
本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．A
设，则的图象可由的图象上下平移得到，作出函数与的图象，由题意，原问题等价于与的图象有三个不同的交点，结合图象列出不等式组求解即可得答案．
【详解】
解：设，作出函数和的图象如图，
则的图象可由的图象上下平移得到，
要使方程恰有三个不相等的实数解，等价于与的图象有三个不同的交点，
由图象可知，只须满足，即，解得，
所以实数的取值范围是，，
故选：A．
8．C
首先建立生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式，根据的值结合参考数据求得.
【详解】
每经过5730年衰减为原来的一半，
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为.
现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，
由题意可得，.
因为，所以.
故选：C
9．B
分析出函数的图象关于直线对称，可得出，由此可解得实数的值.
【详解】
，
所以，，
所以，函数的图象关于直线对称，
若，则函数的零点必成对出现，即函数的零点个数为偶数，不合乎题意.
由于函数有唯一零点，则，解得.
故选：B.
关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
10．D
求出的关系，再根据基本不等式判断．
【详解】
由题意，，
时，，，
时，，
，，因此，
综上，．
故选：D．
11．C
据一元二次方程有两个不相等实数根时满足,两根之和和两个之积都大于0，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】
设两个正根分别为由题意可得：，解得
的取值范围为,故选C.
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,考查了根的分部以及韦达定理的简单应用,属于基础题.
12．B
根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：
方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；
方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.
13．
利用零点存在性定理判断.
【详解】
，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
14．16
由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
【详解】
设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，
故答案为：16
本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题
15．
将问题转化为比较与增长速度问题，结合图象可确定结果.
【详解】
，比较与的增长速度只需比较与增长速度即可，
由图象可知：的增长速度快于，
函数与函数在区间上增长速度较快的是.
故答案为：.
16．，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．
【详解】
由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以
故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．
17．2023
设从第年开始超过7000万元，则，两边取对数解不等式，求得的值.
【详解】
设从第年开始超过7000万元，则，
即，
，
取，又，
所以开始超过7000万元的年份是2023年．
本题考查指数函数模型求解实际问题，考查对实际问题的建模能力和运算求解能力，求解时注意利用对数运算法则解不等式.
18．(1)
(2)
（1）当时，，则，然后代入的解析式即可求解；
（2）等价于与的图象有三个交点，结合图象即可求解.
(1)
解：∵为奇函数，
∴，
∴当时，，
∴，
故当时，．
(2)
解：方程恰有3个不同的实数解，
等价于函数与函数的图象恰好有3个不同的交点，
作出的图象：
由图象可得，
即实数a的取值范围为．
19．(1)；
(2)年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
（1）根据利润销售额成本可得到函数关系式；
（2）分别在和两种情况下，利用二次函数最值和基本不等式求最值的方法确定两种情况下的最大值，通过比较可得最终结论.
(1)
由题意知：每生产（千部）手机，投入的成本，
，
即；
(2)
①当时，，
当时，；
②当时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
20．一个
方法一：判断函数的单调性，根据零点存在定理，求出特殊点函数值的正负，可以判断出零点的个数，得解；
方法二：令函数等于0，得出对应的方程，整理方程，将方程的左右两个分别两个函数，在同一坐标系下做出两函数的图象，观察出交点的个数，得解.
【详解】
法一：， ，
在上必定存在零点，
又在上为增函数，
有且只有一个零点．
法二：令，即，
在同一坐标系下作出和的草图，如下图所示，
由图象知的图象和的图象有且只有一个交点，
即有且只有一个零点．
本题考查函数的零点的个数，一般有两种处理方式：一是分析这个函数的单调性和特殊点函数值的正负，判断出零点所在范围和个数；二是令函数等于0，得出对应的方程，将方程整理并将方程的左右两边分别令成函数，在同一坐标系下做出其函数图象，可以看出其交点的个数，属于中档题.
21．（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.
（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；
方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.
比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.
【详解】
（1）由题意得：
由得即，
解得
由，设备企业从第3年开始盈利
（2） 方案一总盈利额
，当时，
故方案一共总利润，此时
方案二：每年平均利润
，当且仅当时等号成立
故方案二总利润，此时
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.
答案第1页，共2页
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