4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．在等差数列中，，且，则在中，n 的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则
A． B． C． D．
3．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
4．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
5．已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
10．已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
11．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
12．已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知正项数列满足，是的前项和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
15．记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式　　
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知数列中，，，则______．
17．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．
18．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
三、解答题
19．已知在等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
20．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
21．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．数列满足，已知．
（1）求，；
（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由题可得，，即可判断.
【详解】
设公差为，，，，
，则，即，
，，
则时，n 的最大值为19.
故选：C.
2．A
由条件可设，，然后计算出和即可.
【详解】
因为等差数列，的前项和分别为和，且，
所以可设，，
所以，，所以.
故选：A
本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.
3．C
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
4．B
先判断数列{an}为等差数列，写出通项公式，若前k项和数值最大，利用，解出k.
【详解】
∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．
设{an}的前k项和数值最大，则有
即∴≤k≤，
∵k∈N*，∴k＝7．
∴满足条件的n的值为7．
故选：B
求等差数列前n项的最大（小）的方法：
（1）由用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值；
（2）利用an的符号
①当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值，其n的值由an≥0且an+1≤0求得；
②当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值，其n的值由an≤0且an+1≥0求得.
5．D
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.
故选：D
6．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
7．D
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
，，，，.
，.
故选：D.
本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．C
根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为是公差为d的等差数列，且，
所以，
解得，
故选：C
9．C
先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.
【详解】
由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；
春分的晷长为，，
秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；
小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；
立春的晷长，立秋的晷长分别为，，
，，，
故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.
故选：C.
关键点点睛：
本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.
10．B
根据题意求出的通项公式，得到，，利用求和公式得解.
【详解】
，①
∴当时，，
当时，，②
①﹣②得，，经检验，当时也适用，
，即．
，，又，
是首项为4，公差为4的等差数列，它的前n项和为.
故选B．
11．B
由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.
【详解】
因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.
12．C
根据，，是等差数列的前三项，利用等差中项求解.
【详解】
设该等差数列的公差为d．
因为等差数列的前三项分别为，，，
所以，
解得，
所以，，
所以．
故选：C．
13．B
将原式变形，进而通过累加法求出，进而判断出的正负项，由此得出的正负项，最后得到答案.
【详解】
由题意，n=1时，，
时，，
则，
即，
则当时，，而均满足该式，
所以.
令，则，
于是，当时，，当时，，
由题意，.
所以，当的前项和取到最大值时的值为10.
故选：B.
关键点点睛：解决本题的关键是累加法的使用及转化前n项和的最值为讨论项的正负.
14．A
由题得，，两式作差化简得数列是一个以为首项，以为公差的等差数列，求出即得解.
【详解】
由题得，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
因为数列是正项数列，所以，
所以，
所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
令得，解之得，
所以.
故选：A
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
15．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求，，进而可求通项公式．
【详解】
解：因为等差数列中，，
所以，
解得a1=20，d=-2，
则数列的通项公式．
故选：B．
16．
由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．
故答案为：．
本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列．
17．
根据等差中项的定义，结合题中操作的性质、等差数列的性质进行求解即可.
【详解】
扩充次后所得数列为，
因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；
从到也是等差数列，项数为，且中间项为；
根据等差数列的性质可得.
故答案为：
关键点睛：掌握如果等差数列的项数为，它的前项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键.
18．
由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】
∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案为：.
19．（1）证明见解析；（2）
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，解方程可得，可得，，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
解：（1）证明：等差数列的公差设为，由，
可得，即，
则，，
由，可得数列是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，
前项之和，
，
相减可得
，
化简可得．
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】
（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
21．（1）；（2）.
（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为（），
因为，则，，，
因为是与的等比中项，
所以，
即，
化简得，
解得或（舍）
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
所以
.
本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型.
22．（1）；；（2）存在；．
（1）代入，进入，结合，即得解；
（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解
【详解】
（1）当时，．
当时，，
∴．
∴，解得．
（2）当时，
．
要使为等差数列，则为常数，即，
即存在，使为等差数列．
答案第1页，共2页
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