高考试题中数列通项与前n项和问题的类型与解析 学案

高考试题中数列通项与前n项和问题 类型与解法
数列的任意一项可以用与序号n相关的式子表示，这个式子称为数列的通项公式；数列前n项和是指把数列前n项相加所得的结果，它可表示为=+++------++
。数列通项与数列前n项和问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及数列通项与数列前n项和的问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为中，低档。纵观近几年的高考试题，归结起来数列通项与数列前n项和问题主要包括：①求基本数列（等差数列或等比数列）通项公式（或前n项和）的问题；②已知数列的首项和递推公式，求数列的通项公式，拆项求和问题；③已知数列通项与数列前n项和之间的关系式，求数列通项公式，裂项相消求和问题；④错项相减求和问题等几种类型。各种类型问题结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列通项与数列前n项和问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，准确，快捷予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊）
A -32 B -8 C 8 D 64
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正确，选A。
2、（理）等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则（ ）
A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也表示乙的必要条件
（文）记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质，④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，运用充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法对甲与乙之间的关系给出正确判断就可得出选项。（文）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）由q>0，不能判断等比数列{}是递增数列，也不能判断数列{}是递增数列，但由数列{}是递增数列，能够判断等比数列{}是递增数列，从而推出q>0，甲是乙的必要条件但不是充分条件，B正确，选B。（文）设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
3、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I文）
A 12 B 24 C 30 D 32
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正确，选D。
4、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II文）
A -1 B 2- C 2- D -1
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（
-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
5、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
6、（理）北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环也依次增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A 3699块 B 3474块 C 3402块 D 3339块
（文）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1 iA 5 B 8 C 10 D 15
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设国丘坛每层的环数为m，结合问题条件分别得到中层，下层扇面形石板数关于m的式子，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，利用数列前n项和公式求出三层共有扇面形石板数就可得出选项；（文）根据原位大三和弦的定义，运用k-j=3且j-i=4，求出，，的所有可能取值就可得出原位大三和弦的个数，根据原位小三和弦的定义，运用k-j=4且j-i=3，求出，，的所有可能取值就可得出原位小三和弦的个数，从而求出原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和就可得出选项。
【详细解答】设国丘坛每层的环数为m，上层的第m环扇面形石板数为9+9（m-1）=9m，
中层的第m环扇面形石板数为（9m+9）+9（m-1）=18m，中层的扇面形石板数为（9m + 9）m+9=+m，下层的扇面形石板数为m（18m+9）+ 9=
+m，(+m)-( +m)=9=729，m=9，上层的扇面形石板数为
99+9=405，中层的扇面形石板数为81+9=1134，下层的扇面形石板数为
81+9=1863，三层共有扇面形石板数为405+1134+1863=3402，C正确，选C；（文）当i=1时， k-j=3且j-i=4，j=5，k=8；当i=2时， k-j=3且j-i=4，j=6，k=9；当i=3时， k-j=3且j-i=4，j=7，k=10；当i=4时， k-j=3且j-i=4，j=8，k=11；
当i=5时， k-j=3且j-i=4，j=9，k=12；所有原位大三和弦有：，，；，，；，，；，，；，，共5个；原位小三和弦满足：k-j=4且j-i=3，k-i=7，k=8，9，10，11，12也是5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10，C正确，选C。
7、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020全国高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和对数的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，把首项表示成关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法将表示成关于公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++-----+
===12，=，=9，==9，D正确，选D。
8、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020成都市高三零诊）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列通项公式的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，求出首项关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法把表示成关于，q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正确，选D。
9、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==,C正确，选C。
10、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则= （2020成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比，再根据求等比数列通项公的基本方法求出结果。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，==84+=q+
=36， 4-9q-9=0，q=3或q=-，等比数列{}为正项等比数列， q=3，=3，=3=。
11、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A -3 B 3 C 3 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列的首项和公比的等式，求出等比数列的公比就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，=.=
==，=，当且仅当=时，q=3，B正确，选B。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求基本数列（等差数列或等比数列）的通项公式（前n项和）的问题，解答这类问题需要理解等差数列（或等比数列）的定义和性质，掌握求等差数列（或等比数列）通项公式（或前n项和）的基本方法；
（2）解答等差数列（或等比数列）通项公式（或前n项和）问题的关键是由条件求出：①等差数列（或等比数列）的首项；②等差数列的公差d（或等比数列的公比q）；
（3）求等差数列（或等比数列）的首项，等差数列的公差d（或等比数列的公比q）的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差d（或公比q）的方程（或方程组）；②求解方程（或方程组）求出等差数列（或等比数列）的首项，等差数列的公差d（或等比数列的公比q）的值；③运用求得的结果得出问题的结果。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.
（1）证明数列｛+4｝是等比数列；
（2）求数列｛｝的前n项和。
（文）在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③证明数列是等比数列的基本方法；④求等比数列通项公式的基本方法；⑤拆项求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明数列是等比数列的基本方法就可证明数列｛+4｝是等比数列；（2）根据（1）的结论，求出数列｛｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛｝的前n项和.；（文）（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）的结果，求出数列｛-4｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛-4｝的前n项和。
【详细解答】（理）（1）证明：=2+4.，+4=2+8=2（+4），=2，
=-2，+4=-2+4=2，数列｛+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知+4=2=，=-4，=2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）
+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2；（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q， ==8①，，+1，成等差数列，2q+2=+②，联立
①②解得=2，q=2，数列｛｝的通项公式为：=2=；（2）由（1）知
-4==-4，==2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2。
2、已知数列｛｝的前n项和= (n)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】（1）运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到数列｛｝的通项公式：=（n+1）+，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】（1）数列｛｝的前n项和= (n∈)，当n=1时，==
=1；当n2时，=-=-==2n-1，
当n=1时， =21-1=1成立，=2n-1(n∈)；（2）由（1）得=2n-1，= + ，=+（2n-1），=（2+++---------+）-（1+5+9+-------+
4n-3）+（3+7+11+-------+4n-1）=-+=
--（2-n）+（2+n）=+2n-。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是已知数列的首项和递推公式，求数列的通项公式，拆项求和的问题，解答这类问题需要掌握已知数列的首项和递推公式，求数列的通项公式与拆项求和法的基本方法；
（2）解答已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题时，需要理解递推公式的定义；解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列（等差数列或等比数列）；这类问题常见的类型有：①=+f(n)（n2，n）；②=f(n) （n2，n）；③=+c（n2，n，c为常数）；求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；②把已知式子与递推式子相减构造一个新数列；③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式；应该注意的是求出新数列通项公式后，求所求数列通项公式时常用的方法有：①叠加法，适用于=+f(n)（n2，n）这种类型；②叠乘法，适用于=f(n) （n2，n）这种类型；③换元法，适用于=p+q（n2，p0，且p1）；④迭代法，将=f()代入=f()得到与的关系，再将=f（）代入，-------直到=f（）代入为止。
（3）运用拆项求和法求数列前n项和时，需要注意拆项求和法只适用于数列通项是一个两项式，且各项分别组合后，能够得到两个基本数列（等差数列或等比数列）这一结构特征的问题；拆项求和法的基本方法是：①将数列的通项拆成两；②根据数列前n项和的性质得到数列前n项和的表示式，分别组合后得到两个基本数列（等差数列或等比数列）；③分别求出两个基本数列的前n项和；④把两个基本数列的前n项和相加，求出数列前n项和。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。
（文）已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④判断一个数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列前n项和公式及运用；⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（理）（1）当n=1时， +2=4+3，=4，=3或=-1，
>0，=3；当n2时，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：
-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）
（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+1
2+1=3成立，数列｛｝的通项公式为： =2n+1；（2）==
=（-），=++------+=（-+-+-------+-
+-）=（-）=，即数列｛｝的前n项和为。
（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为： =2-n；
（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）
=-，即数列｛｝的前n项和为-。
2、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义
与求法；④对数的定义与性质；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程求出等比数列｛｝的公比就可得到等比数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q， =q，=，=，
2，，成等差数列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是递增的等比列数，q=2，=1=；
（2）===-，=1-+-+-------+-
+-=1-=。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是已知数列通项与数列前n项和之间的关系式，求数列通项公式，裂项相消求和的问题，解答这类问题需要掌握已知数列通项与数列前n项和之间的关系式，求数列通项公式与裂项相消求和的基本方法；
（2）解答已知数列通项与数列前n项和之间的关系式，求数列通项公式问题，需要理解数列通项公式，前n项和的定义，注意通项与前n项和之间的联系公式；处理这类问题的基本思路有两种：①把- (n≥2,n )换成；②把换成- (n≥2,n )；解答这类问题的基本方法是：①通过把-换成（或把换成-），将数列转化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项，公差d（或公比q）；③求出基本数列的通项公式；④求出所求数列的通项公式，并验证n=1时是否成立；⑤得出数列的通项公式；解答这类问题时，应该注意的问题是：①把-换成（或把换成-）时(n≥2,n)的条件，②求出当(n≥2时的通项公式后，一定要验证n=1是否成立，若n=1时成立，则可以直接写出通项公式；若n=1时不成立，则通项公式应该写成分段式。
（3）运用裂项相消求和法求数列前n项和时，需要注意裂项相消求和法只适用于数列通项是一个分式，且分式的分子为常数，分母是几个连续整数的积这一结构特征的问题；裂项相消求和法的基本方法是：①将数列的通项分裂成两项的差；②根据数列前n项和的性质得到数列前n项和的表示式；③把数列前n项和的表示式的中间所有项相消，得到两项的差；④通过运算求出数列前n项和。
【典例4】解答下列问题：
1、(理）设数列｛｝满足=3，=3-4n。
（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；
（2）求数列｛｝的前n项和
（文）设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法；②等比数列的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与求法；④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用数列递推公式，结合问题条件求出，，并作出猜想，根据已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法加以证明；（2）运用错项相减求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）运用等比数列｛｝的通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值就可得到数列｛｝的通项公式；（2）运用对数的定义与性质求出数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的前n项和公式，根据数列｛｝的前n项和公式得到关于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【详细解答】（理）（1）=3，=3-4n，=3-41=9-4=5，=3-42=7，
=3=21+1，=5=22+1，=7=23+1，猜想数列｛｝的通项公式为：=2n+1，
证明：=3，=3-4n①，=3-4（n-1)②，①-②得：-=3（-）
-4，=3，--2=5-3-2=0，当n2时，数列｛--2｝是以0为首
项，3为公比的等比数列，--2=0，-=2；=3，数列｛｝是以3为首项，2为公差的等差数列，=3+（n-1）2=2n+1；（2）数列｛｝的通项=（2n+1），=32+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ①
2=3+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ②，①-②得：-=32++
++-----+-(2n+1) =2+++++------+-(2n+1) =-
(2n+1) =-（2n+1-2）-2=-(2n-1) -2，=（2n-1）+2。（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q，+=（1+q）=4①，-=（-1）=8②，联立①②
解得：q=3，=1，数列｛｝的通项公式为=1=；（2）=
=n-1，=0+1+2+-------+（n-1）=，=，=，
==，+=，+
=，-5m-6=0，m=-1或m=6，m， m=6。
2、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义；②等比数列前n项和的定义与公式；③等比数列通项的定义与公式；④等差中项的定义与性质；⑤对数的运算性质；⑥数列前n项和的错项相减求和法；
【解题思路】（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公比q，问题条件： （-2q+1）=2， 2（+1）=+，
（+q+1）=14， =；
（2）由（1）可得=.=n，=12+2+3+--------+n①
2=1+2+--------+（n-1）+n②①-②得：-=2+++--------+-n
求出；
【详细解答】（1）等比数列｛｝的前n项和为，+1为，的等差中项，=14，
2（+1）=+，（-2q+1）=2，=7，2-5q+2=0，
=； （+q+1）=14，q=2或q=，q>1， q=2， =2，,=2.= ；（2）由（1）可得=.=n，=12+2+3
+--------+n①2=1+2+--------+（n-1）+n②①-②得：-=2+
++--------+-n=-n=-2-n=（1-n）.-2，=（n-1）+2。
〖思考问题4〗
（1）【典例4】是运用错项相减求和法求数列前n项和的问题，解答这类问题时，需要注意错项相减求和法只适用于数列的通项是两个因式的积，且一个因式分离出来构成等差数列，另一个因式分离出来构成等比数列的结构特征的数列，求前n项和的问题；
（2）错项相减求和法的基本方法是：①根据数列前n项和的性质得到数列前n项和的表示式；②把①中的式子两边同乘以等比数列的公比得到又一个式子；③将①②中的两个式子相减，并求出右边式子的和；④根据③求出数列前n项和。