安徽省大江中学、开城中学2013届高三第二次联考数学（理）试题

大江中学、开城中学2013届高三联考2数学试卷（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则=（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（ ）
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
4.已知向量，，若，则=（ ）
A. B. C. D.
5.下列命题中是假命题的是（ ）
A. ，使
B. ，函数都不是偶函数
C. ，使是幂函数，且在上单调递减
D. ，函数有零点
6.在斜三角形中，，且，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有，若数列的前项和为，且满足 ，则为（ ）
A. B. C. D.
10.设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. .
12.已知点落在角的终边上，且，则的值为 .
13. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，
则输出s的值为________．
14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的
表面积是________．
15.已知函数（为常数），当时，只有一个实根，当时，有3个相异实根.现给出下列四个命题：
①和有一个相同的实根；
②和有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知向量，，函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求，的值.
17.（本小题满分12分）
已知公比为的等比数列的前6项和，且、、成等差数列.
（1）求；
（2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为，求不等式的解集.
18.（本小题满分12分）
已知二次函数满足，且的最小值是.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图所示在长方体中，，为中点．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角的大小为30°，求的长．

20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同的两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.
大江中学、开城中学2013届高三联考
数学答题卷（理）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中， 只有一选项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. ； 12. ；
13. ； 14. ；
15. ；
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
16.（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分13分）
21.（本小题满分14分）

大江中学、开城中学2013届高三联考2
数学答案（理科）
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
B
A
C
B
D
D
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. ； 12. ； 13. ； 14. ；15. ①②④；
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解：（1）
.
由得，
所以的单调递增区间是.
（2），所以，因为是三角形内角，所以，即. 所以，即.
将代入上式可得，解之得或,
因为，所以
17.解：（1）因为、、成等差数列，所以，
即，所以.
则，解得，所以.
（2）由（1）得，所以
，
所以，即，解得
故不等式的解集为.
18.解：（1）因为，所以，因为，所以，
所以，
又的最小值为，所以，所以. 所以..
（2）由（1）得，
所以.
易知函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
所以，所以.
19.解：（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.
又DP?平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1.∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，
则cosθ＝＝.
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°， ∴|cosθ|＝cos30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为2.
20.解：（1）设点的坐标为.
因为，，直线与直线的斜率之积为，
所以
化简整理得点的轨迹的方程为.
（2）依题意可设直线的方程为.
由得
设，，则，
的面积

令，则，且在上单调递增，
所以当时，取得最小值4，取得最大者，此时直线的方程为.
故
.
命题人：黄 峰
大江中学、开城中学2013届高三联考2数学试卷（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则=（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（ ）
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
4.已知向量，，若，则=（ ）
A. B. C. D.
5.下列命题中是假命题的是（ ）
A. ，使
B. ，函数都不是偶函数
C. ，使是幂函数，且在上单调递减
D. ，函数有零点
6.在斜三角形中，，且，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有，若数列的前项和为，且满足 ，则为（ ）
A. B. C. D.
10.设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. .
12.已知点落在角的终边上，且，则的值为 .
13. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，
则输出s的值为________．
14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的
表面积是________．
15.已知函数（为常数），当时，只有一个实根，当时，有3个相异实根.现给出下列四个命题：
①和有一个相同的实根；
②和有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知向量，，函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求，的值.
17.（本小题满分12分）
已知公比为的等比数列的前6项和，且、、成等差数列.
（1）求；
（2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为，求不等式的解集.
18.（本小题满分12分）
已知二次函数满足，且的最小值是.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图所示在长方体中，，为中点．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角的大小为30°，求的长．

20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同的两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.
大江中学、开城中学2013届高三联考
数学答题卷（理）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中， 只有一选项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. ； 12. ；
13. ； 14. ；
15. ；
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
16.（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分13分）
21.（本小题满分14分）

大江中学、开城中学2013届高三联考2
数学答案（理科）
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
B
A
C
B
D
D
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. ； 12. ； 13. ； 14. ；15. ①②④；
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解：（1）
.
由得，
所以的单调递增区间是.
（2），所以，因为是三角形内角，所以，即. 所以，即.
将代入上式可得，解之得或,
因为，所以
17.解：（1）因为、、成等差数列，所以，
即，所以.
则，解得，所以.
（2）由（1）得，所以
，
所以，即，解得
故不等式的解集为.
18.解：（1）因为，所以，因为，所以，
所以，
又的最小值为，所以，所以. 所以..
（2）由（1）得，
所以.
易知函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
所以，所以.
19.解：（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.
又DP?平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1.∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，
则cosθ＝＝.
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°， ∴|cosθ|＝cos30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为2.
20.解：（1）设点的坐标为.
因为，，直线与直线的斜率之积为，
所以
化简整理得点的轨迹的方程为.
（2）依题意可设直线的方程为.
由得
设，，则，
的面积

令，则，且在上单调递增，
所以当时，取得最小值4，取得最大者，此时直线的方程为.
故
.
命题人：黄 峰