安徽省大江中学、开城中学2013届高三第二次联考数学（文）试题

开城-大江中学第二次联考数学（文）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的学校、姓名填写清楚。
2．每小题选出答案后，将答案填写到答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1．设复数z满足= （ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知集合，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，“”是“为直角三角形”的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的大致图像为（ ）

（A）　　　　　　　 （B） （C） （D）
5．设是等差数列，，则这个数列的前5项和等于（ ）
A．12 B．13 C．15 D．18
6.已知函数的部分
图象如右图所示，则点P的坐标为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．执行如右图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　　)
A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
8．已知满足约束条件的最大值的最优解为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知平面平面，，直线，直线，直线 下列四种位置关系中，不一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数的图像上；②P和Q关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”（ 与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
A. 0对 B. 1对 C.2对 D. 3对
第Ⅱ卷（共100分）
注意事项：请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卷的相应位置）
11．若，且，则的最大值是 ．
12.已知向量，，满足，且，，，则 ．
13．已知圆的圆心与点关于直线对称，并且圆与相切，则圆的方程为______________．
14. 一个几何体的三视图如图（1）所示，则其体积等于 ．


（1） （2）
15．如图（2）所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是__ _，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为__ _．
开城-大江中学第二次联考数学（文）答题卷
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卷的相应位置）
11. ； 12. ； 13.
14. ； 15. 、
三、解答题（本大题共6小题，其中第16、17、18、19题每题12分， 第20题13分，第21题14分，共75分）
16．（本小题满分12分）已知，，f(x)=
（1）求f(x)的最小正周期和单调增区间；
（2）如果三角形ABC中，满足f(A)=，求角A的值．
17、（本小题满分12分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比 .
（1）求与； （2）求
18、（本小题共12分）
某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；
(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
19、（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）若函数在上恒为单调函数，求实数的取值范围;
（Ⅱ）设是函数的两个极值点，若直线AB的斜率不小于 ，试求实数的取值范围.
20、（本小题满分13分）
如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
21、（本小题满分14分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点（1, ）
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线:与双曲线C交于A、B两点, 试问:
① 为何值时；
② 是否存在实数, 使A、B两点关于直线对称(为常数), 若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.
开城-大江中学第二次联考数学（文）试卷答案
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
C
A
B
C
D
C
第Ⅱ卷（选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. ；12. ；13. ；14. ；
15、8，
三、解答题（本大题共6小题，其中第16、17、18、19题每题12分，第20题13分，第21题14分，共75分）
16．（本小题满分12分）
解：（1）f(x)= sinxcosx+………1分
= +………2分
=sin(2x+)+………3分
最小正周期为π，…………………4分
单调增区间[kπ-,kπ+]（k∈Z）……………………6分
（2）由得sin(2A+)=0, …………7分
<2A+<,……………9分
∴2A+=π或2π∴A=或…………………… 12分
17、解析：（1）由已知可得解之得，或（舍去），
，……………………6分
（2）证明：……………8分
……12分
18、解：(Ⅰ)由题设可知，第组的频率为，
第组的频率为，第组的频率为．……………3分
(Ⅱ)第组的人数为， 第组的人数为，
第组的人数为．
因为第，，组共有名学生，
所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第组：， 第组：，第组：．
所以第，，组分别抽取人，人，人． ……………………7分
(Ⅲ)设第组的位同学为，，，第组的位同学为，，第组的位同学为．则从六位同学中抽两位同学有：
共种可能．
其中第组的位同学为，至少有一位同学入选的有：
共种可能，
所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为．……………12分
19、解：（Ⅰ）∵为R上的单调函数，
∴对恒成立，…………2分
∴，即 ………………………………4分
（Ⅱ）∵在处函数有极值
∴△=即或且………………6分
…………………8分
=
化简得即 …………………………11分
∴ …………………………………12分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，. …………2分
因为平面,平面，
所以平面. …………4分
（Ⅱ）证明：由题意，,
因为,所以，. …………6分
又因为菱形，所以. …………7分
因为,
所以平面，
因为平面，
所以平面平面. ……………9分
（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积. ……10分
由（Ⅱ）知，平面，
所以为三棱锥的高. …………11分
的面积为，
所求体积等于. ……………13分
21、解: (1) 由题意设双曲线方程为,
把(1,)代入得（*）…(1分)
又的焦点是（，0），故双曲线的（2分）与（*）
联立，消去可得，
∴ ，（不合题意舍去）………（3分）
于是，∴ 双曲线方程为………（4分）
(2) 由消去得（*），当
即（）时，与C有两个交点A、B…（6分）
① 设A（，），B（，），因，故……（7分）
即，由（*）知，，代入可得
………（8分）
化简得
∴ ，检验符合条件，故当时，………（9分）
② 若存在实数满足条件，则必须…（11分）
由（2）、（3）得………（4）
把代入（4）得………（13分）
这与（1）的矛盾，故不存在实数满足条件………（14分）