第1讲 概率分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2021春 阳东县校级期中）若，，其中，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
2．（2021春 故城县校级期中）如果随机变量，且，，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：随机变量，且，，
，
，
解得．
故选：．
3．（2021春 兴庆区校级期末）变量的分布列如又图所示，其中，，成等差数列，若，则的值是
0 1
A． B． C． D．
【解答】解：，，成等差数列，，
由变量的分布列，知：
，解得，，，
．
故选：．
4．（2021 浙江一模）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，，
故．
故选：．
5．（2021春 馆陶县校级期中）已知，随机变量的分布列如下，则当增大时
0 1
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
【解答】解：，
当增大时，减小，
，
在上随的增大而增大，
故选：．
6．（2021 榆林一模）设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
【解答】解：当在内增大时，减小，数据分布整体变小，数据更集中，
所以减小，减小，
故选：．
7．（2021 柯桥区二模）已知随机变量满足，，，，2若，则
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：由数学期望与方差的性质可知：
，，
则，，
因为，
所以，
，
所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，
又因为0 ，
所以，，
则，，
所以，
因为
所以，，
故选：．
8．（2021春 菏泽期中）抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，
基本事件总数，
包含的基本事件有：
，，，，，，共6个，
．
故选：．
9．（2021春 故城县校级期末）已知随机变量的分布列为，，2，，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：随机变量的分布列为，，2，，
则
．
故选：．
10．（2021春 林芝地区期末）已知随机变量 的分布列为
1 3
0.16 0.44 0.40
则
A．1.32 B．1.71 C．2.94 D．7.64
【解答】解：由随机变量 的分布列，得：
，
．
故选：．
11．（2021 浙江模拟）已知，随机变量，的分布列如下：
0 1 2
1 0
则下列正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，恒成立，，
依题意，
，与不能说明大小关系．
所以
．
同理：．
，
故选：．
12．（2021 西湖区校级模拟）已知，为实数，随机变量，的分布列如下：
0 1
0 1
若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是
A． B． C．， D．
【解答】解：，，又，解得：，．
，，．．
随机变量满足，其中随机变量相互独立，
．．
则．
故选：．
13．（2021春 滨湖区校级期中）已知随机变量的分布列是：
0 1 2 3
当变化时，下列说法正确的是
A．，均随着的增大而增大
B．，均随着的增大而减小
C．随着的增大而增大，随着的增大而减小
D．随着的增大而减小，随着的增大而增大
【解答】解：；
；
又因为，即，
所以随着的增加而增加，随着的增加而增大．
故选：．
二．多选题（共1小题）
14．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，，且，，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有的红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．
则
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故，
故，即对错；
，
，
则，
故，故错对；
故选：．
三．填空题（共3小题）
15．（2021春 大荔县期末）设随机变量的分布列为，，2，3，则的值为
【解答】解：随机变量的分布列为，，2，3，
，
，
，
由离散型随机变量的分布列的性质得：
，
解得．
故答案为：．
16．（2021春 岳麓区校级月考）设随机变量的分布列为，则的值为 ．
【解答】解：因为随机变量的分布列为，
所以根据分布列的性质有，
所以，
解得．
故答案为：．
17．（2021 温岭市校级期中）已知，随机变量的分布列如表．若时， ；在的变化过程中，的最大值为 ．
0 1 2
【解答】解：；
，
时，取最大值，此时．
故答案为：，2．
四．解答题（共12小题）
18．（2013春 北辰区校级期中）甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：
（1）乙取胜的概率；
（2）比赛进行完七局的概率．
（3）记比赛局数为，求的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）乙取胜有两种情况
一是乙连胜四局，其概率
二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，
其概率，
所以乙胜概率为．
（2）比赛进行完7局有两种情况：
一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜，
其概率．
二是乙胜，同（1）中第二种情况，
，
比赛进行完七局的概率为：．
（3）由题意得，5，6，7，
，
，
，
，
所以的分布列为
4 5 6 7
．
19．（2021春 潍坊期中）甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
（Ⅰ）乙取胜的概率；
（Ⅱ）设比赛局数为，求的分布列．
【解答】解：（Ⅰ）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，
第一种情况下乙取胜的概率为：，
第二种情况下乙取值的概率为：，
甲先赢了前两局，乙取胜的概率：
．
（Ⅱ）由已知得的可能取值为4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列为：
4 5 6 7
20．（2013秋 赣州期末）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已赛完两局，乙暂时以领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．
【解答】解（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，
由此得甲获得这次比赛胜利的概率为，
甲获得这次比赛胜利的概率．
（2）随机变量的所有可能取值为4，5，6，7，
，
，
，
．
随机变量的分布列为
4 5 6 7
随机变量的数学期望为．
21．（2021春 东城区期末）甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；
（Ⅱ）比赛采用三局两胜制，设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求的分布列和均值；
（Ⅲ）有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．问哪个方案对甲更有利．（只要求直接写出结果）
【解答】解：（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．
甲获得比赛胜利的概率为：
．
（Ⅱ）由已知得的可能取值为0，1，2，
，
，
．
随机变量的分布列为：
0 1 2
数学期望．
（Ⅲ）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．
方案二对甲更有利．
22．（2021 浙江模拟）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件，则（A），
拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况．
，
（5分）
（2）的可能取值为，，0，2，4，
则；
，
分布列为
0 2 4
（14分）
23．（2008 西城区一模）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．
【解答】（Ⅰ）解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有种结果，
而满足条件取出的3个球颜色互不相同有种结果，
记“取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件，
由古典概型公式得到．
（Ⅱ）解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有种结果，
而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，
包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球
记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，有种结果．
“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，有种结果，
其中它们之间是互斥事件，
．
（Ⅲ）解：可能的取值为0，1，2，3．
，，
，．
的分布列为：
的数学期望．
24．（2014 南开区二模）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中．
（Ⅰ）求第二次取出红球的概率；
（Ⅱ）求第三次取出白球的概率；
（Ⅲ）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设第次取出白球、红球的概率分别为，，
第二次取出红球的概率．
（Ⅱ）三次取的过程共有以下情况：白白白、白红白、红白白、红红白，
第三次取出白球的概率是：
．
（Ⅲ）连续取球三次，得分的情况共有8种：
，，，，，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
15 18 21 24
．
25．（2016 汕头模拟）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
求白球的个数；
从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件，
设袋中白球个数为，则（A），
解得，白球个数是5个．
随机变量的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
．
证明：（Ⅱ）设袋中有个球，其中个黑球，
由题意，得，
，，
，
记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件，
则（B），
白球的个数比黑球多，白球个数多于，黑球个数少于，
故袋中红球个数最少．
26．（2021 洛阳期末）袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望和方差分别为和，求；
（2）在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于6的概率．
【解答】解：（1）由已知得的分布列为：
1 2 3
故
，①
，
，②
由①②解得，，
．
（2）结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和记为，
则，
，
．
27．（2013 天元区校级模拟）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
（1）求该公司决定对该项目投资的概率；
（2）求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
【解答】解：（1）该公司决定对该项目投资的概率为．
（2）该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，
有以下四种情形：
“同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数
事件 0 0 3
事件 1 0 2
事件 1 1 1
事件 0 1 2
（A），（B），
（C），（D），
、、、互斥，
（A）（B）（C）（D）．
28．（2021 长沙月考）有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；
（3）记录所有至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最小值，求．
【解答】解：（1）记“三只小球恰在同一个盒子”为事件，则（A）；
（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件，
则，，
事件，互斥，
（B）；
（3）的可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
则．
29．（2021 江阴市校级月考）潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：
方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；
方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1个批次检测．
（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；
（2）求方案甲检测次数的分布列；
（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由．
【解答】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率；
（2）依题意知检测次数的可能取值为1，2，3，4，
，，，
，
故法案甲检测次数的分布列为：
1 2 3 4
（3）设方案乙检测次数为，则的可能取值为2，3，
当时的情况为先解出3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，
或先解出3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次解出，
则，
所以，
故方案乙检测次数的分布列为：
2 3
数学期望为，
则，
因为，所以方案乙的效率更高．第1讲 概率分布
一．选择题（共13小题）
1．（2021春 阳东县校级期中）若，，其中，则等于
A． B． C． D．
2．（2021春 故城县校级期中）如果随机变量，且，，则等于
A． B． C． D．
3．（2021春 兴庆区校级期末）变量的分布列如又图所示，其中，，成等差数列，若，则的值是
0 1
A． B． C． D．
4．（2021 浙江一模）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为
A． B． C． D．
5．（2021春 馆陶县校级期中）已知，随机变量的分布列如下，则当增大时
0 1
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
6．（2021 榆林一模）设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
7．（2021 柯桥区二模）已知随机变量满足，，，，2若，则
A．， B．，
C．， D．，
8．（2021春 菏泽期中）抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于
A． B． C． D．
9．（2021春 故城县校级期末）已知随机变量的分布列为，，2，，则等于
A． B． C． D．
10．（2021春 林芝地区期末）已知随机变量 的分布列为
1 3
0.16 0.44 0.40
则
A．1.32 B．1.71 C．2.94 D．7.64
11．（2021 浙江模拟）已知，随机变量，的分布列如下：
0 1 2
1 0
则下列正确的是
A． B． C． D．
12．（2021 西湖区校级模拟）已知，为实数，随机变量，的分布列如下：
0 1
0 1
若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是
A． B． C．， D．
13．（2021春 滨湖区校级期中）已知随机变量的分布列是：
0 1 2 3
当变化时，下列说法正确的是
A．，均随着的增大而增大
B．，均随着的增大而减小
C．随着的增大而增大，随着的增大而减小
D．随着的增大而减小，随着的增大而增大
二．多选题（共1小题）
14．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，，且，，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有的红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．
则
A． B． C． D．
三．填空题（共3小题）
15．（2021春 大荔县期末）设随机变量的分布列为，，2，3，则的值为
16．（2021春 岳麓区校级月考）设随机变量的分布列为，则的值为 ．
17．（2021 温岭市校级期中）已知，随机变量的分布列如表．若时， ；在的变化过程中，的最大值为 ．
0 1 2
四．解答题（共12小题）
18．（2013春 北辰区校级期中）甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：
（1）乙取胜的概率；
（2）比赛进行完七局的概率．
（3）记比赛局数为，求的分布列及数学期望．
19．（2021春 潍坊期中）甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
（Ⅰ）乙取胜的概率；
（Ⅱ）设比赛局数为，求的分布列．
20．（2013秋 赣州期末）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已赛完两局，乙暂时以领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．
21．（2021春 东城区期末）甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；
（Ⅱ）比赛采用三局两胜制，设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求的分布列和均值；
（Ⅲ）有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．问哪个方案对甲更有利．（只要求直接写出结果）
22．（2021 浙江模拟）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望．
23．（2008 西城区一模）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．
24．（2014 南开区二模）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中．
（Ⅰ）求第二次取出红球的概率；
（Ⅱ）求第三次取出白球的概率；
（Ⅲ）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望．
25．（2016 汕头模拟）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
求白球的个数；
从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
26．（2021 洛阳期末）袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望和方差分别为和，求；
（2）在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于6的概率．
27．（2013 天元区校级模拟）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
（1）求该公司决定对该项目投资的概率；
（2）求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
28．（2021 长沙月考）有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；
（3）记录所有至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最小值，求．
29．（2021 江阴市校级月考）潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：
方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；
方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1个批次检测．
（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；
（2）求方案甲检测次数的分布列；
（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由．第2讲 统计案例
一、单选题
1．（2021·宁夏·银川一中三模（文））关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本中心点；
②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；
③相关指数越接近1拟合效果越好；
④残差平方和越小，拟合效果越好.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据回归直线方程的性质，相关系数、相关系数及残差平方和的意义判断各项的正误即可.
【详解】
对于①，回归直线一定经过样本中心点，故正确；
对于②，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，故错误；
对于③，相关指数越接近1拟合效果越好，故正确；
对于④，残差平方和越小，拟合效果越好，故正确.
故选：C.
2．（2021·河南·高三月考（文））某外语学校要求学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习，为了解选择第二外语的倾向与性别的关系，随机抽取名学生，得到下面的数据表：
选择德语 选择日语
男生
女生
根据表中提供的数据可知（ ）
附：，．
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别无关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关
C．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关
D．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关
【答案】D
【分析】
直接利用列联表中的数据和公式计算，再根据临界值表进行判断即可
【详解】
由题意得，
所以有的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关，或在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关，
故选：D
3．（2021·广东·肇庆市第一中学高三月考）据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且.现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有正相关关系
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程仍为
C．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.05
【答案】A
【分析】
由条件可知样本中心不变，可求出新的回归直线方程，即可判断.
【详解】
因为重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，所以变量与具有正相关关系，故A正确；
当时，，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为，纵坐标的平均值为，
则，，
因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线的斜率为1.2，
所以，解得，
所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为，故B错误；
因为，所以去除两个误差较大的样本点后的估计值增加速度变慢，故C错误；
因为，所以，故D错误.
故选：A.
4．（2021·广东天河·高三月考）下列表述中，正确的个数是（ ）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；
④在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
①根据方差的性质即可判断，②由回归方程一次项的系数符号可知增减情况，③根据相关系数的含义判断正误，④根据卡方检验的观测值的意义判断正误.
【详解】
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，错误；
③设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于1，，之间的线性相关程度越高，错误；
④在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．
故选：C
5．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由给出的四组数据的散点图，结合相关系数的概念，逐图判定，即可求解.
【详解】
由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，
题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，
题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，
由此可得．
故选：A．
6．（2021·云南师大附中高三月考（文））对于样本点分布在指数函数曲线（其中，为待定参数且）周围时，令，，经过变换后得到的线性回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
对两边取对数，得到经过变换后得到的线性回归方程.
【详解】
∵，∴，∴
故选：C.
7．（2021·安徽马鞍山·二模（理））2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常 早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由表格数据计算可得，代入线性回归方程可求得，进而求得回归模型，对应可得结果.
【详解】
由表格数据知：，，
代入得：，，即，
，.
故选：B.
8．（2021·江西·南昌市八一中学三模（文））已知变量关于的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将回归方程左右同时取对数得：，看作回归直线的形式，由回归直线过样本中心点可构造方程求得，由此得到回归方程；将代入回归方程即可求得结果.
【详解】
由得：，，
解得：，回归方程为，若，则.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查非线性回归中的预估值的求解，解题关键是能够通过对指数型回归模型左右同时取对数，将其变为线性回归的形式来进行求解.
二、多选题
9．（2021·湖北武汉·二模）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
将非线性模型，通过变形转化为线性模型，再利用最小二乘法进行线性回归分析．
【详解】
对于选项A ：，令 则；
对于选项B：
令；
对于选项 C：
即 令 则；
对于选项D： 令则
此时斜率为 ，与最小二乘法不符．
故选：ABC
10．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则．
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．
D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布性质求即可判断A;根据方程变形即可确定，的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，，
所以，即A错；
，，从而，即B正确；
过， ，即C正确；
因为样本数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，即D错误；
故选：BC
【点睛】
本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、填空题
11．（2021·广东·江门市新会陈瑞祺中学高三月考）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是___________.
附
… 0.100 0.025 0.010 0.005 …
k … 2.706 5.024 6.635 7.879 …
【答案】
【分析】
根据即可求解.
【详解】
由已知可得，
所以市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是，
故答案为：.
12．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）根据下列数据：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
求得y关于x的回归直线方程为．则这组数据相对于所求的回归直线方程的5个残差的方差为______．（注：残差是实际观察值与估计值之间的差）
【答案】
【分析】
根据表格中的数据，求得，，代入回归方程，求得，结合残差的公式，即可求解.
【详解】
根据数据，可得，，代入，可得，即，
因此残差的方差为.
故答案为：.
13．（2021·四川·仁寿一中高三开学考试（理））有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据：
近视 不近视 总计
少看手机
多看手机
总计
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系.
附表：
参考公式：，其中.
【答案】
【分析】
根据列联表计算得，进而得答案.
【详解】
解:根据列联表计算,
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为近视与多看手机有关系.
故答案为：
14．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））下列说法正确的有_____．
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
②在线性回归模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化．
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．
⑤身高x和体重y的关系可以用线性回归模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．
【答案】②⑤
【分析】
本题考查的是统计中的一些基础知识的理解与辨析，弄清楚每个基本量在统计中表示什么与影响什么，即可做出判断.
【详解】
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，
线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；
②在线性回归模型中，相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
相关指数，表明解释变量解释了60%预报变量的变化，故②正确；
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，
准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，
需要从总体中剔除9个个体，
在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和，故③错误；
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，故④错误；
⑤随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足，故⑤正确；
综上可知②⑤正确.
故答案为：②⑤．
15．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数 300 400 500 600 700
感染人数 3 3 6 6 7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
【答案】
【分析】
先求出线性回归方程中的值，从而可求，再根据题设中的计算方法可求疫苗的有效率.
【详解】
由题设表格中的数据可得，故，
故，而，
故疫苗有效率为，
故答案为：.
16．（2021·全国·高三专题练习）和的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为______.
①，是负相关关系；
②，之间不能建立线性回归方程；
③在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，则.
【答案】①③
【分析】
由图可知，散点图呈整体下降趋势，据此判断①的正误；由试验数据得到的点将散布在某一直线周围，因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数，据此判断②的正误；根据散点图比较两个方程的拟合效果，比较那个拟合效果更好，据此判断③；.
【详解】
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此，是负相关关系，故①正确；
x,，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故②错误；
由散点图知用拟合比用拟合效果要好，则，故③正确.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查由散点图反应两个变量的相关关系，散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，属于中档题.
四、解答题
17．（2021·全国·高三月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：
1 2 3 4 5
2 2 3 3 4
（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
参考公式：
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；
（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．
【答案】（Ⅰ）从第8组开始女性人数不低于男性人数；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题中表格结合参考公式即可求解；（Ⅱ）先写出的所有可能取值，再求出对应的概率，即可求解；（Ⅲ）根据对立事件列出关系式，再利用等比数列的定义和通项公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由题可得，
，
．
则，
，
∴，
当时，，
∴预测从第8组开始女性人数不低于男性人数．
（Ⅱ）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
∴.
（Ⅲ）在得分为分的基础上再传一次，则得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，事件与为对立事件．
∵，，
∴，
∴．
18．（2021·全国·高三开学考试）足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力．某手机（应用程序）公司为了了解居民使用这款使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展个月的调查活动，从使用这款的人数的满意度统计数据如下：
月份
不满意的人数
使用 不使用
女性
男性
（1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份的对这款不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款居民的年龄近似服从正态分布，求的值；
（3）工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到上表：能否据此判断有的把握认为是否使用这款与性别有关？
参考公式：，．
【答案】（1），人；（2）0.9759；（3）有.
【详解】
解：（1）由表中的数据可知：，，
，，
所求得回归直线方程为，
当时，，
该小区月份的对这款不满意人数预估为人；
（2）．
（3）提出假设：是否使用这款与性别无关，
由表中的数据可得，
根据临界值可得，有的把握认为是否使用这款与性别有关．
19．（2021·福建宁德·高三期中）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业.据统计，我市一家新能源企业近5个月的产值如下表：
月 份 5月 6月 7月 8月 9月
月份代码 1 2 3 4 5
产值亿元 16 20 27 30 37
（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱；(，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强)
（2）求出关于的线性回归方程，并预测10月该企业的产值.
参考公式：；
参考数据：.
【答案】
（1）；相关系数较强；
（2）；10月该企业的产值约为亿元
【分析】
（1）利用表中数据求出 ，再由相关系数的求解公式即可求解.
（2）利用最小二乘法即可求解.
（1）
，，
，
因为，所以与线性相关性较强.
（2）
设线性回归方程为：；
，
，
即，
10月份对应的代码为，
，
10月该企业的产值约为亿元.
20．（2021·全国·高三课时练习）某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：
20 66 770 200 460 4.2
3125000 21500 0.308 14
（1）设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？
参考数据为，，.
【答案】（1）模型的拟合效果更好；（2）（i）；（ii）36.66亿元.
【分析】
（1）从样本相关系数计算可得，即可得到答案；
（2）（i）由两边取对数得：，即，求出的值，可得线性回归方程，即可得到答案；
（ii）将代入，结合提供的数据，即可求出的值；
【详解】
（1），
，
因为，所以从样本相关系数的角度判断，模型的拟合效果更好.
（2）（i）先建立关于的经验回归方程.
由，得，即.
，
，
所以关于的经验回归方程为，
所以，即.
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，则由，得，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元.
21．（2021·江苏南通·高三月考）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2019年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数.
温度/℃ 21 23 24 27 29 30
死亡数/株 6 11 20 27 57 77
经计算，，，，，
，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.
（1）若用一元线性回归模型，求关于的经验回归方程（结果精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得关于的非线性经验回归方程，且相关指数为.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.
【答案】（1）；（2）（i）的拟合效果更好，（ii）92.
【分析】
（1）利用公式即求；
（2）（i）由相关指数公式求出，然后比较即可；（ii）代入回归方程即得.
【详解】
（1）由题意，得，
∴，
∴关于的经验回归方程为.
（2）（i）经验回归方程对应的决定系相关指数为
，
因为，
所以经验回归方程比非线性经验回归方程的拟合效果更好.
（ii）当时，
，
即当温度为35℃时，该批紫甘薯的死亡株数为92.
22．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））如图是某小区2020年1月至2021年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1～13分别对应2020年1月～2021年1月）.根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
残差平方和
总偏差平方和
（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）估计该小区2021年6月份的二手房均价.（精确到万元/平方米）
参考数据：，，，，，，，.
参考公式：相关指数.
【答案】（1）模型；（2）（万元/平方米）.
【分析】
（1）计算出相关指数后可判断哪一个函数拟合效果好.
（2）根据（1）的中的模型可计算二手房的均价.
【详解】
（1）设模型和的相关指数分别为和，
则，.
因为，所以.
所以模型的拟合效果更好.
（2）由（1）知，模型的拟合效果更好，
利用该模型预测可得，这个小区2021年6月份的在售二手房均价为：
（万元/平方米）.
23．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行 每一列 每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：
（天） 1 2 3 4 5 6 7
（秒） 990 990 450 320 300 240 210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）
1845 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1），经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）.
【分析】
（1）先求得，结合，求得，，写出回归方程，再将，代入求解；
（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，根据最多再进行4局就有胜负，分，，，利用独立事件的概率，结合互斥事件的概率求解.
【详解】
（1）由题意，，
令，设关于的线性回归方程为，则
，
则.
∴，又，
∴关于的回归方程为，
故时，.
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒.
（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负.
当时，小明胜，∴；
当时，小明胜，∴；
当时，小明胜，∴.
∴小明最终赢得比赛的概率为.
24．（2021·陕西渭南·高三月考（理））某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：
表1
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
营业收入y（亿元） 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
由表1，得到下面的散点图：
根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.
表2
T 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Y 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.
【答案】（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.
【分析】
（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；
（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解
【详解】
（1），
，
故回归方程为.
（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，
所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.
依题意有，解得，故.
因为，
所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.
25．（2021·重庆市实验中学高三开学考试）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：
15 15
（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．
【分析】
（1）根据散点图形状可确定回归类型；
（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
（3）令可解出的范围，进而确定结果.
【详解】
（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，
所以选择回归类型更好．
（1）对两边取对数，得：，即，
由表中数据得：，，，
年广告费用和年利润额的回归方程为．
（3）由（2）知：，
令得：，解得：，
，（十万元），十万元万元
下一年应至少投入万元广告费用．
26．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）某创业者计划在南山旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图．
x 100 150 200 300 450
y 90 65 45 30 20
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的分布列；
（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到）
（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额Q最大？（100天销售额入住率收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，．
【答案】（1）分布列见解析；（2）更适合于此模型，回归方程为；（3）150（元/日）．
【分析】
（1）的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（2）由散点图可知更适合于此模型，求出，，，由此能求出回归方程．
（3）依题意，，则，利用导数性质能求出当收费标准约为150（元日）时，100天销售额最大．
【详解】
解：（1）的所有可能取值为0，1，2，
则，，
∴的分布列是
0 1 2
（2）由散点图可知更适合于此模型．
依题意，，
则，
，
所求的回归方程为．
（3）依题意，，
则，
由，得，，由，得，，
∴在上递增，在上递减，
∴当时，取到最大值．
∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．
27．（2021·海南二中高三月考）为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府岀台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：
人平均月收入
赞成户数 4 9 12 6 3 1
（1）若从人平均月收入在的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；
（2）若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
非高收入户 高收入户 总计
赞成
不赞成
总计
附：临界值表
0.1 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考公式：，.
【答案】
（1）
（2）列联表见解析，没有.
【分析】
（1）根据频率分布直方图，算出月收入在的住户数，并计算出赞成数与不赞成数，利用古典概率公式求得概率.
（2）根据题意列出列联表，根据表中数据计算出，与6.635比较，来判断是否相关.
（1）
由直方图知，月收入在的住户共有户，其中有3户赞成，3户不赞成.
设事件为“所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令”，则由古典概型概率计算公式可知.
（2）
依题意可得，列联表如下：
非高收入户 高收入户 总计
赞成 25 10 35
不赞成 5 10 15
总计 30 20 50
根据列联表中的数据可得，的观测值，
所以没有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
28．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
29．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数
第一阶段 30 15 20 10
第二阶段 30 15 25 15
（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.
附：.
（） 0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
【答案】（1）没有90%的把握；（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）.
【分析】
（1）利用独立性检验的知识，列出A队在主客场胜负的列联表，求出，以此进行判断；（2）（ⅰ）利用二项分布，分布求得取值为0，1，2，3的概率，从而求得的分布列；（ⅱ）由（ⅰ）中所得取值为3的概率，即可求得队获得本赛季的总冠军的概率.
【详解】
解：（1）根据表格信息得到列联表：
队胜 队负 合计
主场 25 5 30
客场 20 10 30
合计 45 15 60
所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，3，
队前4场中每场获胜的概率为.
；
；
；
.
所以的分布列为
0 1 2 3
（ⅱ）队获得本赛季的总冠军的概率为
.
【点睛】
（1）计算时，一定要找到正确的分类变量，然后列出列联表再计算；
（2）比赛五场三胜制，当赢够三场时一定是最后一场赢，所以属于排列问题.
30．（2021·江西·模拟预测（理））某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【分析】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列出列联表，计算出的观测值，根据题意可得出关于的不等式，结合、可求得整数的最小值；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，设乙研发团队试验总花费为元，计算出、，利用函数的单调性可得出，由此可得出结论.
【详解】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
∵，，的最小整数值为，因此，男性患者至少有人；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，
，，
，
，
在递减，，
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，
，，
，
设，，
函数在递减，，恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
31．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，通常需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，并用频率估计概率.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？
指标值 指标值
有抗体
没有抗体
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
①求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
②以（1）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及的数学期望.
参考公式：，其中.
0.15 0.10 0.050 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）填表见解析；有；（2）①0.9；②接受接种试验的人数为99人或100人；期望为90.
【分析】
（1）分别用200去乘以每一组的频率，求出每一组的频数，再结合已知的数据填写列联表，然后计算，在与临界值比较可得结论；
（2）①小白鼠注射2次疫苗后产生抗体与小白鼠注射2次疫苗2次都没产生抗体成对立事件，所以求出小白鼠注射2次疫苗2次都没产生抗体的概率后，再用1减去此概率就是所求概率；
②因随机变量，所以由题意可得且，从而可求出人数的值，进而可求出的数学期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，200只小白鼠某项指标值的数据分布为：
在内有个；内有个；
内有个；内有个；
内有个；
由已知，小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中指标值不小于60的有110只，故有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60没有抗体的小白鼠有20，同理，指标值不小于60没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
指标值 指标值
有抗体 50 110
没有抗体 20 20
由.
所以有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（1）令事件{小白鼠第一次注射疫苗产生抗体}，
事件{小白鼠第二次注射疫苗产生抗体}，事件{小白鼠注射2次疫苗后产生抗体}，
记事件，，发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率为0.9.
（2）随机变量，，
由题意，最大，所以
，且.
解得，，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99人或100人.
①当接种人数为99人时，的分布列为，数学期望；
②当接种人数为100人时，的分布列为，数学期望.
【点睛】
本题考查频率与概率、独立性检验、随机变量分布列与数学期望等知识以及数据分析与处理能力、数学建模能力，属于中档题.
32．（2021·湖南株洲·二模）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30 24.87 0.41 1.64
表中，，，.
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（i）建立关于的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取）.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费.
【分析】
（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可；
（2）（i）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii）设年收益为万元，求出，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出的最大值.
【详解】
（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以，，，，
所以随机变量的分布列为：
1.5 3.5 5.5
0.15 0.45 0.4
所以，，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由得，，
令，，，则，
由表中数据可得，，
则，
所以，，
即，
因为，所以，
故所求的回归方程为；
（ii）设年收益为万元，则，
设，，
则，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，当，即时，有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程.
33．（2021·江苏·金陵中学高三月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 21 23 25 27 29 31 33
平均产卵数/个 7 11 21 24 66 115 325
1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.
附：回归方程中，，.
参考数据
5215 17713 717 81.3 3.6
【答案】（1）；
（2）当时，.
【分析】
（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；
（2）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值.
【详解】
解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.
对两边取自然对数，得，
令，，，则，
由数据得，
，，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
则关于的回归方程为；
（2）由得，
因为，令得，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值为，也是最大值；
所以当时，.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.第2讲 统计案例
一、单选题
1．（2021·宁夏·银川一中三模（文））关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本中心点；
②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；
③相关指数越接近1拟合效果越好；
④残差平方和越小，拟合效果越好.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·河南·高三月考（文））某外语学校要求学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习，为了解选择第二外语的倾向与性别的关系，随机抽取名学生，得到下面的数据表：
选择德语 选择日语
男生
女生
根据表中提供的数据可知（ ）
附：，．
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别无关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关
C．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关
D．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关
3．（2021·广东·肇庆市第一中学高三月考）据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且.现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有正相关关系
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程仍为
C．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.05
4．（2021·广东天河·高三月考）下列表述中，正确的个数是（ ）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；
④在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·云南师大附中高三月考（文））对于样本点分布在指数函数曲线（其中，为待定参数且）周围时，令，，经过变换后得到的线性回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·安徽马鞍山·二模（理））2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常 早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江西·南昌市八一中学三模（文））已知变量关于的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·湖北武汉·二模）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则．
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．
D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．
三、填空题
11．（2021·广东·江门市新会陈瑞祺中学高三月考）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是___________.
附
… 0.100 0.025 0.010 0.005 …
k … 2.706 5.024 6.635 7.879 …
12．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）根据下列数据：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
求得y关于x的回归直线方程为．则这组数据相对于所求的回归直线方程的5个残差的方差为______．（注：残差是实际观察值与估计值之间的差）
13．（2021·四川·仁寿一中高三开学考试（理））有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据：
近视 不近视 总计
少看手机
多看手机
总计
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系.
附表：
参考公式：，其中.
14．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））下列说法正确的有_____．
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
②在线性回归模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化．
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．
⑤身高x和体重y的关系可以用线性回归模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．
15．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数 300 400 500 600 700
感染人数 3 3 6 6 7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
16．（2021·全国·高三专题练习）和的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为______.
①，是负相关关系；
②，之间不能建立线性回归方程；
③在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，则.
四、解答题
17．（2021·全国·高三月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：
1 2 3 4 5
2 2 3 3 4
（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
参考公式：
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；
（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．
18．（2021·全国·高三开学考试）足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力．某手机（应用程序）公司为了了解居民使用这款使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展个月的调查活动，从使用这款的人数的满意度统计数据如下：
月份
不满意的人数
使用 不使用
女性
男性
（1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份的对这款不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款居民的年龄近似服从正态分布，求的值；
（3）工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到上表：能否据此判断有的把握认为是否使用这款与性别有关？
参考公式：，．
19．（2021·福建宁德·高三期中）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业.据统计，我市一家新能源企业近5个月的产值如下表：
月 份 5月 6月 7月 8月 9月
月份代码 1 2 3 4 5
产值亿元 16 20 27 30 37
（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱；(，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强)
（2）求出关于的线性回归方程，并预测10月该企业的产值.
参考公式：；
参考数据：.
20．（2021·全国·高三课时练习）某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：
20 66 770 200 460 4.2
3125000 21500 0.308 14
（1）设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？
参考数据为，，.
21．（2021·江苏南通·高三月考）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2019年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数.
温度/℃ 21 23 24 27 29 30
死亡数/株 6 11 20 27 57 77
经计算，，，，，
，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.
（1）若用一元线性回归模型，求关于的经验回归方程（结果精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得关于的非线性经验回归方程，且相关指数为.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.
22．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））如图是某小区2020年1月至2021年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1～13分别对应2020年1月～2021年1月）.根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
残差平方和
总偏差平方和
（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）估计该小区2021年6月份的二手房均价.（精确到万元/平方米）
参考数据：，，，，，，，.
参考公式：相关指数.
23．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行 每一列 每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：
（天） 1 2 3 4 5 6 7
（秒） 990 990 450 320 300 240 210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）
1845 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
24．（2021·陕西渭南·高三月考（理））某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：
表1
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
营业收入y（亿元） 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
由表1，得到下面的散点图：
根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.
表2
T 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Y 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.
25．（2021·重庆市实验中学高三开学考试）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：
15 15
（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
26．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）某创业者计划在南山旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图．
x 100 150 200 300 450
y 90 65 45 30 20
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的分布列；
（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到）
（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额Q最大？（100天销售额入住率收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，．
27．（2021·海南二中高三月考）为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府岀台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：
人平均月收入
赞成户数 4 9 12 6 3 1
（1）若从人平均月收入在的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；
（2）若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
非高收入户 高收入户 总计
赞成
不赞成
总计
附：临界值表
0.1 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考公式：，.
28．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
29．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数
第一阶段 30 15 20 10
第二阶段 30 15 25 15
（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.
附：.
（） 0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
30．（2021·江西·模拟预测（理））某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
31．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，通常需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，并用频率估计概率.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？
指标值 指标值
有抗体
没有抗体
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
①求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
②以（1）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及的数学期望.
参考公式：，其中.
0.15 0.10 0.050 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
32．（2021·湖南株洲·二模）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30 24.87 0.41 1.64
表中，，，.
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（i）建立关于的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取）.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
33．（2021·江苏·金陵中学高三月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 21 23 25 27 29 31 33
平均产卵数/个 7 11 21 24 66 115 325
1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.
附：回归方程中，，.
参考数据
5215 17713 717 81.3 3.6第3讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
一、单选题
1．（2021·浙江·高三月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
2．（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，求出即得解.
【详解】
解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；
故该部件能正常工作的概率为.
故选：B
3．（2021·河南·高三月考（理））年国庆节期间，小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动，活动分两轮回答问题，第一轮从个题目中随机选取个题目，这个题目都回答正确，本轮得奖金元，仅有个回答正确，本轮得奖金元，两个回答都不正确，没有奖金且被淘汰，有资格进入第轮回答问题者，最多回答两个问题，先从个题目中随机选取个题目回答，若回答错误本轮奖金为零且被淘汰，若回答正确，本题回答得奖金元，然后再从剩余个题目中随机选个，回答正确，本题得奖金元，回答错误，本题回答没有奖金.已知小李第一轮个题目其中个能回答正确，第二轮每个题目回答正确的概率均为（每轮选题相互独立），则小李获得元的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
小李获得元奖金，则第一轮个题目回答都正确，第二轮第个题目回答正确，第个题目回答错误，所以所求概率，
故选：B.
4．（2021·重庆九龙坡·高三期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率．
【详解】
有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．
现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．
故选：B．
5．（2021·四川·高三期中（理））已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由正态分布的概率情况求出，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案
【详解】
由随机变量，且，则
则
由的展开式的通项公式为：
令，解得，令，解得
所以的展开式中的常数项为：
故选：B.
6．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.
【详解】
由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，
，
其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
∴球回到A同学脚下的概率为.
故选：B.
7．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下：
X 1 2 3
P a b 2b—a
则的最大值为（ ）
A． B．3
C．6 D．5
【答案】C
【分析】
根据概率和为1得到，再计算，得到，，计算最值得到答案.
【详解】
，只需求的最大值即可，根据题意：，，，
所以，
当时，其最大值为，故的最大值为．
故选：C.
8．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ）
-2 -1 0
A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【分析】
由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性.
【详解】
由分布列的性质：，可得，
∴，，
∴，
又，
∴在上增大时，增大.
故选：A
9．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲 乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题知使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），进而根据独立事件的概率求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意题，要使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），
甲、乙对应的投中情况可能为（散射，未投中），（双耳，未投中），（依杆，未投中），（依杆，有初），（依杆，贯耳），（依杆，散射），
所以甲获胜的概率为： .
故选：C
二、多选题
10．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
【答案】ABC
【分析】
对于A：由，解之可判断；
对于B，根据二项分布可判断；
对于C，根据两点分布计算可判断；
对于D：根据正态分布的对称性可判断；
【详解】
对于A：对于，故A正确；
对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；
对于C，因为且，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，D错误；
故选：ABC.
11．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】AD
【分析】
首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.
【详解】
由题意知，，两两互斥，故D正确；
，，，，故A正确；
，，
，
所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
12．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】BCD
【分析】
结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．
【详解】
选项A中：，故选项A错误, 选项B正确；选项C中：A，B独立，则，则，故选项C正确；
选项D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，
故选项D正确，
故选：BCD
13．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
由计算可判断A；
由可判断B；
由图可知Y分布更集中，有，由此可判断C；
由图可知，由此可判断D.
【详解】
解：由正态分布，，
则，故A正确；
，故B错误；
由图可知Y分布更集中，所以，则，所以C错误；
由图可知，所以，则D正确，
故选：AD.
14．（2021·全国·高三专题练习）（多选）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
由题意可得正态曲线关于对称，可判断A；分别计算和可判断B；计算可判断C；计算结合选项C可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为随机变量服从标准正态分布，
所以正态曲线关于对称，如图所示.
又，，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B不正确；
因为，故选项C正确；
，故选项D不正确；
故选：AC.
15．（2021·江苏·金陵中学高三期中）为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，.
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩的优秀率超过
【答案】BC
【分析】
由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误.
【详解】
A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；
B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；
C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；
D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误；
故选：BC.
三、双空题
16．（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
【答案】##
【分析】
由题设可知，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在天后仍能正常工作的概率.
【详解】
由题设知：，
∴.
由题意，要使电路能正常工作的概率.
故答案为：，.
四、填空题
17．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
【答案】
【分析】
设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.
【详解】
由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.
18．（2021·浙江金华·高三月考）一个布袋中装有个大小质地相同的小球，颜色白黑红，从中任意取出球，记取到白球每个得分，取到黑球每个得分，取到红球每个得分，设取出的球得分总和为．则______．
【答案】
【分析】
分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
因此，.
故答案为：.
19．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．
【答案】
【分析】
首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.
【详解】
设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示，
共有种情况，
事件包含基本事件，，，，，，共6种，
则，
事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种，
则，
故事件发生的条件下事件发生的概率．
故答案为：．
20．（2021·河南·高三月考（理））某专业资格考试包含甲、乙、丙个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率相等，且个科目是否合格相互独立．设小张科中合格的科目数为，若，则______．
【答案】
【分析】
设乙、丙科目合格的概率均为，则，解方程可得，进而可得分布列及期望.
【详解】
乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为，
则，
解得，
故，
，
，
故分布列为：
期望，
故答案为：.
五、解答题
21．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知火龙果的甜度一般在11~20度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．
甜度
频数 5 8 12 10 16 14 18 12 5
新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表
（1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件的概率．
（2）根据上述样本数据，列出列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？
（3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
，其中．
【答案】
（1）
（2）列联表见解析；有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关
（3）分布列见解析；期望为
【分析】
（1）首先根据频率分布表，计算新，旧方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率，再利用独立事件概率求；
（2）由题意可得列联表，求计算，再根据临界值，即可判断；
（3）由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何概率分布，求分布列和数学期望.
（1）
记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，则有．由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为．
由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为．
故事件的概率为．
（2）
依题意可得到列联表
非超甜果 超甜果 合计
旧施肥方法 60 40 100
新施肥方法 35 65 100
合计 95 105 200
，
故有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关．
（3）
旧施肥方法下的100个火龙果中，“非超甜果”为60个，“超甜果”为40个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
数学期望．
22．（2021·广东广雅中学高三月考）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述．例如，同一种生物体的身长、体重等指标．随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重．经整理分析后发现，鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知．
（1）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；
（2）从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表．
重量范围（单位：）
条数 1 3 2
①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条．为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数．
【答案】
（1）0.22；
（2）①分布列见详解；1；②47000；4136 .
【分析】
（1）根据正态分布曲线的对称性有，计算后即可得出答案；
（2）①随机变量的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分布的概率求法求出各种情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；
②设水库中共有条鱼，根据题意有，先求出，又由（1）可知，从而可求出应捕捞体重在内的鱼的条数.
（1）
解：已知鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的重量在内的概率为0.22.
（2）
解：①挑出6条鱼中，体重在内有2条，则从6条鱼中随机选出3条，
得随机变量的所有可能取值为0，1，2，
；
；
；
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望.
②设水库中共有条鱼，根据题意有，
则（条），
所以估计水库中有47000条鱼；
由（1）可知，
则体重在内的鱼应捕捞（条）.
23．（2021·四川·高三期中（理））为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：
不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计
男生
女生
合计
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】
（1）列联表见解析，有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联
（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】
（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；
（2）随机变量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.
（1）
补充列联表如下：
不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计
男生
女生
合计
根据列联表中的数据，
，
所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联．
（2）
抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活，
故随机变量的取值可以是，，，
，，，
随机变量的分布列如下：
因此，．
24．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【分析】
（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
25．（2021·湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析
（3）最有可能是1人，理由见解析
【分析】
（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出X的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为、、，分别求出相应的概率，比较、、的大小关系，由此可得出结论.
（1）
5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
（2）
X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
26．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；
（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）先根据频率分布直方图得到射击技能分数低于60分的频率，然后可得射击技能分数低于60分的人数；
（2）根据频率分布直方图及分层抽样的知识得到抽取的8人中射击技能分数不低于70分的人数和射击技能分数低于70分的人数，然后写出X的所有可能取值，根据超几何分布的概率公式分别求出各个取值对应的概率，最后可得分布列和数学期望.
（1）
由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为，所以这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为.
（2）
由频率分布直方图可知，射击技能分数在，，的频率分别为0.2，0.4，0.2，
由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为，则射击技能分数低于70分的人数为.
所以X的所有可能取值为1，2，3，
；；；
X的分布列为
X 1 2 3
P
所以.
27．（2021·云南·高三月考（理））为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法.血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否则，无人感染.现有5人待测血样（其中1人感染），将每人的待测血样平均分为甲、乙两组.
甲组：先将2人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性.则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者.
乙组：先将3人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者.（以上检测次数均指最少次数）
（1）求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率；
（2）X表示甲组所需化验的次数，求X的期望.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)设事件，分别表示依方案甲需要化验2次，3次；事件，分别表示依方案乙需化验2次，3次，则与独立，则，利用独立事件的概率公式分别求出即可；
(2)X的可能取值为2，3，分别求出，写出X的分布列，利用随机变量的方差公式计算即可.
（1）
设事件，分别表示依方案甲需要化验2次，3次，
事件，分别表示依方案乙需化验2次，3次，
事件A表示甲组化验次数多于乙组化验次数.
依题意，显然与独立，则，
，，
.
故甲组化验次数多于乙组化验次数的概率为；
（2）
X的可能取值为2，3，
，.
的分布列为
2 3
.
28．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）．甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果相互独立不受影响．
（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；
（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由．
【答案】（1）；（2）甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大；理由见解析．
【分析】
（1）甲同学通过测试包括3种情况：一是在M处投进3分球，在N处第一次投进2分球，二是在M处投进3分球，在N处第一次没投进，第二次投进2分球，三是在M处没投进3分球，在N处连续两次投进2分球，分别求出对应的概率，再利用相互独立事件的概率公式求解即可，
（2）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X，先投2分球投篮累计得分为Y，则X可能取0，2，3，4，5，Y可能取0，2，4，5，求出其对应的概率，从而可求出X，Y的期望，进行比较即可
【详解】
解：（1）记甲同学通过测试的概率为p，
则；
（2）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X，先投2分球投篮累计得分为Y
X可能取0，2，3，4，5
，，
，
Y可能取0，2，4，5
，，
，．
．
故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大．
29．（2021·河北保定·高三期中）新疆棉以绒长 品质好 产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；
（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.
【答案】
（1）B类服装单件收益的期望更高
（2）n可取的最大值为3，（元）
【分析】
（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；
（2）由题知B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，……，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.
（1）
设A类服装 B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则
，
，
，故B类服装单件收益的期望更高；
（2）
由题意可知，，
，，
，，
.
因为，，
所以当时，n可取的最大值为3.
（元），
因为，
所以（元）.
30．（2021·四川·双流中学高三期末（理））随着华为手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分期 分期 分期 分期 分期
频数
已知分期付款的频率为，并且销售一部手机，若果顾客分期付款，商家利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元，以频率作为概率.
（1）求、的值，并求事件“购买手机的位顾客中，至多有位分期付款”的概率；
（2）用表示销售一部手机的利润，求的分布列及数学期望.
【答案】
（1），，所求概率为
（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据表格中的数据和题中信息可求得、的值，再利用独立重复试验的概率公式可求得事件发生的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出的值.
（1）
解：由，得，因为，所以.
由独立重复试验的概率公式可得.
（2）
解：设分期付款的分期数为，则
，，，，.
的所有可能取值为、、.
，
，
.
所以的分布列为
（元）.
31．（2021·山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
（2）在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】
（1），中位数68.
（2）分布列见解析；期望.
（3），当k=40时，最大
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.
（2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.
（3）先求得等级B的概率，代入公式，可得的表达式，计算分析，即可得答案.
（1）
由题意得：，
解得，
因为，
所以中位数在内，设中位数为x，
则，解得，
所以这名学生成绩的中位数为68.
（2）
，，三组数据频率比为，
所以从，，三组中分别抽取7人，3人，1人，
则可取0,1,2,3，
，，，，
则的分布列
0 1 2 3
P
期望
（3）
B等级的概率为，则B等级有40人，
所以，
所以，
即，
解得，
所以当k=40时，有最大值.
32．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）北京时间年月日，历时天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以金 银 铜 打破项世界纪录 创造项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获金银的好成绩，参赛的名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查·
（1）从混合的乒乓球中任取个.
（i）求这个乒乓球是合格品的概率；
（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.
（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取次，每次抽取个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）（i）；（ii）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）（i）利用全概率公式计算“取出的个乒乓球是合格品”的概率；
（ii）利用贝叶斯公式计算“在取到合格品的前提下，它取自第一批乒乓球”的概率；
（2）先分析的取值，然后计算出的不同取值对应概率，由此得到的分布列并计算出数学期望.
【详解】
设事件“任取一个乒乓球是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且互斥；
（1）（i）由全概率公式可知：，
所以；
（ii）由贝叶斯公式可知：；
（2）由条件可知：的可取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
33．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩服从正态分布（满分为750分）.已知，.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.
（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内，2名学生的成绩落在区间内的概率；
（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间内的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据正态分布的性质求得，，然后利用二项分布列概率公式计算；
（2）根据题意判定，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.
（1）
根据正态分布的特点可知，
，
.
用表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内,
2名学生的成绩落在区间内”，
则.
（2）
根据题意，
则，
，
，
，
因此的分布列为
0 1 2 3 4
0.1296 0.3456 0.3456 0.1536 0.0256
数学期望.
34．（2021·全国·高三专题练习）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
【答案】（1）0.7192；（2）0.48；（3）0.7192.
【分析】
(1)由独立事件的概率乘法公式求出通过率，再由独立事件概率公式求该部门招工的淘汰率；(2)由条件概率公式求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；(3)由概率乘法公式和加法公式求被淘汰的概率.
【详解】
设B表示最终通过考核，表示分别通过第一、二、三、四项考核.
（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为
，
因此该部门招工的淘汰率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为
，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为
.
（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为
.
35．（2021·海南·海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；
（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）．
【分析】
（1）由条件概率公式可求；
（2）根据题意分四种情况求分布列即可.
（3）求对立事件“玩三盘游戏全都没出现出现音乐”的概率再求解即可.
【详解】
（1）若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得分的概率为：；
（2）可能的取值为，，，．根据题意，有
，，
，．
所以的分布列为：
（3）设“第盘游戏没有出现音乐”为事件（，则
．
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为：
．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
36．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】
(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
37．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
38．（2021·湖北·襄阳四中一模）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ【答案】（1）140；（2）（i）；（ii）分布列见解析.
【分析】
（1）由正态分布原则即可求出排球个数；
（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时 的值；
（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.
【详解】
（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；
（2）（i），
令，得，
当时，， 在上单调递增；
当时，， 在上单调递减；
所以的最大值点；
（ii）的可能取值为0，1，2，3.
； ；
； ；
所以的分布列为
0 1 2 3
P
【点睛】
求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
39．（2021·全国·高三专题练习（理））某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.
（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（2）如果钢管的直径在之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.
（参考数据：若，则，，）
【答案】（1）有道理，答案见解析；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）由已知求得.由此事件为小概率事件，可得结论.
（2）由正态分布得该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以有在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，因此有次品数的可能取值为0，1，2，3.分别求得，，，，由此可得出次品数的分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）∵，，，，而，
∴.
此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.
（2）因为，，，
由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.
所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为0，1，2，3.
，，
，
则次品数的分布列为
0 1 2 3
所以.
40．（2021·全国·高三专题练习（理））2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品．根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%．为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量．
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于或等于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，
【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理．
【分析】
（1）求出，然后求解时的概率．
（2）判断，求解期望即可．
（3）求解一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件．然后说明结论．
【详解】
解：（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，
所以，
所以，
故．
（2）由题意可知，所以．
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一天内抽取的10只口罩中，
出现过滤率小于或等于的概率，
发生的概率非常小，所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修．可见这种监控生产过程的方法合理．第3讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
一、单选题
1．（2021·浙江·高三月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高三月考（理））年国庆节期间，小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动，活动分两轮回答问题，第一轮从个题目中随机选取个题目，这个题目都回答正确，本轮得奖金元，仅有个回答正确，本轮得奖金元，两个回答都不正确，没有奖金且被淘汰，有资格进入第轮回答问题者，最多回答两个问题，先从个题目中随机选取个题目回答，若回答错误本轮奖金为零且被淘汰，若回答正确，本题回答得奖金元，然后再从剩余个题目中随机选个，回答正确，本题得奖金元，回答错误，本题回答没有奖金.已知小李第一轮个题目其中个能回答正确，第二轮每个题目回答正确的概率均为（每轮选题相互独立），则小李获得元的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆九龙坡·高三期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川·高三期中（理））已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下：
X 1 2 3
P a b 2b—a
则的最大值为（ ）
A． B．3
C．6 D．5
8．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ）
-2 -1 0
A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲 乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
11．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
12．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
13．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．
14．（2021·全国·高三专题练习）（多选）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·江苏·金陵中学高三期中）为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，.
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩的优秀率超过
三、双空题
16．（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
四、填空题
17．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
18．（2021·浙江金华·高三月考）一个布袋中装有个大小质地相同的小球，颜色白黑红，从中任意取出球，记取到白球每个得分，取到黑球每个得分，取到红球每个得分，设取出的球得分总和为．则______．
19．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．
20．（2021·河南·高三月考（理））某专业资格考试包含甲、乙、丙个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率相等，且个科目是否合格相互独立．设小张科中合格的科目数为，若，则______．
五、解答题
21．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知火龙果的甜度一般在11~20度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．
甜度
频数 5 8 12 10 16 14 18 12 5
新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表
（1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件的概率．
（2）根据上述样本数据，列出列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？
（3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
，其中．
22．（2021·广东广雅中学高三月考）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述．例如，同一种生物体的身长、体重等指标．随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重．经整理分析后发现，鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知．
（1）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；
（2）从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表．
重量范围（单位：）
条数 1 3 2
①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条．为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数．
23．（2021·四川·高三期中（理））为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：
不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计
男生
女生
合计
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
24．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
25．（2021·湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
26．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；
（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.
27．（2021·云南·高三月考（理））为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法.血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否则，无人感染.现有5人待测血样（其中1人感染），将每人的待测血样平均分为甲、乙两组.
甲组：先将2人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性.则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者.
乙组：先将3人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者.（以上检测次数均指最少次数）
（1）求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率；
（2）X表示甲组所需化验的次数，求X的期望.
28．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）．甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果相互独立不受影响．
（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；
（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由．
29．（2021·河北保定·高三期中）新疆棉以绒长 品质好 产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；
（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.
30．（2021·四川·双流中学高三期末（理））随着华为手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分期 分期 分期 分期 分期
频数
已知分期付款的频率为，并且销售一部手机，若果顾客分期付款，商家利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元，以频率作为概率.
（1）求、的值，并求事件“购买手机的位顾客中，至多有位分期付款”的概率；
（2）用表示销售一部手机的利润，求的分布列及数学期望.
31．（2021·山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
（2）在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
32．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）北京时间年月日，历时天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以金 银 铜 打破项世界纪录 创造项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获金银的好成绩，参赛的名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查·
（1）从混合的乒乓球中任取个.
（i）求这个乒乓球是合格品的概率；
（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.
（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取次，每次抽取个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.
33．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩服从正态分布（满分为750分）.已知，.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.
（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内，2名学生的成绩落在区间内的概率；
（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间内的人数，求的分布列和数学期望.
34．（2021·全国·高三专题练习）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
35．（2021·海南·海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；
（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
36．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
37．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
38．（2021·湖北·襄阳四中一模）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ39．（2021·全国·高三专题练习（理））某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.
（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（2）如果钢管的直径在之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.
（参考数据：若，则，，）
40．（2021·全国·高三专题练习（理））2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品．根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%．为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量．
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于或等于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，第4讲 排列组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021春 夏津县校级期中）有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 不同的装法．
A．240 B．120 C．600 D．360
【解答】解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法．
第二步，再把4个元素装入4个不同的盒内有种方法，
根据分步计数原理装球的方法共有种方法．
故选：．
2．（2021 铁东区校级三模）已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有
A．1880 B．1440 C．720 D．256
【解答】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有种，
再将剩余的2辆白色汽车全排列共有种，再将这两个整体全排列，共有种，排完后有3个空，
3辆不同的红颜色汽车插空共有种，
由分步计数原理得共有有种，
故选：．
3．（2021春 杭州月考）有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有
A．96 B．48 C．36 D．24
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，甲班的2名同学相邻，
先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与丙班的1人全排列，有种情况，排好后有3个空位可用，
在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有种情况，
则甲班的2名同学相邻的站法有种；
②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；
则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；
故选：．
4．（2021春 张家港市期中）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有种情况，
则有种不同的安排方法，
故选：．
5．（2021 西湖区校级模拟）将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为
A．1344 B．1638 C．1920 D．2486
【解答】解：8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，
则有，2，，，3，两种分组的方法，
由于甲同学分到的书比乙同学多，
当乙分的1本时，此时的种数为
当丙分的1本时，此时的种数为，
故不同的分配方法种数为种，
故选：．
6．（2021 镇海区校级模拟）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有
A．330种 B．345种 C．360种 D．375种
【解答】解：根据题意可能的购买方式有如下两种：①5人中有人购买型口罩，有种购买方式；②5人中没有人购买型口罩，有种购买方式；
综合①②知共有种购买方式．
故选：．
二．填空题（共24小题）
7．（2021春 湖南月考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 396 个没有重复数字的四位偶数．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①从0，2，4，6中任取2个数字中没有0，有个四位偶数；
②从0，2，4，6中任取2个数字中含有0，有个四位偶数；
则有个四位偶数；
故答案为：396．
8．（2021 西湖区校级模拟）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有 3600 种．
【解答】解：根据题意，某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，则有4个空位：
分2步进行分析：
①，5辆不同型号的车需停放，共有种方法，
②，要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起，利用插空法，有种方法，
则不同的停放方法有种；
故答案为：3600．
9．7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有 840 不同的排法．
【解答】解：根据题意，假设有7个位置，对应7个人，
先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种情况，
由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，
则共有种不同的排法；
故答案为：840．
10．（2021春 徐汇区校级期末）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 240 种不同的排法．
【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，
甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，
乙和丙必须相邻，
把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，
根据乘法原理知共有种结果，
故答案为：240
11．把6名学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和并不能分到三车间，则不同的分法有 9 种．
【解答】解：先安排进二车间实习的人，有种方法，再安排进一车间的人有种方法，余下的2人进三车间．所以共有种分法．
故答案为：9
12．（2021 浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有 252 种，用5种颜色染色的方案共有 种．
【解答】解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；综合①②③共有种．
（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对、区域染色有 种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③，共有种．
故填：252，1040．
13．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每个面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色．则不同的染色方法共有 230 种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．
【解答】解：由题意，至少3种颜色：
6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有种方法，共计30种方法；
用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：；种方法；．
用4种颜色：种方法．
用3种颜色：种方法．
共有230种方法
故答案为：230．
14．（2021 宁波期末）如图，对“田”字型的四个格子进行染色．每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有 56 种．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①，若4个格子中没有一格染红色，每格都染黄或蓝，有种不同染法：
②，若4个格子中恰有一格染红色，4格中选一格染红，其余3格染黄或蓝，有种不同染法；
③，若4个格子中恰有两格染红色，有2种情况，其余2格染黄或蓝，有种不同所以不同染法．
共有56种染法，
故答案为：56．
15．（2021春 孝南区校级期中）正五边形中，若把顶点、、、、 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 276 种．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，
首先选取一种颜色，有4种情况．
如果的两个相邻点颜色相同，3种情况；
这时最后两个边有种情况；
如果的两个相邻点颜色不同，种情况；
这时最后两个边有种情况．
方法共有种．
故答案为：276
16．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 51 种．
【解答】解：从这10个数中取出3个偶数的方法有种，取出1个偶数，2个奇数的方法有种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有，2，，，2，，，1，，，1，，，1，，，3，，，1，，，1，，，1，，共有9种，故不同的取法有种
故答案为：51
17．（2021春 丽水期末）某城市街区如图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从点到点的最短路径的走法有 7 种．
【解答】解：要从点到点，至少需要走2条向下的路和3条向右的路，若下图，
我们只需要从这5步路中选出其中2步走向下的路即可走到点，故有条最短路径，
要从点到点，至少需要走1条向下的路和2条向右的路，
只需要从这3步路中选出其中1步走向下的路即可走到点，故有条最短路径
故从点到点的最短路径的走法有种，
故答案为：7
18．（2021春 田家庵区校级期中）来自甲、乙、丙三个班的5名同学站成一排照相，其中甲班有2人，乙班有2人，丙班有1人，仅有一个班同学有的相邻站法有 48 种．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，甲班的2名同学相邻，
先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与丙班的1人全排列，有种情况，排好后有3个空位可用，
在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有种情况，
则甲班的2名同学相邻的站法有种；
②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；
则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；
故答案为：48．
19．（2021 浙江期中）高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照相，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有 40 种（用数字作答）．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，六名学生按男女男女男女排列，
若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，
剩下的2名男生和女生都有种情况，
此时有种安排方法，
若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，
剩下的2名男生和女生都有种情况，此时有种安排方法；
则此时有种安排方法；
②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，
则符合条件的安排方法有种；
故答案为：40．
20．（2021 浙江模拟）将，，，，，六个字母排成一排，其中，相邻，且，在，的两侧，则不同的排法共有 80 种．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①，相邻，将看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，
②将，安排在，的两侧，有2种情况，
③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排，有4种情况，
五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排，有5种情况，
则有种情况，
故答案为：80
21．（2021 椒江区校级模拟）某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1，2上已经种了花，其余空地需从，，，，这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有 1080 种．
【解答】解：若选用4种花，则不同的种植方案有种，
若选用5种花，则不同的种植方案有种，
故不同的种植方案共有种，
故答案为：1080．
22．（2021 温州模拟）有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有 15 种．
【解答】解：先将6个球按甲1个，乙2个，丙3个进行分派；
剩余的4个球随机的分派给三个人，每个人可分可不分球；
相当于四个完全一样的东西形成的六个空中插入两个隔板；
即有种；
故他们所得的球数的不同情况有15种．
故答案为：15．
23．（2012春 南岗区校级月考）5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为 150 ．
【解答】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，
分成1、1、3时，有种分法，
分成2、2、1时，有 种分法，
所以共有种方案，
故答案为：150．
24．（2021春 渝中区校级期中）方程的非负整数解共有 78 组．
【解答】解：根据题意，对于方程，
将11看成11个“1”，11个“1”中间有12个空，从12个空中选两个空进行插板，或从12个空中选1个空插2个板，
即可以将11个“1”分为三组，每一组对应“1”的数目，依次为、、的数值，
则有种分组方法，
方程的非负整数解有78组，
故选：78．
25．（2021春 河西区期中）现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 420 ．
【解答】解：可以同色的区域为，，
若都不同色，则有，
若只有同色，则有，
若只有同色，则有，
若，两个同色，则有，
共有，
故答案为：420．
26．（2004 浦东新区校级模拟）将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有 42 种．（三种颜色必须用全，以数字作答）
【解答】解：由题意，不妨从左至右按编号，由于三种颜色必须用全，第一步涂一号有三种涂法，第二步涂二号有二种涂法第三步涂三号时可分为两类研究，若三号与一号同则后两框必一框涂色与一号二号不同，与若三号与一号不同，由于三种颜色已全部用上，故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可
故总的涂色方法为种
故答案为42
27．（2017春 和平区期末）一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的顺序填写志愿表．若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有 1800 种不同的填法（用数字作答）．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、由于专业不能作为第一、第二志愿，
需要在除之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有种填法，
②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，
有种填法，
则该学生有种不同的填法；
故答案为：1800．
（2021 西湖区校级模拟）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了，，三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加，项目，乙不能参加，项目，那么共有 52 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：
①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有种选拔方法，
②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，
③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，
④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加项目，乙只能参加项目，在剩下4人中任选1人参加项目，有种选拔方法，
则有种选拔方法；
故答案为：52
29．（2021 海淀区校级三模）从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 168 种不同的选法．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生，有种情况，
②，在选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长，
剩下2人作为队员，有种情况，
则有种不同的选法；
故答案为：168．
30．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地区至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有 30 种．
【解答】解：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，
①2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列：
共有：种；
②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列：
共有：种；
所以，选派方案共有种．
三．解答题（共10小题）
31．现有8个人男3女）站成一排．
（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【解答】解：（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
32．把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？
【解答】解：6名实习生分配到7个车间实习，每名实习生有7种分配方法，共有种不同的分法．
33．8人排成两排，每排4人，下列各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙在前排两端，丙在后排左端；
（2）甲、乙在前排，丙在后排．
【解答】解：（1）先排前排，除甲乙丙外选2人排在甲乙之间，再排后排，丙在后排左端，把剩下的3人全排列，故有种；
（2）先排前排，除甲乙丙外选2人和甲乙全排列，再排后排，丙和剩下的3人全排列，故有种；
34．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）．
（1）分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？
（2）分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？
（3）平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？
（5）分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
（6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
（7）平均分成3份，共有多少种不同的分法？
（8）分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
【解答】解：（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本．有方法1种，
不同的分法共有（种；
（2）与（1）类似，不同的分法共有（种；
（3）不同的分法共有种；
（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；
再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，
不同的分法共有（种；
（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种．
（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种；
（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本．本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种；
（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种．
35．本4本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？
（1）分成2堆，一堆1本，一堆3本；
（2）分成2堆，每堆2本．
【解答】解：（1）由题意可得，；
（2）由题意可得，．
36．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？
（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？
【解答】解：4本不同的书平均分成2堆，有（种分法；
4本不同的书平均分给2个人，先分组有（种分法，
将分好的2组全排列，对应2个人，有（种情况，
则有（种不同的分法．
（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有2种情况：1本和3本，各2本，
因此共有（种分法，
分配给2个人，每人至少1本，有（种分法．
37．有12本不同的书．
（1）分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？
（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
（3）若平均分成3堆，有几种方法（只要求列出算式）？
【解答】解：（1）根据题意，分4步分析：
①，在12本书中取出3本，分给甲，有种取法，
②，在剩下的9本书中取出3本，分给乙，有种取法，
③，在剩下的6本书中取出3本，分给丙，有种取法，
④，将最后的3本书交给丁，有种情况，
则一共有种分法；
（2）根据题意，分3步分析：
①，在12本书中取出1本，作为第一堆，有种取法，
②，在剩下的11本书中取出3本，作为第二堆，有种取法，
③，在剩下的8本书中取出4本，作为第三堆，剩下的4本作为第四堆，有种分法；
则一共有种分法；
（3），根据题意，将12本不同的书，平均分成3堆，每堆有4本，
则有种不同的分法．
38．（2021春 翠屏区校级期中）由数字0，1，2，3，4．回答下列问题：
（1）从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有多少种？
（2）可组成多少个无重复数字的五位数自然数？
（3）在无重复数字的五位数的自然数中，任取两个数，求取出的两个数都是偶数的概率．
【解答】解：（1）两个数的积是偶数，则其中至少有一个偶数，分两类，第一类只有一个偶数有种，第二类都是偶数有种，根据分类计算原理得，种；
（2）0是特殊元素不能排在首位，所以先排首位，然后再排另外四位，有个；
（3）第一类0在末尾时有个，第二类0不在末尾时，末尾只能从2，4选一个，再排首位，首位不能是0，有个，无重复数字的五位数的自然数中
偶数共有，（2）可知可组成96个无重复数字的五位数自然数，设取出的两个数都是偶数的概率为（A），则（A）．
39．某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从到需要走段，
而这些段中，必须有东西方向的段，其余的为南北方向的段，
共有种走法．
40．用4种不同的颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色．
（1）有多少种不同的涂法？
（2）若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？
【解答】解：（1）分4步，依次为，，，各个区域，分别有4种涂法，共有种不同的涂法，
（2）由可分4步进行，第一步：有4种涂法，第二步有3种涂法，第三步有2种涂法，第四步有2种涂法有种不同的涂色第4讲 排列组合
一．选择题（共6小题）
1．（2021春 夏津县校级期中）有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 不同的装法．
A．240 B．120 C．600 D．360
2．（2021 铁东区校级三模）已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有
A．1880 B．1440 C．720 D．256
3．（2021春 杭州月考）有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有
A．96 B．48 C．36 D．24
4．（2021春 张家港市期中）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
5．（2021 西湖区校级模拟）将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为
A．1344 B．1638 C．1920 D．2486
6．（2021 镇海区校级模拟）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有
A．330种 B．345种 C．360种 D．375种
二．填空题（共24小题）
7．（2021春 湖南月考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位偶数．（用数字作答）
8．（2021 西湖区校级模拟）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种．
9．7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有 不同的排法．
10．（2021春 徐汇区校级期末）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同的排法．
11．把6名学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和并不能分到三车间，则不同的分法有 种．
12．（2021 浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有 种，用5种颜色染色的方案共有 种．
13．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每个面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色．则不同的染色方法共有 种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．
14．（2021 宁波期末）如图，对“田”字型的四个格子进行染色．每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有 种．
15．（2021春 孝南区校级期中）正五边形中，若把顶点、、、、 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种．
16．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 种．
17．（2021春 丽水期末）某城市街区如图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从点到点的最短路径的走法有 种．
18．（2021春 田家庵区校级期中）来自甲、乙、丙三个班的5名同学站成一排照相，其中甲班有2人，乙班有2人，丙班有1人，仅有一个班同学有的相邻站法有 种．
19．（2021 浙江期中）高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照相，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有 种（用数字作答）．
20．（2021 浙江模拟）将，，，，，六个字母排成一排，其中，相邻，且，在，的两侧，则不同的排法共有 种．（用数字作答）
21．（2021 椒江区校级模拟）某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1，2上已经种了花，其余空地需从，，，，这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有 种．
22．（2021 温州模拟）有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有 种．
23．（2012春 南岗区校级月考）5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为 ．
24．（2021春 渝中区校级期中）方程的非负整数解共有 组．
25．（2021春 河西区期中）现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 ．
26．（2004 浦东新区校级模拟）将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有 种．（三种颜色必须用全，以数字作答）
27．（2017春 和平区期末）一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的顺序填写志愿表．若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有 种不同的填法（用数字作答）．
28．（2021 西湖区校级模拟）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了，，三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加，项目，乙不能参加，项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）
29．（2021 海淀区校级三模）从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
30．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地区至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有 种．
三．解答题（共10小题）
31．现有8个人男3女）站成一排．
（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
32．把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？
33．8人排成两排，每排4人，下列各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙在前排两端，丙在后排左端；
（2）甲、乙在前排，丙在后排．
34．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）．
（1）分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？
（2）分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？
（3）平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？
（5）分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
（6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
（7）平均分成3份，共有多少种不同的分法？
（8）分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
35．本4本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？
（1）分成2堆，一堆1本，一堆3本；
（2）分成2堆，每堆2本．
36．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？
（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？
37．有12本不同的书．
（1）分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？
（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
（3）若平均分成3堆，有几种方法（只要求列出算式）？
38．（2021春 翠屏区校级期中）由数字0，1，2，3，4．回答下列问题：
（1）从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有多少种？
（2）可组成多少个无重复数字的五位数自然数？
（3）在无重复数字的五位数的自然数中，任取两个数，求取出的两个数都是偶数的概率．
39．某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
40．用4种不同的颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色．
（1）有多少种不同的涂法？
（2）若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？第5讲 概率与统计综合问题
一、解答题
1．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流 大束流 高能 特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】
（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】
（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为
.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.
由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度 芯片批次 合计
I J
不满意 12 3 15
满意 28 57 85
合计 40 60 100
根据列联表得
.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】
求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
2．（2021·广西·模拟预测（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．
【分析】
（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；
（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：
因为，，，所以，，
所以
利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
，
令，则，
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
【点睛】
关键点点睛：本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.
3．（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；
（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.
【详解】
（1）平均每组人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，
，
所以
，
设，则，
又，
所以
，因为，所以，
又
，因为，所以，
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得.
4．（2021·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【分析】
（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；
（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.
【详解】
（1）由已知，，，得，
的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.
若，则，
所以，∴，
∴.
∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，
令，则，
∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，
∴，
∴，，
∴，
所以.
∴或（负值舍去）.
∴成立.
∴由①②可知，对任意的正整数n，，
所以，所以为等比数列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.
设（），，
∴当时，，则在上单调递减；
又，，所以，
，，所以，
，，∴；
，.∴.
∴k的最大值为4.
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
5．（2021·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，
【答案】（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.
【分析】
（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.
（2）①设方案总费用为Y，，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可. ②根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.
【详解】
（1）X的可能值为1和，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X 1
P
所以.
（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时，，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理.
②由①知方案二总费用的数学期望
，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11.
【点睛】
本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.
6．（2021·全国·高三期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
【答案】
（1）
（2）50
【分析】
（1）设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，求出连续两次卡片的方法数，再计算出第二次取出的是白色卡片的取法数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）设选出的是第k个同学，计算连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1）以及第二次取出的是白色卡片的种数，计算得出参加表演的概率，即求.
（1）
n=3时，设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，连续两次卡片的方法数为3×2=6，
第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（3－k）（2－k），（红，白），取法数为k（3一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：（3-k）（2-k）十k（3-k）=6-2k，
则在第k个同学手中第二次取出的是白色卡片的概率，
而选到第k个同学的概率为号，
故所求概率为：
（2）
设选出的是第k个同学，连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1），
第二次取出的是白色卡片的两次卡片颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（n—k）（n—k－1），
（红，白），取法数为k（n一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：
（n－k)（n－k－1)＋k(n－k)=(n－k)(n－1),
则在第k个同学中第二次取出的是白球的概率，
而选到第k个同学的概率为，故所求概率为：
又，可知n越大，张老师参加文艺表演的可能性最大，
因此，班长应该邀请班上的50名同学全部参与游戏，可使获胜的概率最大.
7．（2021·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）利用互斥事件的概率公式即得；
（2）由题可求，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得.
【详解】
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
0 1 2 3
的期望为.
8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.
【分析】
（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．
（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．
【详解】
（1）的可能取值为4，5，6，7
的分布列为
4 5 6 7
（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，
甲获得奖金金额为（元）
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.
;
设乙赢得全部奖金为事件，则
设，则，由
在单调递减，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
9．（2021·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.
【分析】
（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.
（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.
【详解】
（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，故，
（2）若增加2个元件，此时共有个元件.
为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
分三种情况讨论：
①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.
所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；
当，，系统可靠性降低；
当，，系统可靠性提高.
10．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
11．（2021·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点元) 新个税税率表(个税起征点元)
缴税级数 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点 税率/% 每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率/%
1 不超过元 不超过元
2 部分超过元至元部分 部分超过元至元部分
3 超过元至元的部分 超过元至元的部分
4 超过元至元的部分 超过元至元的部分
5 超过元至元部分 超过元至元部分
··· ··· ··· ···
随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.
（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;
（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视
【答案】（1）分布列见解析，3150；（2）12个月.
【分析】
（1）先求出的可能值为，再求其对应的概率即得解；
（2）先求出该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元，再解不等式即得解.
【详解】
解:既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额元，
月缴个税元.
所以的可能值为，
依题意，上述四类人群的人数之比是，
所以
，
，
，
所以的分布列为
所以
在旧政策下该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额为元，
其月缴个税为元，
由知在新政策下该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，
所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元.
设经过个月，该收入层级的互联网从业者少缴的个税的总和就超过
则
因为
所以
所以经过个月﹐该收入层级的互联网从业者就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视.
12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【分析】
（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
13．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解；
（2）写出随机变量X的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.
【详解】
解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，
甲乙交换的均是白球，则概率为，
所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；
（2）X可取0，1，2，3，4，
由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，
乙袋中有1个白球3个红球的概率为，
乙袋中有3个白球1个红球的概率为，
则，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以数学期望.
14．（2021·福建·模拟预测）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用组合数可求；
（2）利用容斥原理可求.
【详解】
（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，
此时.
（2）当时，，
当时，，，中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故，
当时，记为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
综上，.
15．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲 乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．
【分析】
（1）设赌博再继续进行X局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲赢的概率，由此能求出甲应分得的赌注．
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以贏，，当时，乙以贏，，求出甲赢得全部赌注的概率对其求导，利用导数分析单调性，求出该函数的最小值，从而判断出“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是小概率事件.
【详解】
（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以．
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，
当时，乙以贏，；
当时，乙以贏，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，．
因为所以所以在上单调递增，
于是．
故乙赢的概率最大为故是小概率事件．
16．（2021·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.
【详解】
解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知得，
的所有可能取值为1，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以p关于k的函数关系式为（且）
证明：令（且）
所以，
令，
，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
【点睛】
本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.
17．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】
(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
18．（2021·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.
【分析】
（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
.
所以的分布列为：
0 1 2
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查互斥事件与独立事件的概率公式，条件概率的计算，随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键难点有两个，一是用用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，这样所求概率事件可表示若干互斥事件的和，从而求得概率；二是认识到最终获得一等奖这个事件是在第一轮获奖的条件下才能发生，因此需要用条件概率来理解计算．
19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【分析】
（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】
解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】
本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：
（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；
（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
20．（2021·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元） 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
20 40 50 70 100
∴.
【点睛】
方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
21．（2021·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
22．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.
此时，，.
【点睛】
本题考查二项分布的应用，涉及利用基本不等式求最值，属中档题，关键是熟练掌握独立事件及独立重复事件概率公式，利用基本不等式和二次函数的性质求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率的最大值，熟练掌握二项分布的期望值公式.
23．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
24．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.
【分析】
（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；
（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；
②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.
【详解】
（1）由已知，，，得；
的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；
当时，由，
所以，
则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），
所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，
所以，则，
所以，即；
设，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；
又，，
所以使的最大整数的取值为，
即时，的最大值为；
综上，的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.
25．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25% 选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50% 选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为
0 1 2 3
故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
26．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3， ，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，， ，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2， ，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
27．（2021·重庆一中模拟预测）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
由题设可得，
（1）将代入上式即可求；
（2）由题意，由易知，进而可证明结论.
（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，进而求，根据即可求的范围.
【详解】
由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有根光导纤维能正常传输信号，
∴，
（1）由上知：；
（2）当时，有，而，
∴，故，得证；
（3）由题意，，
新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作的概率分别为，
∴，，，
∴，
∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则，
∴，故时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【点睛】
关键点点睛：第三问，讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，根据题意得到即可求概率的范围.
28．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）15
【分析】
（1）根据可求得；
（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】
（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）得
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，
所以，则，
当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，
因为为正整数，所以至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.
29．（2021·全国·模拟预测）某学校招聘在职教师，甲 乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲 乙两人通过各个环节相互独立.
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲 乙两人谁更有可能入职.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.
【分析】
（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.
【详解】
（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
.
则的分布列为
0 1 2 3 4 5
故.
（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，
乙成为在职教师的概率.
因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率 离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.
30．（2021·山东泰安·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.
【详解】
解：（1）进入第二轮的概率为，
与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，
其概率为，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
0 1 2 3
．
【点睛】
关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键
31．（2021·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）（i）由题意可知，利用二项分布求解即可；
（ii）根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可.
【详解】
（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】
关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键，属于较难题.
32．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.
参考数据：，，，，.
【答案】（1）答案见解析；（2）且k∈N*．
【分析】
（1）依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，由此求得随机变量的分布列；
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，求得其期望，由已知得lnk＞k．设，运用导函数，研究函数的单调性和特殊点的函数值的符号可求得范围.
【详解】
（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，
从而，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为．
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，
∴，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，
∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．
设，则，所以时，，时，，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，
f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为且k∈N*．
【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤是：
1.首先确定随机变量的所有可能取值；
2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；
3.进行列表，画出分布列的表格；
4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．
33．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地 藏粮于技战略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学 严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().
（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；
（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
【答案】（1）概率为，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用服从二项分布，即求出种植成功的概率和数学期望；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，然后分三种情况分别求解种植成功的概率，利用作差法比较即可.
【详解】
（1）由题意可知，服从二项分布，
故，
故种植成功的概率为，
；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，
拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，
当种植颗种子时，考虑前颗种子出芽数，
为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，
①前颗种子中恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为；
②前颗种子恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为；
③前颗种子至少有颗出芽，
它的概率为，此时种植一定成功.
所以，
故，
，
因为，
所以，
所以当时，，种植成功率会降低；
当时，，种植成功率不变；
当时，，种植成功率会提高.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是要分类讨论，二是要分析出所有满足条件的情况并计算出概率.
34．（2021·全国·高三专题练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【答案】（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为；②概率为，解释答案见解析.
【分析】
（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.
【详解】
（1）首先有，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与的奇偶性一致，而
为偶数，故的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、，
，，，
，，
所以的分布列为
从而的数学期望；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”
为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
35．（2021·湖北·汉阳一中三模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率．
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
【详解】
解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率．
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
【点睛】
关键点睛：本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，关键在于运用列举法，准确地运用公式得以解决问题．
36．（2021·安徽·高三月考（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.
（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，可知最后一局必然甲赢，可知的可能取值有、、，分别计算出在不同取值下的概率，可得出，进而可得出，由此可气得结果；
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，可知的可能取值有、，分别计算出在不同取值下的概率，可求得，进而可得出，再利用导数求出的最小值，进而可得出结论.
【详解】
（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以.
所以，甲赢的概率为.
所以，；
（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部奖金的概率为.
于是甲赢得全部奖金的概率.
求导，.
因为，所以，所以在上单调递增，
于是.
故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.
【点睛】
关键点点睛：本题在求和时，要明确最后一局是谁赢，前几局甲或乙各赢了几局，再结合独立事件的概率乘法公式计算即可.
37．（2021·湖南·雅礼中学高三开学考试）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌 价格（元/件） 使用寿命（月）
甲 或
乙 或
已知甲品牌使用个月或个月的概率均为，乙品牌使用个月或个月的概率均为．
（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
【答案】（1）；（2）方案二更实惠．
【分析】
（1）分三种情况讨论：①装入两件甲品牌；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月.分别计算出各种情况下对应事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式可求得结果；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），计算出、的值，设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），计算出，然后比较和的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
（1）电动机工作时间不少于个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月，概率为；
③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月，概率为.
电动机可工作时间不少于个月的概率为；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、
，，
所以，的分布列为
，它与购置轴承的成本之比为．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），则的可能取值为、、，
，，.
设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、、，
，
，
，
所以，的分布列为：
，它与购置轴承的成本之比为
，
，从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
38．（2021·全国·高三专题练习（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【分析】
（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；
（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．
②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．
【详解】
（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．
由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．
，
．
，
∴的分布列为：
0 1
．
（2）①由（1），
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．
∴，
②∵规定，且有，
∴代入得：，
∴，∴数列是等比数列，
公比为，首项为，∴．
∴．
【点睛】
关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.
39．（2021·全国·模拟预测）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)先根据所给条件，用列举法求出原答题组再继续答题的概率和由对方组接着答题的概率，再把第次由甲组答题的事件分拆成两个互斥事件的和，最后由概率加法公式列式求得；
(2)分析出甲在第次、第次、第次中只答题一次的事件，列式代数计算即得.
【详解】
(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
【点睛】
涉及较繁琐的概率求解问题，关键是把要求概率的事件分拆成一些相互独立事件的积和彼此互斥的和，再根据概率的乘法公式和概率的加法公式求解.
40．（2021·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由题意可知的所有可能取值为，，，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望．
【详解】
解：（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为： ；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为：；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为： ；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：.
（2）依题意的所有可能取值为，，
由（1）知，
当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时，
分两种情况：
3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：
3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：
3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.
所以，
故，
故的分布列为
则．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考査数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养．
41．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中第5讲 概率与统计综合问题
一、解答题
1．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流 大束流 高能 特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
2．（2021·广西·模拟预测（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
3．（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
4．（2021·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
5．（2021·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，
6．（2021·全国·高三期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
7．（2021·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
9．（2021·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
10．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
11．（2021·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点元) 新个税税率表(个税起征点元)
缴税级数 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点 税率/% 每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率/%
1 不超过元 不超过元
2 部分超过元至元部分 部分超过元至元部分
3 超过元至元的部分 超过元至元的部分
4 超过元至元的部分 超过元至元的部分
5 超过元至元部分 超过元至元部分
··· ··· ··· ···
随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.
（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;
（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视
12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
13．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
14．（2021·福建·模拟预测）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．
15．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲 乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
16．（2021·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
17．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
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（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
18．（2021·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
20．（2021·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元） 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
21．（2021·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
23．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
24．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
25．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25% 选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50% 选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
26．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
27．（2021·重庆一中模拟预测）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
28．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
29．（2021·全国·模拟预测）某学校招聘在职教师，甲 乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲 乙两人通过各个环节相互独立.
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲 乙两人谁更有可能入职.
30．（2021·山东泰安·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
31．（2021·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
32．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.
参考数据：，，，，.
33．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地 藏粮于技战略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学 严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().
（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；
（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
34．（2021·全国·高三专题练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
35．（2021·湖北·汉阳一中三模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
36．（2021·安徽·高三月考（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.
（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
37．（2021·湖南·雅礼中学高三开学考试）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌 价格（元/件） 使用寿命（月）
甲 或
乙 或
已知甲品牌使用个月或个月的概率均为，乙品牌使用个月或个月的概率均为．
（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
38．（2021·全国·高三专题练习（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
39．（2021·全国·模拟预测）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
40．（2021·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
41．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数
第一阶段 30 15 20 10
第二阶段 30 15 25 15
（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.
附：.
（） 0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
42．（2021·江苏省天一中学三模）最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
43．（2021·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
44．（2021·全国·高三月考（理））“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人 团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲 乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.
（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.
（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲 乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲 乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平.
45．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.
46．（2021·江西南昌·三模（理））高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红 小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
47．（2021·湖南·长郡中学高三月考）一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.
（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大；
（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.
48．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；
（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列与数学期望；
（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
49．（2021·江苏南通·模拟预测）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
50．（2021·全国·高三专题练习（理））已知正三角形，某同学从点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率，，；
（2）记，，，其中，，求.
51．（2021·江西·模拟预测（理））某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828