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第九章 不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组
人教版数学七年级下册 同步课件
回顾交流
1.什么叫一元一次不等式组？
2.怎样解一元一次不等式组？
合作探索
例. 一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满，
1.设有x间宿舍，请写出x应满足的不等式组；
2.可能有多少间宿舍，多少名学生？
思路分析
这里有x间宿舍，每间住4人，剩下19人，因此学生人数为4x+19人，若每间住6人，则有一间住不满， 这 是什么不等关系呢？ 你明白吗？
6
6
6
4x+19
0人到6人之间
最后一间宿舍
6
(x-1)间宿舍
列不等式组为： 0<4x+19-6(x-1)<6
可以看出： 0<最后一间宿舍住的人数<6
解：设有x间宿舍，根据题意得不等式组：
0<4x+19-6(x-1)<6
即： 6x>4x+19
6(x-1)<4x+19
解得： 18.5因为x是整数，所以x=10，11，12.
因此可能有10间宿舍，59名学生或11间宿舍，63名学生或12间宿舍，67名学生.
运用不等式组解应用题
例题：某工厂用如图(1)所示的长方形和正方形纸板，糊制横式与竖式两种无盖的长方体包装盒，如图(2).现有长方形纸板351张，正方形纸板151张，要糊制横式与竖式两种包装盒的总数为100个.若按两种包装盒的生产个数分，问有几种生产方案？如果从原材料的利用率考虑，你认为应选择哪一种方案？
(1)
(2)
分析：
已知横、竖两种包装盒各需3长、2正；4长、1正，由于原材料的利用率的高与低取决于盒子个数的分配的方案，因此确定一种盒子个数x的(正整数)值是关键.所以建立关于x的方程或不等式是当务之急.
例
351
151
(个)
(个)
合计(张)
现有纸板
(张)
(张)
(张)
3x
100-x
x
2x
3x+4(100-x)
100-x
4(100-x)
2x+100-x
设
填空：
解：设生产横式盒x个，即竖式盒(100-x)个，
得
解得 49≤x≤51
即正整数x=49，50，51
当x=49时， 3x+4(100-x)=351， 2x+100-x=149 ， 长方形用完，正方形剩2张；
当x=50时， 3x+4(100-x)=350， 2x+100-x=150 ， 长方形剩1张，正方形剩1张；
当x=51时， 3x+4(100-x)=349， 2x+100-x=151 ， 长方形剩2张，正方形用完.
3x+4(100-x) ≤351
2x+100-x≤151
答：共有三种生产方案：横式盒、竖式盒为①49个、51个②各50个③51个、49个.
其中①方案原材料的利用率最高，应选①方案.
运用不等式(组)解应用题一般步骤：
(1)审题---明确不等关系的词语的联系与区别.
(如：“不超过” 、“至少”等词语的含义）
(2)设元---选合适的量为未知数.
(3)列不等式(组)---选与未知数相关的不等关系.
(4)解不等式(组)---根据不等式的性质.
(5) 解答---利用不等式(组)的解，写出符合题意的结果.
归纳小结
实践应用，合作探索
某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲原料9kg，乙原料3kg，生产一件B产品需要甲原料4kg，乙原料10kg，
（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组.
（2）有哪几种符合的生产方案？
（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使生产A、B两种产品的总获利最大？最大利润是多少？
思路分析：
（1）本题的不等关系是：
生产A种产品所需的甲种原料≤360
生产B种产品所需的乙种原料≤290
根据上述关系可列不等式组：
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得：30≤x≤32
（2） 可有三种生产方案：A种30件，B种20件或A种31件，B种19件或A种32件，B种18件
小结
这节课我们学习了构建不等式组的数学模型解决实际问题的数学方法，我们利用不等式组解决实际问题的关键是找出题中的不等关系.
动手一试：
1.已知三个连续自然数之和小于12，求这三个数.
2.把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分3个，余8个；如果每人分5个，最后一名小朋友能得到苹果，但不足5个，求小朋友人数和苹果的个数.
0，1，2或1，2，3或2，3，4
5 ， 23 或 6 ， 26
思考题：
某自行车厂今年生产销售一种新型自行车，现向你提供以下有关信息：
(1)该厂去年已备有自行车车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只车轮；
(2)该厂装配车间(自行车最后一道工序的生产车间)每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；
(3)该厂已收到各地客户今年订购这种自行车共14500辆的订单；
(4)这种自行车出厂销售单价为500元/辆.
设该厂今年这种自行车销售金额为a万元，请根据以上信息，判断a的取值范围是 .
600≤a≤700
1.将若干只鸡放入若干个笼，若每笼放4只，则有一只鸡无笼可放；若每笼放5只，则有一个笼无鸡可放.那么有几只鸡几个笼？
请同学们用学过的方法检验一下自己的能力
请同学们用学过的方法检验一下自己的能力
2.某种商品的进价为300元，出售时标价为360元，后来由于该商品销售过旺，造成库存量减少，商场准备提高售价，但利润不得超过50％，则商场最高提价百分之多少？
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php9．3 一元一次不等式组
教学目标
知识与技能
通过比较确定不等式组的解集与确定方程组的解集，抽象出这二者之间的异同，由此理解不等式组的公共解集．
教学重点
一元一次不等式组的解集和解法．
教学难点
对一元一次不等式组解集的理解．
教学过程
一、情景导入
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x千克．
1.从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？
2.你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？
在讨论或议论中，列出不等式：
2x＋x<72，
2x＋x＋6>72.
其中x同时满足以上两个不等式．
在学生议论的基础上，老师揭示：
一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多．
二、新课教授
教师出示问题：
用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水．估计积存的污水超过1200 t而不足1500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
设用x min将污水抽完，则x同时满足不等式
30x>1200，①
30x<1500.②
类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．记作
怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢？
类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x可以取值的范围．
由不等式①，解得
x>40.
由不等式②，解得
x<50.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中容易看出，x取值的范围为
40这就是说，将污水抽完所用时间多于40 min而少于50 min.
一元一次不等式组的概念和解集：
把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
类比方程组的解，我们把几个不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．
我们还可以利用数轴确定不等式组的解集．
1. x＞4
2. 2＜x＜4
3. 无解
4. x＜2
上面的表示可以用口诀来概括：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小不用找．
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
三、例题讲解
【例1】 解下列不等式组：
(1)
(2)
解：(1)解不等式①，得
x＞2.
解不等式②，得
x＞3.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．
x＞3.
(2)解不等式①，得
x≥8.
解不等式②，得
x＜.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解．
【例2】 x取哪些整数值时，不等式
5x＋2＞3(x－1)与x－1≤7－x都成立？
分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值．
解：解不等式组
得－＜x≤4.
所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4.
四、巩固练习
解下列不等式组：
1. 2.
3.
【答案】
1．不等式2x＋5≤3(x＋2)的解集为x≥－1，
不等式＜的解集为x＜3，
故不等式组的解集为－1≤x＜3.
2．不等式2x－7＜3(1－x)的解集为x＜2，
不等式x＋3≤1－x的解集为x≤－1，
故不等式组的解集为x≤－1.
3．不等式5x＋3＞8x－2的解集为x＜，
不等式＞的解集为x＜3，
故不等式组的解集为x＜.
五、课堂小结
学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要．学习不等式组时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念．求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深刻的体验．
教学反思
本节课的设计以实际问题建立数学模型，通过数学问题引导学生找出解决问题的思路．在这一过程主线下，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳契机，及时揭示出数学本质，引发数学思考，让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．
