沪科版八年级数学下册19.2平行四边形 教案
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| 名称 | 沪科版八年级数学下册19.2平行四边形 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 18:46:00 | ||
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文档简介
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第6课时 三角形的中位线
教学目标 1.理解三角形的中位线的定义. 2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题. 3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力. 教学重难点 重点：掌握中位线的定义以及中位线定理. 难点：三角形中位线的性质定理的证明. 教学过程 复习旧知 三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中点的连线叫做三角形的中线. 导入新课 动手操作（探究发现，教师点评） 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形 【结论】四个全等的三角形. 探究新知 探究一 一条直线截一组平行线的性质 【例】已知,直线互相平行，直线AC与直线分别交直线于点A，B，C和点且AB=BC. 求证：. 【教师活动】要证线段A1B1＝B1C1，可考虑把线段转化在两个全等的三角形中，故过点作EF∥AC，利用平行四边形的判定和性质证明即可. 【学生活动】根据老师的分析，现在合作完成证明过程，并总结存在的结论. 【证明】过点作EF∥AC，分别交直线，于点E，F. ∴ 四边形ABE,BCF都是平行四边形. ∴ E=AB, F= BC. ∵ AB= BC， ∴ E=F. 又∵ ∠=∠,∠E=∠F, ∴ △E≌△F. ∴= . 【小组交流合作结论】 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么其他直线上截得的线段也相等. 【教师提问】若直线向左平移，使点和点A重合，你会得到什么结论？ 【学生活动】动手操作，测量，证明，得出结论. 结论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 探究二 三角形中位线定理 问题1 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ①如果D，E分别为AB，AC的中点,连接DE, 那么DE为△ABC的中位线. ②如果DE为△ABC的中位线，那么 D，E分别为AB，AC的中点. 问题2 除此之外，△ABC还有其他中位线吗 你会画吗 （展示图形） 【注意】任意一个三角形都有三条中位线. 【说明】若连接AF，则AF是△ABC的中线. 问题3 （师生互动，教师点评） 请你说出三角形的中线和中位线的区别. 学生：中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线. 问题4 你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 【学生活动】将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. 问题5 如图，DE是△ABC的中位线，你能猜出DE与BC有怎样的位置关系和数量关系吗？能证明你的猜想吗？ 猜想：DE∥BC，DE＝BC. 问题6 （动手操作，小组讨论）我们如何证明这个猜想的正确性. 【教师活动】引导学生分析问题的条件和结论，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识. 【学生活动】先小组交流，通过做不同的辅助线进行证明，由两名学生在黑板板书，其余学生合作完成过程. 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC ,DE＝BC. 证明：（方法一）如图，过点D作DE′∥BC,交AC于点E′， 则点E′与点E重合. ∴ DE∥BC. 同理，过点D作DF∥AC,交BC于点F,则点F为BC的中点. ∴ 四边形DFCE是平行四边形. ∴ DE=FC＝BC. （方法二）如图,延长DE至F,使EF＝DE,连接CF. ∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE， ∴ △ADE≌△CFE(SAS) . ∴ AD＝CF,∠A＝∠ECF. ∴ CF∥AB. ∵ AD＝BD, ∴ BD＝CF. ∴ 四边形DBCF是平行四边形. ∴ DF∥BC，DF＝BC. ∴ DE∥BC，DE＝BC. 【小组交流总结】 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC ,DE＝BC. 例题讲解 【例1】如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( ) A. B.3 C.6 D.9 【解析】∵ D，E分别为AC，BC的中点，∴ DE∥AB，∴ ∠2＝∠3. 又∵ AF平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3， ∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3， ∴ AC＝2AD＝6.故选C. 【答案】C 跟踪训练(小组交流) 1.如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A.80° B.90° C.100° D.110° 解析：∵ C，D分别为EA，EB的中点， ∴ CD是三角形EAB的中位线， ∴ CD∥AB，∴ ∠2＝∠ECD. ∵ ∠1＝110，∠E＝30，∴ ∠ECD＝80， ∴ ∠2＝80.故选A. 答案：A 【例2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长. 【教师活动】(引发学生思考)要证MN为△BCD的中位线，应根据等腰三角形的“三线合一”，得到DM＝MC，即可解决问题. 【学生活动】根据老师的分析写出证明过程，总结规律方法. 【解】∵ AM平分∠BAC，CM⊥AM， ∴ AD＝AC＝3，DM＝CM. ∵ BN＝CN， ∴ MN为△BCD的中位线， ∴ MN＝(5-3)＝1. 【方法总结】当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对角的平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上又告诉了我们一个中点. 跟踪训练 (学生独学) 2.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. （教师讲解规范证明过程，学生独立书写证明过程） 证明：如图，连接AC. ∵ E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥AC,EF＝AC； HG∥AC,HG＝AC. ∴ EF∥HG, EF＝HG. ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 课堂练习 1.如图所示，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点.若EF的长为2，则BC的长为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图所示，在△ABC中，已知AB8，∠C90°，∠A30°，DE是△ABC的中位线，则DE的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.2 3.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点.若OE3 cm，则AB的长为( ) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 4.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF1.若∠AFC90°，则BC的长度为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 5.直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是( ) A.3 B.5 C.4或5 D.5或3 6.如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.求证：EF∥BC. 7.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论. 8. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？ 参考答案 1.C 解析：∵ 点E，F分别为AB，AC的中点， ∴ EF是△ABC的中位线，∴ BC2EF224.故选C. 2.D 解析：∵ ∠C90°，∠A30°，AB8，∴ BCAB4. 又∵ DE是△ABC的中位线， ∴ DEBC2.故选D. 3.B 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OAOC. 又∵ 点E是BC的中点，∴ OE是△ABC的中位线. ∵ OE3 cm，∴ AB2OE236(cm).故选B. 4.C 解析：∵ ∠AFC90°，AECE，AC12， ∴ EFAC6，∴ DEDFEF167. ∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴ DE为△ABC的中位线， ∴ BC2DE2714.故选C. 5.C 解析：分两种情况： ①当8是直角边长时，如图所示. 在Rt△ABC中，∠C90°，AC6，BC8， 根据勾股定理知， AB10. ∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点， ∴ EF是Rt△ABC的中位线， ∴ EFAB105. ②当8是斜边长时，如图所示. 在Rt△ABC中，∠C90°，AB8. 又∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点， ∴ EF是Rt△ABC的中位线， ∴ EF4. 综上可知，连接两条直角边中点的线段长是5或4.故选C. 6.证明：∵ CF平分∠ACB，DC＝AC， ∴ CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点，∴ EF∥BD，即EF∥BC. 7.解：AB∥OF，AB＝2OF. 证明如下：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC. ∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF. ∵ CE＝DC,CD＝AB，∴ AB＝CE. 在△ABF和△ECF中， ∴ △ABF≌△ECF(ASA)，∴ BF＝CF. ∵ OA＝OC，∴ OF是△ABC的中位线， ∴ AB∥OF，AB＝2OF. 8.解:分别找出AC、BC的中点M、N，量出M、N两点间的距离，则AB=2MN. 根据是三角形中位线定理． 课堂小结 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 布置作业 教材第85页习题19.2第14,15题. 板书设计 第6课时 三角形的中位线 探究一 一条直线截一组平行线的性质 探究二 三角形中位线定理 1.三角形的中位线的定义. 2.三角形中位线定理. 3.三角形中位线定理的证明.
19.2 平行四边形
第6课时 三角形的中位线
教学目标 1.理解三角形的中位线的定义. 2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题. 3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力. 教学重难点 重点：掌握中位线的定义以及中位线定理. 难点：三角形中位线的性质定理的证明. 教学过程 复习旧知 三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中点的连线叫做三角形的中线. 导入新课 动手操作（探究发现，教师点评） 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形 【结论】四个全等的三角形. 探究新知 探究一 一条直线截一组平行线的性质 【例】已知,直线互相平行，直线AC与直线分别交直线于点A，B，C和点且AB=BC. 求证：. 【教师活动】要证线段A1B1＝B1C1，可考虑把线段转化在两个全等的三角形中，故过点作EF∥AC，利用平行四边形的判定和性质证明即可. 【学生活动】根据老师的分析，现在合作完成证明过程，并总结存在的结论. 【证明】过点作EF∥AC，分别交直线，于点E，F. ∴ 四边形ABE,BCF都是平行四边形. ∴ E=AB, F= BC. ∵ AB= BC， ∴ E=F. 又∵ ∠=∠,∠E=∠F, ∴ △E≌△F. ∴= . 【小组交流合作结论】 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么其他直线上截得的线段也相等. 【教师提问】若直线向左平移，使点和点A重合，你会得到什么结论？ 【学生活动】动手操作，测量，证明，得出结论. 结论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 探究二 三角形中位线定理 问题1 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ①如果D，E分别为AB，AC的中点,连接DE, 那么DE为△ABC的中位线. ②如果DE为△ABC的中位线，那么 D，E分别为AB，AC的中点. 问题2 除此之外，△ABC还有其他中位线吗 你会画吗 （展示图形） 【注意】任意一个三角形都有三条中位线. 【说明】若连接AF，则AF是△ABC的中线. 问题3 （师生互动，教师点评） 请你说出三角形的中线和中位线的区别. 学生：中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线. 问题4 你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 【学生活动】将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. 问题5 如图，DE是△ABC的中位线，你能猜出DE与BC有怎样的位置关系和数量关系吗？能证明你的猜想吗？ 猜想：DE∥BC，DE＝BC. 问题6 （动手操作，小组讨论）我们如何证明这个猜想的正确性. 【教师活动】引导学生分析问题的条件和结论，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识. 【学生活动】先小组交流，通过做不同的辅助线进行证明，由两名学生在黑板板书，其余学生合作完成过程. 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC ,DE＝BC. 证明：（方法一）如图，过点D作DE′∥BC,交AC于点E′， 则点E′与点E重合. ∴ DE∥BC. 同理，过点D作DF∥AC,交BC于点F,则点F为BC的中点. ∴ 四边形DFCE是平行四边形. ∴ DE=FC＝BC. （方法二）如图,延长DE至F,使EF＝DE,连接CF. ∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE， ∴ △ADE≌△CFE(SAS) . ∴ AD＝CF,∠A＝∠ECF. ∴ CF∥AB. ∵ AD＝BD, ∴ BD＝CF. ∴ 四边形DBCF是平行四边形. ∴ DF∥BC，DF＝BC. ∴ DE∥BC，DE＝BC. 【小组交流总结】 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC ,DE＝BC. 例题讲解 【例1】如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( ) A. B.3 C.6 D.9 【解析】∵ D，E分别为AC，BC的中点，∴ DE∥AB，∴ ∠2＝∠3. 又∵ AF平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3， ∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3， ∴ AC＝2AD＝6.故选C. 【答案】C 跟踪训练(小组交流) 1.如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A.80° B.90° C.100° D.110° 解析：∵ C，D分别为EA，EB的中点， ∴ CD是三角形EAB的中位线， ∴ CD∥AB，∴ ∠2＝∠ECD. ∵ ∠1＝110，∠E＝30，∴ ∠ECD＝80， ∴ ∠2＝80.故选A. 答案：A 【例2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长. 【教师活动】(引发学生思考)要证MN为△BCD的中位线，应根据等腰三角形的“三线合一”，得到DM＝MC，即可解决问题. 【学生活动】根据老师的分析写出证明过程，总结规律方法. 【解】∵ AM平分∠BAC，CM⊥AM， ∴ AD＝AC＝3，DM＝CM. ∵ BN＝CN， ∴ MN为△BCD的中位线， ∴ MN＝(5-3)＝1. 【方法总结】当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对角的平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上又告诉了我们一个中点. 跟踪训练 (学生独学) 2.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. （教师讲解规范证明过程，学生独立书写证明过程） 证明：如图，连接AC. ∵ E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥AC,EF＝AC； HG∥AC,HG＝AC. ∴ EF∥HG, EF＝HG. ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 课堂练习 1.如图所示，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点.若EF的长为2，则BC的长为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图所示，在△ABC中，已知AB8，∠C90°，∠A30°，DE是△ABC的中位线，则DE的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.2 3.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点.若OE3 cm，则AB的长为( ) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 4.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF1.若∠AFC90°，则BC的长度为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 5.直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是( ) A.3 B.5 C.4或5 D.5或3 6.如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.求证：EF∥BC. 7.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论. 8. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？ 参考答案 1.C 解析：∵ 点E，F分别为AB，AC的中点， ∴ EF是△ABC的中位线，∴ BC2EF224.故选C. 2.D 解析：∵ ∠C90°，∠A30°，AB8，∴ BCAB4. 又∵ DE是△ABC的中位线， ∴ DEBC2.故选D. 3.B 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OAOC. 又∵ 点E是BC的中点，∴ OE是△ABC的中位线. ∵ OE3 cm，∴ AB2OE236(cm).故选B. 4.C 解析：∵ ∠AFC90°，AECE，AC12， ∴ EFAC6，∴ DEDFEF167. ∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴ DE为△ABC的中位线， ∴ BC2DE2714.故选C. 5.C 解析：分两种情况： ①当8是直角边长时，如图所示. 在Rt△ABC中，∠C90°，AC6，BC8， 根据勾股定理知， AB10. ∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点， ∴ EF是Rt△ABC的中位线， ∴ EFAB105. ②当8是斜边长时，如图所示. 在Rt△ABC中，∠C90°，AB8. 又∵ 点E，F分别是直角边AC，BC的中点， ∴ EF是Rt△ABC的中位线， ∴ EF4. 综上可知，连接两条直角边中点的线段长是5或4.故选C. 6.证明：∵ CF平分∠ACB，DC＝AC， ∴ CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点，∴ EF∥BD，即EF∥BC. 7.解：AB∥OF，AB＝2OF. 证明如下：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC. ∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF. ∵ CE＝DC,CD＝AB，∴ AB＝CE. 在△ABF和△ECF中， ∴ △ABF≌△ECF(ASA)，∴ BF＝CF. ∵ OA＝OC，∴ OF是△ABC的中位线， ∴ AB∥OF，AB＝2OF. 8.解:分别找出AC、BC的中点M、N，量出M、N两点间的距离，则AB=2MN. 根据是三角形中位线定理． 课堂小结 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 布置作业 教材第85页习题19.2第14,15题. 板书设计 第6课时 三角形的中位线 探究一 一条直线截一组平行线的性质 探究二 三角形中位线定理 1.三角形的中位线的定义. 2.三角形中位线定理. 3.三角形中位线定理的证明.