沪科版八年级数学下册17.1一元二次方程教案

第17章 一元二次方程
17.1　一元二次方程
教学目标 1.理解一元二次方程、一元二次方程根的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，会将一元二次方程化为一般形式. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题，培养学生用数学的意识. 教学重难点 重点：理解一元二次方程的概念. 难点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 教学过程 导入新课 问题情境1 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面正中间铺设一块面积为18的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答. 设所求的宽度为,则中间地毯的宽表示为，长表示为,则方程列为，整理得. 【变式】桌上有一张矩形纸片，长25，宽15，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？ 【师生活动】根据情境1，教师接着提出变式问题，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答. 【解】设剪去的正方形边长为. 则无盖方盒的底面的长为，宽为. 根据题意，可列方程为， 整理得. 问题情境2 如图，一个长为10的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8.如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 问题情境3 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 【师生活动】教师同时出示情境2，3问题，引导学生思考、交流后,学生代表回答，教师出示答案， 探究新知 观察四个方程有什么共同特点？类比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？ 【师生活动】学生先独立思考，然后小组内讨论、交流，汇报.引导学生得出方程的共同特点，并进行板书. 【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）； （2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2. 【教师追问1】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？ 【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项. 【归纳总结】一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 【教师追问2】为什么要求二次项系数？和能不能是0？ 【师生活动】学生独立思考并回答，教师进行强调. 新知应用 【例1】 判断下列方程，哪些是一元二次方程？ 【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答. 【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程. 【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？ 【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准. 【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是. 【例2】 为何值时，下列方程为一元二次方程？ ； 【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法. 【解】(1)将方程转化为一般形式，得,所以当，即时，原方程是一元二次方程. (2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程. 【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值. 【例3】 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答. 【解】去括号，得 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 其中二次项是,系数是3；一次项是-8,系数是-8；常数项是-10. 【教师追问】解决此类问题需要注意什么？ 【师生活动】学生独立思考总结，并回答. 【归纳总结】1.一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；2.系数和项均包含前面的符号. 【例4】 已知是方程的一个实数根,求+2019的值. 【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考. 【教师追问1】什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？ 【教师追问2】下面哪些数是方程的解 -2,0,1,2,3,4. 【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 【解】由题意得 【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值. 课堂练习 1.判断下列是否为一元二次方程？ 2.方程, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少： 4.已知关于的一元二次方程的一个根是3，求的值. 5.若关于的一元二次方程有一个根为0，求的值. 6.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？ 参考答案 1.解：（1）（5）是一元二次方程；（2）（3）（4）不是一元二次方程. 2.解： 若是一元二次方程，则二次项系数不为零， ∴，解得， 即当时，是一元二次方程； 若是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零， ∴且，解得, 即当时， 是一元一次方程. 3.解：（1） 化为一般形式为， ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1. (2)化为一般形式为, ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4. 4.解：把代入方程，得, 即，∴. 5.解：将代入方程，解得. ∵ ∴ . 综上所述，. 6.解：设第一个数为，则另两个数分别为, ，依题意得方程， 整理得. 课堂小结 先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括. 布置作业 教材第21页练习 板书设计 17.1　一元二次方程 一、一元二次方程 1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）； 2.只含一个未知数; 3.未知数的最高次数是2. 二、一般形式 ，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.