【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题01 集合与常用逻辑用语
一．基础题
2.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（　　）
　
A．
M∪N
B．
M∩N
C．
CU（M∪N）
D．
CU（M∩N）
【答案】C
【解析】CUM={1，4，6}，CUN={1，2，3，6}
选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；
选项B，M∩N={5}，不满足题意．
选项C，CU（M∪N）={1，6}，满足题意；
选项D，CU（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；
故选：C．
4.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
设全集，集合，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知集合，，则（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 3或4
【答案】D
【解析】3或4
7.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】是的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则成立，但是若，则不一定成立，例如也满足，故答案为B.
9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知集合，集合，则
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】，，
10.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】已知集合，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为
A. B. C. D.
12.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）
　
A.A?B
B.B?A C. A=B
D. A∩B=?
【答案】B
【解析】由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}
∵B={x|﹣1＜x＜1}
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=,B?A，故选B
14.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】
已知集合A= {x|| x| >1}，B = {x|xA. -1 B.O C 1 D. 2
【答案】D.
【解析】或，由，得．
15.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】 “”是“直线和直线互相垂直”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.【安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考】已知定义域为R的函数不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】奇函数定义是一个全称命题, 当该命题为假时,其否命题必为真.
17.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知全集U=R，集合，集合,则等于
A. B. c. D.
18.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知集合，，则集合B中的元素 个数为（ ）
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】∵当x=1时，y=2或3或4;当x=2时，y=3；∴集合B中的元素个数为4
19.【惠州市2013届高三第三次调研考试】．已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】或．故选D．
20.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】集合，则是的（ ）
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
22.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数都是偶数 D.存在一个能被2整除的整数都不是偶数【答案】D
【解析】全称命题或特称命题的否定既要否定结论，还要将全称量词和特称量词互换
23.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】设集合，则满足的集合B的个数是
（A） (B) (C) (D)
25.【2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考】已知集合A={x||x|≤2}，x∈R，Z}，则A∩B=（　　）
　
A．
（0，2）
B．
[0，2]
C．
{0，2}
D．
{0，1，2}
【答案】D
【解析】由集合A中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，所以集合A=[﹣2，2]，
由集合B中的不等式≤2，解得：0≤x≤4，又x∈Z，所以集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B={0，1，2}．故选D
26.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】已知命题，使，则 （ ）
A．，使 B．，使
C．，使 D．，使
【答案】D
【解析】全称命题的否定式特称命题，所以选D.
27.【2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试】设集合，则A∪B=（　　）
　
A．
{x|﹣1≤x＜2}
B．
C．
{x|x＜2}
D．
{x|1≤x＜2}
【答案】A
【解析】∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，
∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，
故选A．
28.【安徽省2013届高三开年第一考】命题P：，则
【答案】
【解析】
二．能力题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设集合，则等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】,所以，选C.
2.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】“”是“直线垂直”的
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线垂直，则有，即，所以。所以“”是“直线垂直”的充分不必要条件，选A.
3.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】有四个关于三角函数的命题：
P1：?x∈R，sin2+cos2=；P2：?x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
P3：?x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy?x+y=．其中假命题的是（　　）
　
A．
P1，P4
B．
P2，P4
C．
P1，P3
D．
P2，P4
4.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】设集合，则满足的集合B的个数是
（A） (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】因为，所以,所以共有4个，选C.
6.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设集合，,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以,所以，选B.
8.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知集合，，则（ ）
（A）（B）（C）（D）

9.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，所以。即，选B.
10.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则为奇函数。若为奇函数，则有，即，所以是为奇函数的充分必要条件，选C.
11.【安徽省2013届高三开年第一考】设全集为R，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
12.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知集合A={}，B={},且A∩B=A,则的所有值组成的集合是（ ）
A. B. C.{,} D.{, ,0}
【解析】显然=0时，A=，满足A∩B=A，故选D.
【惠州市2013届高三第三次调研考试】“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（　　）
　
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
　
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若ab＞0，说明a与b全大于0或者全部小于0，
∴可得“|a+b|=|a|+|b|”，
若“|a+b|=|a|+|b|”，可以取a=b=0，此时也满足“|a+b|=|a|+|b|”，
∴“ab＞0”?“|a+b|=|a|+|b|”；
∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”必要不充分条件，
故选B；
　
15.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】给出如下四个结论：
① 若“且”为假命题，则、均为假命题；
② 命题“若，则”的否命题为“若，则”；
③ 若随机变量，且，则；
④ 过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有3条．
其中正确结论的序号是______________________________．
【答案】②④
16.【2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试】下列命题中的假命题是（　　）
　
A．
?x0∈R，sinx0+cosx0=
B．
?x0∈R，tanx0=2013
　
C．
?x＞0，x＞lnx
D．
?x∈R，2x＞0
【答案】A
【解析】对于A，sinx0+cosx0∈[]，所以A不正确；
因为y=tanx∈R，所以B正确；
因为x=lnex＞lnx，当x＞0恒成立，所以C正确；
由指数函数的性质可知D正确．
故选A．
17.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知命题p:“存在，使” ，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】“非p”是假命题，则P为真命题，原题转化为等式有解问题，分离参数，的取值范围为函数的值域，利用换元法可求得其值域为.
三．拔高题
1.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；
②设，均为单位向量，若；
③数列；
④设函数，则关于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4个解．
其中的真命题有　　．（写出所有真命题的编号）．
【答案】①②③
【解析】①若a2﹣b2=1，则a2﹣1=b2，
即（a+1）（a﹣1）=b2，
∵a+1＞a﹣1，
∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1，①正确；
②若，则，
即2+2cosθ＞1，cosθ＞﹣，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，），②正确；
③由an=n（n+4）（）n，
令==≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），
即n2≤10，所以n＜4，
即n＜4时，an+1＞an，
当n≥4时，an+1＜an，
所以a4最大，故③正确；
令f2（x）+2f（x）=0，
则f（x）=0，或f（x）=﹣2，
∵，
∴当f（x）=0时，
x=1，或x=0，或x=2，
当f（x）=﹣2时，x=10.1或x=0.99，
故方程有5个解，故④错误
故答案为：①②③
2.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】给出下列四个命题：
①函数的图像沿轴向右平移个单位长度所得图像的函数表达式是.
②函数的定义域是R，则实数的取值范围为（0,1）.
③单位向量、的夹角为，则向量的模为.
④用数学归纳法证明=（）时，从到的证明，左边需增添的因式是.
其中正确的命题序号是 （写出所有正确命题的序号）.
3.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
4.【2012年南昌一中、南昌十中第四次联考】
（本小题满分12分）已知 且；
：集合，且．
若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题02 函数
一．基础题
1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】已知函数，，则是
A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递减
C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递减
【答案】C
【解析】，在上单调递增
3.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】下列函数中，满足“对任意的时，都有”的是
A. B.
C. D.
4.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数，则 是
A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】的定义域为记，则
，故是奇函数.
6.【安徽省2013届高三开年第一考文】已知函数，且的解集为，则函数的图像是（ ）
【答案】D
【解析】由已知：，且，
得：，选D
7.【安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考】设a是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B． C． D．的符号不确定
【答案】B
【解析】画出与的图像可知当时，，故
9.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． － C．2 D．－2
10.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】定义运算，，则为
A.奇函数 B.偶函数 C.常函数 　 D.非奇非偶函数
【答案】A
【解析】由题意知，则，其函数f(x)的定义域为，
， 所以{x|－2≤x≤2且x≠0}，即定义域关于原点成中心对称.
而，
所以，所以f(x)为奇函数，故选择A.
11.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设，函数的图象可能是
【答案】B
【解析】由图象可知。，则，排除A,C.，当时，，排除D,选B.
13.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知奇函数在为单调递减函数，又为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是（ ）

C. D.
【答案】D
【解析】奇函数在为单调递减函数，则在为单调递减函数。又为锐角三角形两内角，所以有，即，从而
14.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】若a>3,则函数在区间上恰好有___个零点
【答案】1
【解析】考查二次方程根（二次函数零点）的分布。注意，对称轴>0,<0,则函数图像必为右图所示，在上恰好有1个零点.
16.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】函数的定义域为　 　．
【答案】
【解析】要使式子有意义，则，
即，解得且x≠，
故函数的定义域为：，
故答案为：
二．能力题
2.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题是奇函数； 命题在上是增函数；
命题； 命题的图像关于直线对称
A．命题 B．命题 C．命题 D．命题
3.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】设函数则
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】，所以，选D.
4.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】若定义在R上的偶函数满足
，且当时，则方程的解个数是 （ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
5.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
已知函数中，常数那么的解集为
A． B． C． D．
6.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知函数，若f（a﹣2）+f（a）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
　
A．
或
B．
a＞1
C．
或
D．
a＜1
【答案】D
【解析】∵x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x）；x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x2+4x=﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数
∵f（a﹣2）+f（a）＞0，∴f（a﹣2）＞f（﹣a），
∵函数，
∴h（x）=﹣x2﹣4x在[0，+∞）单调递减，h（x）max=h（0）=0
g（x）=x2﹣4x在（﹣∞，0）上单调递减，g（x）min=g（0）=0
由分段函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递减
∵f（a﹣2）＞f（﹣a），∴a﹣2＜﹣a，∴a＜1
故选D．
7.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知，函数是它的反函数，则函数的大致图像是
【答案】D
【解析】，故选D。
8.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】如图所示的四个容器的高度都相同。将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止。用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
【答案】A
【解析】水不停地注入，所以随着时间的增加，水面的高度h是增大的。分析第二个容器，发现其底面由小变大，故在相同的时间内，由于增加的水的体积是不变的，则水面的高度h增加的幅度越来越小，图像就越来越平缓，所以第二个图像是正确的，同理可得第3、4个图像也正确；而第一个图像应为一条直线，错误。故只有1个图像错误，选A
10.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]函数的图像大致是（ ）
【答案】A
【解析】∵,∴,结合选项可知选A.
11.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知函数是上的奇函数且满足，则 的值为
A.0 B 1 C. 2 D.4
12.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④当时，，由，可知此时有一个实根。当时，由，得，即，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
13.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则
(A) 都有 (B) 都有
(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)<0
14.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
【答案】①③
【解析】①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③
15.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是　　．
16.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】对任意两个实数，定义若，，则的最小值为　　．
【答案】
【解析】因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。
17.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是______．
18.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】若函数对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2,使: 成立,则称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是 ____ (把你认为正确的序号都填上）
①y=x是“滨湖函数、
②是“滨湖函数”；
③是“滨湖函数”；
④是“滨湖函数”；
⑤都是“滨湖函数”,且定义域相等,则是“滨湖函数”.
三．拔高题
1.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知方程x2﹣9x+2a=0和x2﹣6x+2b=0分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，则a+b=（　　）
　
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
【答案】D
【解析】设方程x2﹣9x+2a=0的两根为x1，x4，方程x2﹣6x+2b=0的两根为x2，x3，则x1x4=2a，x1+x4=9，x2x3=2b，x2+x3=6
∵四个根组成一个公比为2的等比数列，∴x1=1，x2=2，x3=4，x4=8，
∴2a=8，2b=8，∴a=b=3
∴a+b=6
故选D．
2.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为　　．
【答案】
【解析】由题意知AB的方程为：x+y=8，
设M（x，y），则M′（x2，y2），从而有x2+y2=8，
易知 A（2，6）→A′（），B（6，2）→B′（），
不难得出∠A′OX=，∠B′OX=，则∠A′OB′=，点M的对应点M′所经过的路线长度为；
3.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 已知函数，，给出下列结论：
①函数f(x)的值域为；②函数g(x)在[0，1]上是增函数；
③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在[0，1]内恒有解；④若存在，使得成立，则实数a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.
4.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】定义映射，
其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①；②若，；③，
则 ， ．
【答案】
【解析】根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。
5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）若关于x的方程有三个不等实数根，则实数k的取值范围是　　．
6．[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为，那么就称函数y=f（x）为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则t的取值范围为（　　）
　
A．
（0，+∞）
B．
（﹣∞，0）
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数f（x）=，（c＞0，c≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“成功函数”，
且 f（x）在[a，b]上的值域为 ，
∴，即 ，
故 方程必有两个不同实数根，
∵等价于 ，等价于 ，
∴方程 m2﹣m+t=0 有两个不同的正数根，∴，∴，
故选D．
7.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】偶函数，则关于x的方程上解的个数是（　　）
　
A．
l
B．
2
C．
3
D．
4
8.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知点为曲线上任一点，点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f1（x）=f（x），fn+1 （x）=f[fn（x）]，n∈N*，则函数y=f4（x）的图象为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f1（x）=f（x），fn+1 （x）=f[fn（x）]，
由图象可知f（x）为偶函数，关于y轴对称，所以只需考虑x≥0的情况即可：
由图f1（x）是分段函数，
f1（x）=f（x）=，是分段函数，
∵f2（x）=f（f（x）），
当0≤x≤，f1（x）=4x﹣1，可得﹣1≤f（x）≤1，仍然需要进行分类讨论：
①0≤f（x）≤，可得0＜x≤，此时f2（x）=f（f1（x））=4（4x﹣1）=16x﹣4，
②≤f（x）≤1，可得＜x≤，此时f2（x）=f（f1（x））=﹣4（4x﹣1）=﹣16x+4，
可得与x轴有2个交点；
当≤x≤1，时，也分两种情况，此时也与x轴有两个交点；
∴f2（x）在[0，1]上与x轴有4个交点；
那么f3（x）在[0，1]上与x轴有6个交点；
∴f4（x）在[0，1]上与x轴有8个交点，同理在[﹣1.0]上也有8个交点；
故选D；
10.【安徽省2013届高三开年第一考文】若函数满足，且时，有，则函数零点的个数为
11.【惠州市2013届高三第三次调研考试】．已知函数．若在
上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】，是增函数，所以
．
12.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 若函数对定义域的每一个值，都存在唯一的，使成立,则 称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是 ______.(把你认为正确的序号都填上）
①是“滨湖函数”；
②，是“滨湖函数”；
③是“滨湖函数”；
④是“滨湖函数”；
⑤都是“滨湖函数”，且定义域相同，则是“滨湖函数”
【答案】②③
13.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】设函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，，又函数g（x）=|xsinπx|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上的零点个数为（　　）
　
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
【答案】C
【解析】∵f（﹣x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；
又g（x）=|xsinπx|，
同理可得g（x）为偶函数．
令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，x∈[﹣，2]，
则h（x）=f（x）﹣g（x）在[﹣，2]上的零点个数就是函数f（x）与g（x）在[﹣，2]上的交点个数．
当x=0时，f（0）==1，g（0）=|0×sin0|=0，f（0）＞g（0）；
当x=时，f（）==，g（）=|×sin|=，f（）=g（），
∴f（x）与g（x）在[0，]上有一个交点；
同理可得，f（x）与g（x）在[，1]，[1，]，[，2]上各有一个交点；
又f（x）、g（x）均为偶函数，
∴f（x）与g（x）在[﹣，0]上有一个交点；
综上所述，f（x）与g（x）在[﹣，2]上有五个交点．
故选C．
14.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数.
(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；
(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.
即 对于任意实数，
所以 ……………………7分
解得 …………………8分
15.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
因为所以
而， 所以
所以 ………………8分
(Ⅲ) 因为集合
所以，存在常数，使得 对成立
我们先证明对成立
假设使得，
记
因为是二阶比增函数，即是增函数.
所以当时，，所以
所以一定可以找到一个，使得
16.已知定义域为的函数同时满足：
（1）对于任意，总有；
（2）；
（3）若，，，则有；
（Ⅰ）证明在上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围；
（Ⅲ）比较与1的大小，并给与证明；
（Ⅲ）令----------①，则
--------------②，
由①-②得，
，即，
=
所以.
17.【黄浦区2013届高三一模】
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与+2；②与．
（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即对一切恒成立，
所以…，
故． …………………………………14分
若，则必存在，使得，
由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
18.（金山区2013届高三一模）
已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
19.（浦东新区2013届高三一模 理科）
设函数
（1）求函数和的解析式；
（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
函数 ……4分
（2），……6分
当时，则有恒成立.
当时，当且仅当时有恒成立.
综上可知当或时，恒成立；………………………8分
（3）① 当时，对于任意的正整数，都有
故有…13分
解得, 若将这些根从小到大排列组成数列，
由此可得 .……………………17分
故数列所有项的和为：
.……18分
20（宝山区2013届期末）
已知函数，.
（1）当时，求的定义域；
（2）若恒成立，求的取值范围．
21.（长宁区2013届高三一模）已知函数 。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。
（文）已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。
解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………4分
（2）因为
令，则，
∴()+t= …………6分
由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分
因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
（3）易得， …………14分
由对恒成立，
即要使恒成立，…………15分
，令，对所有的成立，
只需 …………17分
求出m的取值范围是. …………18分
（文）解：（1）当时，，不合题意；……………1分
当时，在上不可能单调递增；……………2分
当时，图像对称轴为，
由条件得，得 ……………4分
（2）设， ……………5分
当时，， ……………7分
因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，
所以， ， ……………9分
解得。 ……………10分
22.（崇明县2013届高三一模）
设函数.
（1）当时，求函数在区间内的零点；
（2）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
解：（1），令，得，
所以。
（2）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。
，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。
23.（奉贤区2013届高三一模）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分

11分
（奉贤区2013届高三一模）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分

11分
25.（虹口区2013届高三一模）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………………4分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
① ………………………………………………………2分
又，
用代替得③ ……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
27.（嘉定区2013届高三一模 理科）
设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．
（1）当，时，…（2分）
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）
②当时，，
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题03 导数与应用 文
一．基础题
1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
函数在区间上最大值为
【答案】
【解析】，
2.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，则实数的值为 .
3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数y=f（x）的导数为f′（x）且，则=　　．
二．能力题
1.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设曲线y=x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3
因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直
所以
2.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（　　）
　
A．
（﹣∞，2]
B．
（﹣∞，2）
C．
[0，+∞）
D．
（2，+∞）
3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数=的导数为，＞0，对任意实数都有≥0，则的最小值为
A.4 B.3 C.8 D.2
【答案】D
【解析】∵=，∴=＞0，
∵对任意实数都有≥0，∴，即，∴＞0，
∴==≥≥=2，当且仅当取等号，故选D.
三．拔高题
4.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（本小题满分13分）
已知函数
（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（II）求函数的单调区间；
5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]已知函数f（x）=ex+（a﹣2）x在定义域内不是单调函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值
（Ⅱ）对于任意的a∈（2﹣e，2）及x≥0，求证ex≥1+（1﹣）x2．
解：（I）∵f′（x）=ex+（a﹣2），且f（x）=ex+（a﹣2）x在定义域内不是单调函数
∴a﹣2＜0
令f′（x）=ex+（a﹣2）=0，则x=ln（2﹣a）
∵当x∈（﹣∞，ln（2﹣a））时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（ln（2﹣a），+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴当x=ln（2﹣a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2﹣a））=（2﹣a）+（a﹣2）ln（2﹣a），函数没有极大值；
证明：（II）设h（x）=ex﹣1+（﹣1）x，则h′（x）=f（x）=ex+（a﹣2）x
由（I）知，f（x）min=（2﹣a）+（a﹣2）ln（2﹣a），
当a∈（2﹣e.2）．f（x）min＞0
故h′（x）=f（x）=ex+（a﹣2）x＞0恒成立
从而有h（x）=ex﹣1+（﹣1）x在R上单调递增
当x≥0时，h（x）=ex﹣1+（﹣1）x≥h（0）=0
故ex≥1+（1﹣）x2．
6.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分13分）
已知函数
讨论的单调性；
设当a=-2时，若对任意，存在，使求实数b的取值范围.
7.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．
【解析】（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则f'（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．
（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1
则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；
∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，2]上单调减，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28
﹣3＜k＜2时，函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]
8.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数，，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x0＞0，使f（x0）≤g（x0）成立？若存在，求出符合条件的一个x0；否则，说明理由．
9.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；
（3）若在上是单调增函数，求的取值范围．
(3)，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求； (10 分)
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调． （12分）
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.
综上可知，的取值范围是． (14分)
8. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
（本小题满分12分）
设函数.
(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；
(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.
(2)因为当时, ；当时, ；当时, ；
即在和单增，在单减.
所以，.………………………………9分
故当或时,方程仅有一个实根.
得或时，方程仅有一个实根.
所以.………………………………………………………………12分
9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）
已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）是否存在N，使得方程在区间内有两个不等的实数
根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
解法2：设，
∵不等式的解集是，
∴方程的两根为.
∴. ① …………… 2分
∵.
又函数在点处的切线与直线平行，
∴.
∴. ② …………… 3分
由①②,解得,. …………… 4分
∴. …………… 5分
10.（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c的值；
(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)求函数的单调递减区间，并证明：
解：（1）由知，的定义域为,, …1分
又在处的切线方程为，所以有
,① …………2分
由是函数的零点，得,② …………3分
由是函数的极值点，得，③ …………4分
由①②③，得，，. …………5分
.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函
数在内有两个不等根，所以
解得. …………9分
综上，实数的取值范围是. …10分
11、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数，．
（1）判断函数在上的单调性；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．
解析：（1）， -----------2分
令，则，
当时，，∴是上的增函数，
∴，
故，即函数是上的增函数． -----------------6分
（2），
12、（广州市2013届高三上学期期末）已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）是否存在N，使得方程在区间内有两个不等的实数
根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（1）解法1：∵是二次函数，不等式的解集是，
∴可设，. …………… 1分
∴. …………… 2分
∵函数在点处的切线与直线平行，
∴. …………… 3分
∴，解得. …………… 4分
∴. …………… 5分
（2）解：由（1）知，方程等价于方程.
…………… 6分
设，
则. …………… 7分
当时，，函数在上单调递减； ……… 8分
当时，，函数在上单调递增. … 9分
∵， …………… 12分
∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间
内没有实数根. …………… 13分
∴存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分
13、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数
（1）当时，求的极小值；
（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；
（3）设，求的最大值的解析式．
法2：，……………4分
要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， ………………6分
（3）因
故只要求在上的最大值. …………7分
①当时，
…………………9分
（ⅰ）当
（ⅱ）当……13分
综上 ………………14分
14、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数，其中．
⑴若是的极值点，求的值；
⑵若，恒成立，求的取值范围．
解：⑴……2分，
因为是的极值点，所以……3分，
解得……4分，
⑵（方法一）依题意，，
……5分。
时，恒成立……6分
且时，由得…8分
设，，……9分，当时，当时……10分，所以，……12分
所以，当且时，，从而……13分，
综上所述，的取值范围为……14分．
（方法二）由⑴……5分，
若，则，由得……7分，且当时，当时……8分，所以，……10分
若，由得或……11分，取为与两数的较大者，则当时……12分，从而在单调减少，无最小值，不恒成立……13分。
（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若，取……11分，，不恒成立……13分。说明二：若只讨论一个特例，例如，给1分）
综上所述，的取值范围为……14分．
15、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数，函数是函数的导函数.
（1）若，求的单调减区间；
（2）当时，若存在一个与有关的负数M，使得对任意时，恒成立，求M的最小值及相应的值。
16、（汕头市2013届高三上学期期末）设函数，．（注：e为自然对数的底数．）
(1)当时，球的单调区间；
(2)(i)设是的导函数，证明：当时，在上恰有—个使得
(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立．
解：(1)当时， …………1分
，令得：；令得：
所以函数的减区间是；增区间是 …………3分
(ii)若，则，对恒成立，
故函数在上是增函数，，因此函数在内单调递增，
而，，不符题意。 ………10分
，由(i)知在递减，递增，
设在[0，2]上最大值为M，则，
故对任意的，恒有成立等价于， ……12分
由得：，，
又，。 ……14分
17、（增城市2013届高三上学期期末）圆内接等腰梯形，其中为圆的直径（如图）．
（1）设，记梯形的周长为
，求的解析式及最大值；
（2）求梯形面积的最大值．

且当时，，当时， 13分
所以当时，有最大值，即 14分
或解：设，过点作于
是直径， 8分
9分
10分
11分

12分
13分
18、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；
（3）若在上是单调增函数，求的取值范围．
解：(1)因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为． (4 分)
(2)当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数， 又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为． （8分）
19、（中山市2013届高三上学期期末）已知函数，其中实数是常数．
（Ⅰ）已知，，求事件：“”发生的概率；
（Ⅱ）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式；
（Ⅲ）记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，等可能发生的基本事件共有9个：

其中事件： “”，包含6个基本事件：

故． 即事件“”发生的概率
（Ⅱ）是上的奇函数，得（5分）
∴ ,
对任意，总存在使得
且，解得
20、（珠海市2013届高三上学期期末）已知函数，其中为常数，且.
（1）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间[1，2]上的最小值为，求的值.
当时，在（1，2）上恒成立，
这时在[1，2]上为减函数，
.…………………………………10分
于是，①当时，
②当时，，令，得…11分
③当时，…12分
综上， ……………………………14分
21.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
【解析】（Ⅰ）f（x）=﹣lnx﹣ax2+x，
f′（x）=﹣﹣2ax+1=﹣．…（2分）
22.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
已知函数
（I）当单调区间；
（Ⅱ）当的取值范围。
解：
23．【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】
已知函数f（x）=（k为常数，e=2．71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（l,f（l））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意0（本小题满分14分）
解：（I），
由已知，，∴.………………………………………………（4分）
（II）由（I）知，.
设，则，即在上是减函数.
由知，当时，从而；
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.………………（8分）
23.【2012年南昌一中、南昌十中第四次联考】已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．
解 ⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．…………………………4分
⑵当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在内是单调增函数，……………………………6分又，， ，
所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，
所以整数的值为 1．……………………………………………9分
⑶，
当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………11分
24.【浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试】
若函数在上有三个零点，且同时满足：
①；②在处取得极大值； ③在区间上是减函数.
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，且关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
解：由得：

因为 所以
因为，所以 ，所以
(Ⅰ) 当时，，所以
因为 ，所以
所以 ，点为，
所以切线方程为： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
(Ⅱ)


【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题03 导数与应用 理
一．基础题
1.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设函数，则满足＝0的实数a的有（　　）
A. 3个 　B.2个　C.1个　 D.0个
2.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】由曲线，直线y=x-2，及y轴所围成的图形的面积为（ ）
B.4 C. D.6
【答案】C
【解析】
4.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知函数=有零点，则的取值范围是 .
【答案】≤.
【解析】=, 当＜时，＜0，在（-∞，）是减函数，
当＞时，＞0，在(,+∞)上是增函数，
∴的最小值为=，∴≤0，∴≤.
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
函数在区间上最大值为
【答案】
【解析】，
6.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，则实数的值为 .
二．能力题
1.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（　　）
　
A．
（﹣∞，2]
B．
（﹣∞，2）
C．
[0，+∞）
D．
（2，+∞）
【答案】B
【解析】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，
而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，
所以a的取值范围是（﹣∞，2）．
故选B．
2.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数=的导数为，＞0，对任意实数都有≥0，则的最小值为
A.4 B.3 C.8 D.2
【答案】D
【解析】∵=，∴=＞0，
∵对任意实数都有≥0，∴，即，∴＞0，
∴==≥≥=2，当且仅当取等号，故选D.
3.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（　　）
　
A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
4.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围是
A. B.
C D.
5.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知函数，设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，当或时，成立，且∴对恒成立，
∴函数在R上单调递增，又∵，
∴函数的唯一零点在[-1,0]内，函数的唯一零点在[-5，-4]内，由题意可知：b-a的最小值为1，
∴圆的面积的最小值为
6.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知函数=，∈R，其中＞0，若函数在区间（-2,0）内恰有两个零点，则的取值范围为
A.（0，） B.（0,1） C.（，1） D.（1，+∞）
7.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】定义域的奇函数，当时恒成立，若
，，，则
A． B． C． D．
8.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示
若函数有4个零点，则的取值范围为__________.
9.【2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考】函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于　 　．
【答案】
【解析】∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，
则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，
∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．
∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：
由得二曲线交点A（2，4），
又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，
∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．
故答案为：
三．拔高题
1.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共13分）
已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
（Ⅱ）因为，所以．
2.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（12分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）ex，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2）
（1）当t＜l时，求函数f（x）的单调区间；
（2）比较f（﹣2）与f （t）的大小，并加以证明；
（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g（x）=f（x）+（x﹣2）ex，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2﹣3x+3）ex，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2），
∴f′（x）=（2x﹣3）ex+ex（x2﹣3x+3）=exx（x﹣1）．
①当﹣2＜t≤0时，x∈（﹣2，t），f′（x）＞0，f（x）单调递增．
②当0＜t＜1时，x∈（﹣2，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增．
x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述，当﹣2＜t≤0时，y=f（x）单调递增区间为（﹣2，t）；
当0＜t＜1时，y=f（x）单调递增区间为（﹣2，0），减区间为（0，t）．
（Ⅱ）f（t）＞f（﹣2）．
证明：令m=f（﹣2），n=f（t），则m=13e﹣2，n=（t2﹣3t+3）et，
设h（t）=n﹣m=（t2﹣3t+3）et﹣13e﹣2，
∴h′（t）=（2t﹣3）et+et（t2﹣3t+3）
=ett（t﹣1），（t＞﹣2）．
h（t），h′（t）随t变化如下表：
由上表知h（t）的极小值为h（1）=e﹣=＞0．
又h（﹣2）=0，
∴当t＞﹣2时，h（t）＞h（﹣2）＞0，即h（t）＞0．
因此，n﹣m＞0，即n＞m，
所以f（t）＞f（﹣2）．
φ（x），φ′（x）随x的变化如下表：
由上表知，φ（x0）＜φ（1）=﹣1＜0，
φ（2）=e2﹣2＞0，
故y=φ（x）的大致图象如图，
因此φ（x）在（1，+∞）只能有一个零点，
这与φ（x）=0有两个大于1的不等根矛盾，
故不存在区间[a，b]满足题意，即函数g（x）不存在保值区间．
3．【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分14分）
已知函数
讨论的单调性；
设若存在使得成立，求a的取值范围.
存在使得成立，只须
，又
∴a的取值范围为. ………………………………………………………………14分
4.【惠州市2013届高三第三次调研考试】（本小题满分14分）已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。
（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．………5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．…………………………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以上恒成立． ……………………7分
令，其对称轴为， …………8分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域． ………………………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ， ………………………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数， ………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0． ………………………………………14分
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0． …………………………………………14分
5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】已知函数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间；
(II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合.
（Ⅰ）∵，
∴曲线在点处的切线斜率为，
依题意，故，∴，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数 单调递减；所以函数的单调增区间为，减区间为； …6分

6.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分13分）
已知函数f(x)＝lnx－mx十m,mR.
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)≤0。在x(0，＋00)上恒成立，求实数m的取值范围．
　　（III）在（II）的条件下，任意的0＜a＜b，证明：
当m0时，由（Ⅰ）得，
令，，所以，，， ，，所以m=1.
综上，m的取值范围是m=1. ……………… 8分
（Ⅲ），因为，所以，
由（Ⅱ）得， 时，，令，则，
又，所以，
因为，所以.……………… 13分
7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）
若函数对任意的实数，，均有，则称函数
是区间上的“平缓函数”.
(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设,
求证： .
（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
当时，同理有成立
又当时，不等式，
故对任意的实数，R,均有.
因此 是R上的“平缓函数”. …………… 5分
由于 …………… 6分
取，，则， …………… 7分
因此， 不是区间R的“平缓函数”. …………… 8分
8．【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；
（3）若在上是单调增函数，求的取值范围．
解：(1)因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为． (4 分)
(2)当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数， 又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为． （8分）
9.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】 (本小题满分12分)已知函数，=。
(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明:对一切，都有成立.
10.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）
已知函数（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，．
由，解得；，解得．
∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是． ……………… 5分
（Ⅱ）依题意：对于任意，不等式恒成立，
即即在上恒成立．
令，∴．
当时，；当时，．
∴函数在上单调递增；在上单调递减．
所以函数在处取得极大值，即为在上的最大值．
∴实数t的取值范围是． …………………… 12
11.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数（）.
（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；
（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范围．
【答案】解：（I） ……………… ………1分
根据题意， …………………3分
此时，,则.
令
-
+
↘
↗
…………………………………………………………………………………………. 6分
∴当时，最小值为. ………………………7分
12.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； ………………5分
由，即，得．………………………6分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分
设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，. ………………………………………9分
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，只要，
则不满足题意. ……………………………………………………………………10分
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在上，所以在上单调递增，
所以，
由得，，
所以. ……………………………………………………………………11分
（ⅱ）当，即时，
在上，所以在单调递减，
所以，
13.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
解：（Ⅰ）当时，，，
所以，.………………………………2分
因此．
即曲线在点处的切线斜率为. …………………………4分
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．……………………………………………6分
（Ⅱ）因为，所以．
令，得． ……………………………………………8分
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
14.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】知函数 .
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
解：（Ⅰ） ……………1分

依题意有， ………………3分
解得， ………………5分
经检验， 符合题意， 所以，
(Ⅱ) 当时，
当时， 解， 得
当时，；当时，
所以减区间为，增区间为. ………………7分
当时，解， 得， ………………9分
当时，
15.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.
解：（Ⅰ）
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.
又因为，所以时，g(x)>0,即， ………………………4分
当时,g(x)<0 ,即， …………………………………………6分
所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分
16.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知函数
（I） 当时,求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
【答案】解：当时，， ………2分
又，，
所以在处的切线方程为 ………4分
（II）
当时，
又函数的定义域为
所以 的单调递减区间为 ………6分
当 时，令，即，解得………7分
当时，，
所以，随的变化情况如下表
无定义
0
极小值
所以的单调递减区间为，，
　　　　　单调递增区间为 …………10分
当时，
所以，随的变化情况如下表：
0
无定义
极大值
所以的单调递增区间为，
　　　　　单调递减区间为， ……………13分
17.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】已知函数是常数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）讨论函数零点的个数．
（Ⅲ）令， . 令 ，， 则在上单调递增，在上单调递减，
当时，的最大值为.
所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分
若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.
18.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】设函数.
(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;
(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(III)当时,求函数在区间上的最大值
解:(I).
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,
即,且,
解得.…………………………………………………………3分
(II)记,当时,
,
,
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:
0
—
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,……………………………………………………………………………6分
①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;
②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为；
当且,即时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；
19.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数
（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．
【答案】（Ⅰ），　　 ………………… 1分
于是，根据题设有

解得 或 ……………………3分
当时，，，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分
当时，，所以函数无极值点．……………5分
所以　．………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分
所以 对任意，都成立…8分
因为 ,
所以 在上为单调递增函数或为常数函数， ………9分
所以 对任意都成立 …10分
即 . …………………………………………11分
又，
所以　当时，，………………………………12分
所以　，
所以　的最小值为． ………………………………13分
20.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】 已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：① 当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间． …………1分
② 当时，． …………3分
令，得，．
和的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
………5分
③ 当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
21.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）
已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
三式相加得
所以 …………6分
因为所以
而， 所以
所以 ………8分
(Ⅲ) 因为集合
下面我们证明在上无解
假设存在，使得，
则因为是二阶增函数，即是增函数
一定存在，，这与上面证明的结果矛盾
所以在上无解
综上，我们得到，对成立
所以存在常数，使得，，有成立
又令，则对成立，
又有在上是增函数 ，所以，
而任取常数，总可以找到一个，使得时，有
所以的最小值 为0 …13分
22. 【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
已知函数
（I）讨论函数f（x）单调性；
（Ⅱ）当时，证明：曲线与其在点处的切线至少有两个不同的公共点．
解：
（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f((x)＝2ax－．
（1）若a≤0，则f((x)＜0，f(x)在(0，＋∞)是减函数； …2分
（2）若a＞0，则当x∈(0，)时，f((x)＜0，f(x)在(0，)是减函数；
当x∈(，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)在(，＋∞)是增函数． …4分
23．【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】
已知函数f（x）=lnx+
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设mR，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma － (xo)<0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln2 l+ 1n22,+…+ln2 n>∈N*）．
（本题满分14分）
解: （Ⅰ）.
令，得，因此函数的单调递增区间是.
令，得，因此函数的单调递减区间是.…………（4分）
（Ⅱ）依题意，.
由（Ⅰ）知，在上是增函数，
.
，即对于任意的恒成立.
解得.
所以，的取值范围是. …………………………………………（8分）
.
由柯西不等式，.
.. ……………………………………（14分）
24. 【2013年南昌一中、南昌十中第四次联考】
（本小题满分14分） 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
,
所以在区间上单调递增 　　………………………9分
∴时，
①当时，有，
，
得，同理，　　…………………１０分
∴ 由的单调性知 、
从而有，符合题设. ………………11分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符 ……………12分
③当时，同理可得，
得，与题设不符. ……………………13分
∴综合①、②、③得 ……………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题07 不等式
一．基础题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】不等式成立的一个必要不充分条件是
(A) (B) (C) 或 (D)
【答案】D
【解析】 或.选D.
2.【安徽省2013届高三开年第一考文】已知的等比中项是1，且，，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知变量x,y满足条件，则的最小值是
A. 6 B. 4 C. 3 D.2
【答案】C
【解析】数形结合可知，当时，取最小值3
5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知满足约束条件的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6. [2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（　　）
　
A．
7
B．
5
C．
4
D．
3
7.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】若存在实数使成立，则m的取值范围为( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】有解，则
8.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 当x>1时，的最小值为__________.
【答案】
【解析】本题考查均值不等式的运用，原式=，仅时取等号。
9.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
已知，且，则的最小值是 .
10.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】已知实数对满足则的最小值是___ ______．
【答案】3
【解析】做出可行域如图，设，则，做直线，平移直线由图象知当直线经过点C时，直线的截距最小，由，得，即，代入得最小值为。
12.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
不等式的解集是 .
13.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】变量x，y满足条件，则2x﹣y的最大值为　．
【解析】满足条件的可知域如下图所示：
∵目标函数为z=2x﹣y，
且zO=0，zA=，zB=﹣1，
故2x﹣y的最大值为
故答案为：
14.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知z=2x +y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是 ．
15.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】已知正数、满足则的最小值为 ．
【答案】
16.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）对于0≤a＜1的实数a，当x，y满足时，z=x+y（　　）
　
A．
只有最大值，没有最小值
B．
只有最小值，没有最大值
　
C．
既有最小值也有最大值
D．
既没有最小值也没有最大值
【答案】C
【解析】因为x﹣ay=2是恒过（2，0）点的直线系，所以x，y满足，的可行域如图：是三角形ABC的区域，
当目标函数经过可行域的B点时，目标函数确定最小值；
目标函数经过可行域的A点时，目标函数确定最大值．
故选C．
二．能力题
1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
设为坐标原点，，若满足，则的最大值为
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】可行域如图所示，显然过点A时取得最大值，则的最大值为

2.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2，，则的最大值为（　　）
　
A．
3
B．
C．
4
D．
3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】x是实数，则下列不等式恒成立的是（　　）
　
A．
x2+4＞4x
B．
C．
lg（x2+1）＞lg（2x）
D．
x2+1＞x
【答案】D
【解析】由于 x2﹣4x+4=（x﹣2）2≥0，故A不恒成立．
由于 ≤1，故B不恒成立．
由于 x2+1≥2x，故 lg（x2+1）≥lg（2x），故C不恒成立．
由于x2﹣x+1=+＞0，故 x2+1＞x 恒成立，
故选D．
4.【广州市2013届高三年级1月调研测试】在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】由题意得，故不等式化为，
化简得，
故原题等价于在上恒成立，
由二次函数图象，其对称轴为，讨论得
或 ，解得 或 ，
综上可得
5.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】设实数，满足约束条件，若目标函数（＞0，＞0）的最大值为8，则的最小值为 .
6.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知﹣1≤x+y≤4且2≤x﹣y≤3，则z=2x2+2y2的最小值（　　）
　
A．
B．
4
C．
D．
2
【答案】B
【解析】满足﹣1≤x+y≤4且2≤x﹣y≤3的可行域如下图所示：
z=2x2+2y2表示可行域内动点P（x，y）到原点O距离平方的2倍
故OP最小时，z取最小值
∵O点到可行域内最近的点的距离即为O点到直线x﹣y﹣2=0的距离d
又∵d==
∴z的最小值为4
故选B
7.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】不等式组所表示的平面区域的面积为
A.1 B. C. D.
8.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】三个实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝3，则b的取值范围是（　　）
　A、　　B、　　C、∪　　 D、∪　　
【答案】D
9.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线＝1距离的最小值是（　　）
　A、　　 B、　　 C、　　 D、
【答案】A
【解析】画图确定可行域，从而确定到直线距离的最小值为
10.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部）.若点（x，y) ∈ D,则x + y的最小值为
A. -1 B.0 C. 1 D.3
11.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]三个正数a,b,c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵,
设,则有,其可行域如图:
其中A(),B()，∴［,］.
12.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】设命题p:
命题q：,若P是q的充分不必要条件,则k的取值范围是（ ）
A（0,3] B. (0,6] C. (0,5] D. [1,6]
13.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）若第一象限内的点A（x，y）落在经过点（6，﹣2）且方向向量为的直线l上，则t=有（　　）
　
A．
最大值1
B．
最大值
C．
最小值
D．
最小值1
【答案】A
【解析】由题意可得直线l的斜率为﹣，故直线l的 方程为 y+2=﹣（x﹣6），即 y=2﹣ x，
即 2x+3y=6．∵点A（x，y）在第一象限内，x，y＞0，∴6=2x+3y≥2，∴xy≤．
∴t====≤1，
故t的最大值等于1，
故选 A．
14.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是
（A） （B） （C） （D）
15.【安徽省2013届高三开年第一考】若实数x,y满足不等式组，则的取值范围是
16.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
【答案】乙
【解析】设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为，因为，所以，即，所以提价多的方案是乙。
三．拔高题
1.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共14分）
已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，
求证：.
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
2.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】列车提速可以提高铁路运输量。列车运行时，前后两车必需保持一个“安全间隔距离d(千米)”， “安全间隔距离d(千米)”与列车的速度v(千米/小时)的平方成正比（比列系数k=）.假设所有的列车长度均为0.4千米，最大速度均为（千米/小时）列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？
3.【湖北省黄冈市2012年秋季2013届高三年级期末考试】（本小题满分14分）已知函数f (x)＝x2－ax，g（x）＝lnx
（I）若f（x）≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设h(x) = f (x) +g(x)有两个极值点x1，x2，且，
求证：h（x1）一h(x2）＞一1n2.
（III)设r(x)=f(x)＋对于任意的，总存在，使不等式
r(x)＞k（1一a2）成立，求实数k的取值范围．
…………4分

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题08 立体几何 文
一．基础题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】若平面，满足，，，，则下列命题中是假命题的为(　　)
(A)过点垂直于平面的直线平行于平面
(B)过点在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面
(C)过点垂直于平面的直线在平面内
(D)过点垂直于直线的直线在平面内
2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的体积是为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从图中可知，三棱锥的底为两直角边分别为和5的直角三角形，高为4
体积为
3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是（　　）
　
A．
若l⊥α，m⊥α，则l∥m
　
B．
若m?β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
　
C．
若m?α，n?α，m∥n，则n∥α
　
D．
若α⊥r，β⊥r，则α∥β
4.　【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为
A. B. C. D.1
5.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，取BC的中点为H，连接HE和HF，则FE∥DC, 则与所成的角为∠EFH,

6.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】如图,三棱锥A—BCD的底面为正三角形，侧面ABC与底面垂直且 AB=AC,已知其正(主)视图的面积为2,则其侧(左)视图的面积为
A. B C. D.
7.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C
【解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错误。B中，若三点共线，则两平面不一定平行，所以错误。C 正确。D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，所以错误。所以命题正确的为C,选C.
8.【安徽省2013届高三开年第一考文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
【答案】3
【解析】由三视图可知，该几何体是底面为梯形的四棱柱，
二．能力题
1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是
2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以，这个几何体的体积
3.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　4.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知四棱锥的三视图如图1所示，
则四棱锥的四个侧面中面积最大的是
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】三棱锥如图所示，， ，
，
5．【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为：m），若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于　　m2（答案用含有π的式子表示）
【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱
底面的半径r满足2r==6
则r=3
棱柱的高为8
则球心到底面的距离d=4
则球的半径R==5
故此球的表面积S=4πR2=100π
故答案为：100π
6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为

A. B． C. D.
7.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
8.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。
9.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
(A) (B) (C) 1 (D) 2
10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.
【答案】
【解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
【答案】C
【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
12.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.
13.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
14.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
15、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
16.【安徽省2013届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可得，多面体如图所示，其面积为，选A
17.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是
A.垂直 　B.相交不垂直　　C. 平行　D.重合
19.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：
①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．
其中正确命题个数为（　　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
【答案】D
【解析】三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，
当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c，故①正确，
若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a?α，得到α⊥γ，故③正确，
综上可知四个命题都正确，
故选D．
20.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】三棱椎A﹣BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A﹣BCD的表面积为（　　）
　
A．
2+2
B．
4+4
C．
D．
2+2
21.【安徽省2013届高三开年第一考文】.已知直线m,n，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则
②若，则；③若，则 ④若，则，其中正确命题的序号为
三．拔高题
1.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（满分13分）
（1）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，求三棱锥的体积.
（2）过直角坐标平面中的抛物线
的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B
两点. 用表示A，B之间的距离；

解：（1）该几何体的高h＝＝＝2，
∴V＝××6×2×2＝4.
解：（2）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是
由
（ 或 ）
2.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（满分13分）
如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为
AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；
3.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点
（Ⅰ）求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
证明：（I）取PA的中点N，连接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且MN=AD；
又BC∥AD，且BC=AD=1，
所以MN∥BC，MN=BC
即四边形BCMN为平行四边形，
CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，
故CM∥平面PAB．
3.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分12分）
如图1所示，在边长为12的正方形中，点B,C在线段上，且AB=3，BC=4，作，分别交,于点，作，分别,交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱
（１）在三棱柱中，求证：AB垂直平面
（２）求平面APQ将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比。
4.【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测已知梯形中，，
，、分别是、上的点，，．
沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的中点．
（1）当时，求证：⊥ ；
（2）当变化时，求三棱锥的体积的函数式．
（1）证明：作，垂足，连结，，　　　…… ２分
∵平面平面，交线，平面，
∴平面，又平面，故． …… ４分
∵，，．
∴四边形为正方形，故． ………… ６分
又、平面，且，故平面．
又平面，故． ………… ８分
（2）解：∵，平面平面，交线，平面．
∴面．又由（1）平面，故，……１０分
∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三
棱锥的高． …………１１分
又． ………… 1２分
∴三棱锥的体积
………… 1４分
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】（本题满分13分）
如图4，已知三棱锥的则面是等边三角形，是的中点，.(1)证明：平面；（2）求点到平面的距离.

(2) ∵,
∴,故是直角三角形， (8分)
∴ (9分)
由（1）可知，是三棱锥的高
∴ (10分)
又∵是边长为等边三角形，
6.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
（本小题满分13分）
如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.
(1)求证：； (2)求三棱锥的体积；
(3)设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.
证明：（1）∵平面，且
∴平面，则.………………………………………2分
又∵平面，则，且与交于点，
∴平面，又平面 ∴.………………4分
（2）由第（1）问得为等腰直角三角形，易求得边上的高为，
∴.…………………………………………………7分
7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】(本小题满分14分)
已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的侧面的面积.

（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：依题意，可知点在平面上的正射影是线段的中点，连接，
则平面. …………… 2分
∵平面，
∴. …………… 3分
∵，平面，平面，
∴平面. …………… 5分
∵平面，
∴. …………… 6分
（2）解：依题意，在等腰三角形中，，，
在Rt△中，，…………… 7分
过作，垂足为，连接，
∵平面，平面，
∴. …………… 8分
∵平面，平面，，
∴平面. …………… 9分
∵平面，
∴. …………… 10分
依题意得. …………… 11分
在Rt△中， ， …………… 12分
∴△的面积为.
∴四棱锥的侧面的面积为. …………… 14分
8.（东莞市2013届高三上学期期末）在等腰梯形PDCB(见图a）中，DC//PB，PB=3DC=3,PD=，，垂足为A，将沿AD折起，使得，得到四棱锥P-ABCD（见图b）．
在图b中完成下面问题：
(I)证明：平面平面PCD;
(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体(如图b），当这两个几何体的体积之比时，求的值；
(3)在(2)的条件下，证明：PD‖平面AMC.
证明：(1)因为在图a的等腰梯形中，，
所以在四棱锥中,, . …………1分
又，且，所以，， …………2分
而平面，平面，，
所以平面. …………3分
因为平面，
所以平面平面. …………4分
设，则
. …………7分
.
. …………8分
因为，所以，解得.………9分
在中， , 所以,.
所以. …………10分
(3)在梯形中，连结、交于点，连结.
易知∽，所以. …………11分
又, 所以， …………12分
所以在平面中，有. …………13分
又因为平面，平面，
所以平面. …………14分
法2：∵为圆的直径，∴，
∵在中，，
∴由，得，，，，
∴，则，
∴，即．-----------------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面．-----------------6分
法3：∵为圆的直径，∴，
在中由得，，
∵，由得，，，
由余弦定理得，，
∴，即．-----------------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面．-----------------6分
（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知，，--------7分
（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）
∴．--------10分
又，，，
∴为等腰三角形，则．--------12分
设点到平面的距离为，
由得，，解得．--------14分

10、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的侧面的面积.

（1）证明：依题意，可知点在平面上的正射影是线段的中点，连接，
则平面. …………… 2分
∵平面，
∴. …………… 3分
∵，平面，平面，
∴平面. …………… 5分
∵平面，
∴. …………… 6分
11、（惠州市2013届高三上学期期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
（3）由（2）可知
即CF为高 ，…………10分
，
∴ 即
∴…………12分
=…………14分
12、（江门市2013届高三上学期期末）如图6，四棱锥的底面是边长是1的正方形，侧棱⊥平面，、分别是、的中点．
⑴求证：平面；
⑵记，表示四棱锥的体积，
求的表达式（不必讨论的取值范围）．
证明与求解：⑴取的中点，连接、，则，……2分，
因为，所以平面平面……4分，
平面，所以平面……6分．
解：(1)∵平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AC
平面BCEF 平面AEC ………2分
平面AEC ， …………3分
又 …4分
且，平面ECBF． ……6分
13.（肇庆市2013届高三上学期期末）如图4，已知三棱锥的则面是等边三角形，是的中点，.(1)证明：平面；（2）求点到平面的距离.
证明：(1)∵,是等边三角形
∴,故是直角三角形，
∴ (2分)
同理可证 (3分)
∵平面，∴平面 (4分)
又∵平面，∴ (5分)
又∵是的中点，∴ (6分)
∵, ∴平面 (7分)
14、（中山市2013届高三上学期期末）如图，三棱柱中，平面,、分别为、的中点，点在棱上，且.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）在棱上是否存在一个点，使得平面将
三棱柱分割成的两部分体积之比为115，若存在，指出
点的位置；若不存在，说明理由.
15、（珠海市2013届高三上学期期末）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：；（2）求证：；
（3）求此几何体的体积.
解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。
∵，，，
∴…… 4分
（3）连接CN，
… 11分
∴，，，
∴ ，
… 13分
此几何体的体积…14分
16.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（I）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求三棱锥G﹣PEC的体积．
【解析】（I）过点E作EH⊥PC于H，
∵平面PEC⊥平面PDC，平面PEC∩平面PDC=PC．
∴EH⊥平面PDC
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA
∵正方形ABCD中CD⊥AD，PA∩AD=A
　
17.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (本题满分14分) 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，。
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线和所成角的余弦．
【解析】（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．因， ( 平面，∴平面．又平面，平面平面．
18.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC—A1B1C1体积。
（19）解：
（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，
又AB(平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥BB1C1C． …4分

（Ⅱ）由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO＝BC＝AB＝．
连结AB1，则VC-ABB1＝S△ABB1·CO＝AB2·CO＝． …8分
因VB1-ABC＝VC-ABB1＝VABC-A1B1C1＝，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝2． …12分
19.【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】
（本小题满分13分）
如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o．
（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值．
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，，，
所以.
所以，二面角的平面角为，所以.
又，
∴平面.
又平面，
∴平面平面. ………………………………………………（6分）
（Ⅱ）过点作，交AD的延长线于点.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∴为侧棱在底面内的射影.
所以，为侧棱和底面所成的角.………………………（10分）
在中，，
，.
在中，，
，∴.
在中，.
即的正弦值为．……………………………………………………（13分）
20.【浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试】
（本题满分14分）已知直三棱柱，底面是等腰三角形，，, 点分别是
的中点.
所以 ，又 平面，平面
所以 平面 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题08 立体几何 理
一．基础题
1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四命题：
① 若，则; ②若，则;
③ 若，则; ④若，则.
其中真命题的序号是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则　 D．若、与所成的角相等，则
【答案】C
【解析】考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．
3.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥
底面是一个边长为1的正方形，故底面积S底=1
侧面有两个直角边长为1的等腰直角三角形，和两个边长分为1，，的直角三角形组成，故S侧=2××1×1+2××1×=1+
∴该几何体的表面积S=S底+S侧=2+
故选D
4.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（　　）
　
A．
若α⊥β，n⊥β，m∥n，则m∥α
　
B．
若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α或m⊥β
　
C．
若α∩β=n，m∥n，m?α，m?β，则m∥α且m∥β
　
D．
若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线
5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题
中正确的有 ．
①；②；
③；④．
6.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】下列命题中，m,n两条不同的直线，表示三个不同的平面.
①若则；②若则；③若则；
④若则，正确的命题是（ C ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】：②中平面即可平行，也可相交；③中直线平行、相交和异面皆可
7.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】在空间，下列命题正确的是 （ ）
A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行
【答案】B
【解析】A中的射影也有可能是两个点，错误。C中两个平面也可能相交，错误。D中的两个平面也有可能相交，错误。所以只有B正确。
8.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】已知直线l丄平面a，直线平面，则“”是“”的
(A)充要条件 （B)必要条件 (C)充分条件 （D)既不充分又不必要条件
9.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
10.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，几何体为底面为正三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，
V=，
故选B．
11.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是______.
【答案】2
【解析】由三视图可知，这个几何体是个四棱锥，底面是一个长和宽分别为3,2的矩形，四棱锥的高为1，其体积为
12.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．
13.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为的矩形,左视图是一个边长为的等边三角形,则这个几何体的体积为________．
【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体是放到的正三棱柱，
底面是边长为2的正三角形，高为3，故几何体的体积为
二．能力题
1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是
【答案】A
【解析】根据三视图的定义，可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形；侧视图和正视图一样，故答案为A.
2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
3.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
　4.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知四棱锥的三视图如图1所示，
则四棱锥的四个侧面中面积最大的是
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】三棱锥如图所示，， ，
，
5．【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为：m），若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于　　m2（答案用含有π的式子表示）
6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为

A. B． C. D.
【答案】B
7.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
8.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
9.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
(A) (B) (C) 1 (D) 2
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.
10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.
11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
【答案】C
【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
12.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是
（A）（B）（C）（D）
13.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
14.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
15、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
16.【安徽省2013届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可得，多面体如图所示，其面积为，选A
17.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是
A.垂直 　B.相交不垂直　　C. 平行　D.重合
18.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是 CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1 -FMGN的 侧视图为
【答案】C.
【解析】（略）.
19.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知命题:“如果，，则”是假命题，那么字母在空间所表示的几何图形只可能是（ ）
A．全是直线 B.全是平面 C. x,z是直线y是平面 D. x,y是平面，z是直线
【答案】D
【解析】∵当x,y是平面，z是直线时，推不出，∴选D
20.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长度，则该几何体的体积为
(A) 30 (B) 27 (C) 35 (D) 36
【答案】A
【解析】本题考查立体几何的三视图，需要空间想象力。原几何体是：下面棱长为3的正方体，上面是高为2（高线也是一侧棱，且垂足是棱的中点）的三棱锥。
22.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥D﹣ABC的体积是　．
【解析】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D﹣ABC，如图所示
设长方体的长宽高分别为a，b，c，则
∴a=3，b=2，c=4
∴三棱锥D﹣ABC的体积是2×3×4﹣4×××2×3×4=20
故答案为：20．
23.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是___________.
[【解析】：还原该几何体的立体图形如下图，再将其切割为两个相同四棱锥和一个三棱柱，便可求得体积为2
24.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]一几何体的三视图如图所示，则其体积为
【答案】
【解析】该几何体是一个高为6,底面半径为2的圆锥的，故其体积V=
【答案】①
【解析】①经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故正确；
②若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；
③若直线b不在平面β内或两个平面α，β不是垂直的，此时都无法判断b⊥α，故错误；
④平行六面体的四个侧面两两全等，但侧棱与底面不垂直时，棱柱为斜四棱柱，故错误；
⑤当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥，故错误；
故答案为：①
三．拔高题
1.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
2.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共14分）
如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求证： // 平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.……………………2分
又因为平面，
所以.……………………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.
因为是的中点，
所以.…………………………7分
又平面，
平面，
所以平面. ……………………………………………………………9分
又平面的法向量，
所以.
所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分
　
3．[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（12分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACEBD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD（10分）
平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）
∴．（14分）
4.　【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分12分）
如图，边长为a的正方体中，E为的中点。
（１）求直线与平面所成角的正弦值;
（２）求点E到平面的距离。
【解析】：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则D(0,0,0),A(a,0,0).B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,a,),A1(a,0,a). …………3分
(1)设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为.
因为AC平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的法向量为
，又.
所以 .……………………………………………………………………6分
（2）设=为平面A1DB的法向量，
， ………………………………………8分
又 ………………………11分
即点到平面的距离为.…………………………………………………12分
5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为？
【解析】
（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中，，
．……… 4分
（2）解：，，
，
，
．
∴，…………… 6分
．，，
．∴．
设点到平面的距离为，∴．
∴点到平面的距离为． ………………………………………………… 8分
6．【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】. (本小题满分12分）
在正四棱锥V - ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点， 点 M 在边 BC 上，且 BM: BC = 1 ： 3，AB =，VA = 6.
(I )求证CQ丄AP;
(II)求二面角B-AP-M的余弦值.
设正方形的中心为，为的中点，为的中点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
（Ⅱ）设平面的法向量为，由得
故，同理可得平面的法向量为，
设二面角的平面角为，则． …12分
7.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分13分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC, △ABC为正三角形，且侧面AA1C1C
是边长为2的正方形,E是A,B的中点,F在棱CC1上。
（I）当CF时，求多面体ABCFA1的体积；
（II）当点F使得A1F+BF最小时，求二面角A－A1F－B的余弦值。
解析：（Ⅰ）
由已知可得的高为且等于四棱锥的高.
，即多面体的体积为………… 5分
（Ⅱ）将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点. ……7分
以分别为轴，轴，过点A且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则
显然平面的法向量为
设平面的法向量为
∵∴令得
设二面角为则……………… 13分
8.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）
如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，
点是的中点，点是的中点,连接,.
(1) 求证：面；
（2）若,，求二面角的余弦值.
（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
（1）证法1：取的中点，连接，
∵点是的中点,
∴. …………… 1分
∵点是的中点，底面是正方形，
∴. …………… 2分
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴. …………… 3分
∵平面，平面，
∴面. …………… 4分
证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，
∵点是的中点，
∴, …………… 1分
∴点是的中点. …………… 2分
∵点是的中点,
∴. …………… 3分
∵面，平面，
∴面. …………… 4分
证法3： 取的中点，连接，
∵点是的中点，点是的中点,
∴，.
∵面，平面，
∴面. …………… 1分
∵面，平面，
∴面. …………… 2分
∵面，
∴. …………… 8分
∴是二面角的平面角. …………… 9分
在Rt△中，,，得，
…………… 10分
在Rt△中，，得，
. …………… 11分
在Rt△中，， …………… 12分
. …………… 13分
∴二面角的余弦值为. …………… 14分设平面的法向量为，
由，，
得
令，得，.
∴是平面的一个法向量. …………… 11分
又是平面的一个法向量， …………… 12分
. …………… 13分
∴二面角的余弦值为. …………… 14分
9．【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
∵是平面FCB的一个法向量
∴
∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，
当时，cosθ有最大值．
∴．
　10【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
（本题满分14分）
如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1)求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.
（2）方法一：
方法二：如图建立空间直角坐标系，则，
， (6分)
设平面的法向量为，则
即，令，则，
所以平面的一个法向量为
显然是平面的一个法向量 (7分)
设平面与平面所成的二面角的平面角为，则
(9分)
即平面与平面所成的二面角的余弦值为. (10分)
11.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）
如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．
解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分
（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，
则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．
………………6分
设面BCE的法向量，则
即取．
又平面ACD的一个法向量为，
∴ ．
∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．
12.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中，底面是正方形， 为的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
解法二：
由且底面是正方形，如图，
建立空间直角坐标系
由已知设，
则
设为线段上一点，且，则
…………………………..12分
由题意，若线段上存在点，使，则，.
所以，，
故在线段上存在点，使，且…………………… 14分
13.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中，，点在棱上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．
【答案】证明：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ……………………2分
在矩形中，因为，
所以．
所以面． ………………………………………………………………4分
设的长为，则，
．
假设在棱上存在点，使得∥平面．
因为∥平面，等价于且平面．
得，所以．
所以，，所以的长为．………………………………9分
（Ⅲ）因为∥，且点，
所以平面、平面与面是同一个平面．
由（Ⅰ）可知，面，
所以是平面的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的长为． …………………………………………………………14分
14.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求证： // 平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.……………………2分
又因为平面，
所以.……………………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.
因为是的中点，
所以.…………………………7分
又平面，
平面，
所以平面. ……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.
如图建立空间直角坐标系，则，, ，
.
，.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
15.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】
在长方体中，，，为中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.


（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴平面，
又平面
∴ ………………1分
在长方形中，
∴ ………………2分
又
∴平面， ………………3分 而平面
∴ ………………4分
16.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
【答案】解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，
(DE//BC ．
DE(平面PBC，BC(平面PBC，
(DE//平面PBC ．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PD AB． …………………………….5分
，BC AB，
DE AB． .... .............................................................6分
又 ，
AB平面PDE．................................................8分
PE(平面PDE，
ABPE ． ......................................................9分
设二面角的大小为，
由图知，，
所以即二面角的大小为． .................14分
17.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】如图，在直三棱柱中，，
是中点.
（I）求证：平面；
（II）若棱上存在一点，满足，求的长；
（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
　所以
设，所以，
因为，所以 ，解得，所以 ……8分
18.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
（Ⅲ）设,则
…………………12分
当时, 的最小值是．
即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分
19.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：
CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则
NP∥CC1，且∽． ……………5分
于是有．
由已知，有．
因为　BB1=CC1．
所以　NP=CM．
所以　四边形MCNP是平行四边形． ……………6分
所以　CN//MP． ………………7分
因为　CN平面AB1M，MP平面AB1M， ……………8分
所以　CN //平面AB1 M．　　　　 ……………9分
20.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，
为棱的中点．
（Ⅰ）求证：// 平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．
因为四边形为正方形，所以为中点．
因为 为棱中点．
所以 ． ………………3分
因为 平面，平面，
所以直线//平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分
因为四边形为正方形，所以，
所以平面． ………………7分
所以平面平面． ………………8分
（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．
因为平面平面，所以平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．……9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． …………11分
易知平面的法向量为． ……………12分
所以 ． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ……………14分
易知平面的法向量为． …………12分
所以． ……………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． …………14分
21. 【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）求二面角B-AC-A1的余弦值．
解：
（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，
又AB(平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥BB1C1C． …4分

22.【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值，

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，
则，即.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………（8分）
（Ⅲ）设，则.
又，面SAB的法向量为，
所以，.
.
当，即时，.………………………………………………（12分）
23. 【浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试】
已知四边形是矩形，是等腰三角形，平面平面，
，，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，
使得平面平面？若
存在，求出的长；若不存在，
请说明理由.
解：(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系
所以 又 平面
所以平面 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 7分
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题09 解析几何
一．基础题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
2.【安徽省2013届高三开年第一考】已知双曲线上一点M到A（5,0）的距离为3，则M到左焦点的距离等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】的焦点为，，故，选D
3.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
下列双曲线中，渐近线方程是的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者
故选C．
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.【安徽省2013届高三开年第一考文】双曲线的右焦点和抛物线的焦点相同，则p=（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】双曲线中，，选B
7.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
8.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知为圆内异于圆心的一点，则直线与
该圆的位置关系是 （ ）
A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交
【答案】C
【解析】因为圆内异于圆心的一点，故圆心到
直线的距离为，故直线与圆相离.
9.【安徽省2013届高三开年第一考文】直线被圆C：截得的弦长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】双曲线的渐近线与圆相切,则正实数a的值为
A． B. C. D.
11.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】（2010?陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（　　）
　
A．
B．
1
C．
2
D．
4
【答案】C
【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以
故选C
12.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】若直线与圆有公共点，则实数取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
13.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是
A. B.
C. D.
14.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为（　　）
　
A．
x+y+1=0
B．
x+y﹣1=0
C．
x+y﹣2=0
D．
x+y﹣3=0
【答案】A
【解析】设圆心坐标为（a，0），则
由直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为2得+2=（a﹣1）2，解得a=3或﹣1，
又因为圆心在x轴的负半轴上，所以a=﹣1，故圆心坐标为（﹣1，0），
∵直线l的斜率为1
∴过圆心且与直线l垂直的直线的方程为y﹣0=﹣（x+1），即x+y+1=0
故选A．
15.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】已知圆：，则圆心的坐标为 ；
若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．
16．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为　．
17.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点
重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 ．
【答案】
【解析】抛线线的焦点．
．
18.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为__________.
二．能力题
1.【安徽省2013届高三开年第一考】“m>2”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
2,.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（　　）
　
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8
【答案】B
【解析】∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为9π，∴圆的半径为3
∴
∴p=4
故选B．
3.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设O是坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为（　　）
A. B.2　 C. 　　D. 1
4.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]已知双曲线的有焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】 双曲线的右焦点为(3,0),∴抛物线的准线为，代入双曲线方程得,故所截线段长度为5.
5.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选D.
6.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】设，分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在A，使,且=3，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A,B两点，若，,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
8.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|?|PF2|=（　　）
　
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8
【解析】法1．由余弦定理得
cos∠F1PF2=
∴|PF1|?|PF2|=4
法2； 由焦点三角形面积公式得：
∴|PF1|?|PF2|=4；
故选B．
9. [2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意画图如下
可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，
那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，
所以点P的轨迹方程为（x＞1）．
故选B．
10.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）如果双曲线（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
11．【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】在直线l：y=x+1与圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于两点A、B，则|AB|=　　．
【答案】D
【解析】∵圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0
∴（x+1）2+（y﹣2）2=4即圆心C（﹣1，2），半径为2
则圆心C（﹣1，2）到直线l：y=x+1的距离为d==
∴（）2+（）2=22解得|AB|=2
故答案为：2
12.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]已知a＞b＞0，e1，e2分别是圆锥曲线和的离心率，设m=lne1+lne2，则m的取值范围是
　　．
13.【安徽省2013届高三开年第一考】已知，则的最小值为
【答案】4
【解析】
当且仅当，时取等号，所以的最小值为4
14.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0 相切，则实数k的取值范围是　　．
15.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为____ .
16.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于两点A、B，若|AB|=5，则满足条件的l的条数为　　．
【答案】3
【解析】若AB都在右支
若AB垂直x轴，a2=4，b2=5，c2=9，∴F（3，0），∴直线AB方程是x=3
代入，求得y=±，∴|AB|=5，满足题意；
若A、B分别在两支上，∵a=2，∴顶点距离=2+2=4＜5，∴满足|AB|=5的直线有两条，且关于x轴对称
综上，一共有3条
故答案为：3
　
17．【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为　　．
【答案】
【解析】∵椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，，∴PQ平行于x轴，且Q点的横坐标为，
又知Q点在∠PF1O角平分线上，故有∠PF1O=2∠QF1O
令P（，y），Q（，y），故=，
18.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且均为实数，则 .
【答案】3
【解析】根据两圆相交的性质可知，两点和的中点在直线上，并且过两点的直线与垂直，故有
19.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
圆心在直线上的圆C与轴交于两点、，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】直线AB的中垂线方程为，代入，得，故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径，∴ 圆C的方程为
21．【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．则|PA|＋|PF|的最小值是 ，取最小值时P点的坐标 ．
【答案】，
【解析】抛物线的准线为。过P做PM垂直于准线于M过A做AN垂直于准线于N，则根据抛物线的定义知，所以，所以的最小值为，此时三点共线。，此时，代入抛物线得，即取最小值时P点的坐标为。
22.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】若点O和点F（-2,0）分别是双曲线（）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为
A.[，+∞） B.[,+ ∞） C.[-,+∞） D.[,+ ∞）
23.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】过双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线C的离心率是（　　）
　
A．
B．
C．
2
D．
【答案】D
【解析】∵﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，
∵过其焦点F（c，0）的直线l与y=x垂直，
∴l的方程为：y=﹣（x﹣c），
∴由得垂足的横坐标x===，
∵垂足恰好在线段OF的垂直平分线x=上，
∴=，
∴=2，
∴双曲线C的离心率e=．
故选D．
24.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]已知点，圆0: ,直线l：，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】已知圆C的方程x2+y2+mx﹣2y+=0，如果经过点A（﹣1，2）可作出圆C的两条切线，那么实数m的范围是　 　．
【答案】（﹣4，1）∪（4，+∞）
【解析】当A点在圆外，则过A点的直线与圆x2+y2+mx﹣2y+=0有两条切线，
所以（﹣1）2+22﹣m﹣4+＞0，并且m2+4﹣5m＞0，
解答m∈（﹣4，1）∪（4，+∞）．
26.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知F（c，0）是双曲线的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为　 ．
【答案】
三．拔高题
1.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图，椭圆的中心在坐标原点
0，顶点分别是A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长B1F2 与A2B2交于
P点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为
A. B.
C D.
【答案】D.
【解析】易知直线的方程为，直线的方程为
，联立可得，又，
∴，，
∵为钝角∴，即，
化简得，，故，即，或，而，所以.
2.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
3.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面 积的最小值为______
【答案】
【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，
则点满足故，
∴，同理，
故
∵（当且仅当时，取等号）
∴，又，故的最小值为.
4.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于 ．
5.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.
解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3分
故曲线的方程为． …………………………………………………5分
（Ⅱ）存在△面积的最大值. …………………………………………………6分
因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．
则
6.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（本小题14分）
已知椭圆（）过点（0，2），离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意得
结合，解得
所以，椭圆的方程为.
7．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）
∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b
∵=0，∴有a（x﹣a）+y=0
∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0
即C的方程是y=2x2；
8.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（12分）一直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解：设，
直线AB方程为
由，得：y2﹣2pty﹣p2=0，
则
∴．
，
∴
∴不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
9.【惠州市2013届高三第三次调研考试】（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
解：（1）由题设知，，，………………………………1分
由，得，…………………………3分
解得．
所以椭圆的方程为．……………………………4分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 ………………………………………6分
所以…………………………………7分


．………………………………………9分
因为点在圆上，所以，即．………………10分
因为点在椭圆上，所以，即．…………………………11分
所以．……………………………………12分
因为，所以当时，．………………………14分
因为，所以当时，取得最大值11．……………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或．
不妨设，，． …………………………………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．……………13分
综上可知，的最大值为11．…………………………………………14分
10.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本小题满分12分）
已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M与及y轴都相切.
(I )求点M的轨迹C的方程；
(II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点 分别为P，Q，记.求证是定值.
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：
当不与轴垂直时，直线的方程为，由得
，设，则
∴，
当与轴垂直时，也可得，
对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线，交于一个点或无数个点，而非两个交点）.
综上，有． …12分
11.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为F1（3,0）。
（I）设P是椭圆上任意一点,,其中d,D为常数，且d＋D=6，求椭圆的方程；
（II）设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF1, BF2的中点，若坐标原 点O在以MN为直径的圆上，运用椭圆的几何性质证明线段｜AB｜的长是定值、
12.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）
如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，
，，与交于点.
求点的轨迹方程；
求四边形的面积的最小值.

（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
解法一:
（1）解：设，
∵，
∴是线段的中点. …………… 2分
∴，① …………… 3分
. ② …………… 4分
∵， ∴.
∴. …………… 5分
依题意知，
∴. ③ …………… 6分
把②、③代入①得：，即. …………… 7分
∴点的轨迹方程为. …………… 8分
解法二:
(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,
由于,则直线的斜率为.
…………… 1分
故直线的方程为,直线的方程为.
由 消去,得.
解得或. …………… 2分
∴点的坐标为. …………… 3分
同理得点的坐标为. …………… 4分
∵，
∴是线段的中点. …………… 5分
(2)解：依题意得四边形是矩形，
∴四边形的面积为
…………… 9分
…………… 10分
…………… 11分
. …………… 12分
当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分
∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分
图5
13.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】已知点、，若动点满足．
（1）求动点的轨迹；
（2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小．
依题意得，即，故，解得．
当时，直线：，直线与的距离．
当时，直线：，直线与的距离．
由于，故曲线上的点到直线的距离的最小值为．…12分
当时，方程（*）化为，即，解得．
由，得，故． ……… 13分
∴曲线上的点到直线的距离最小． ……… 14分
14.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
（本小题满分14分）
已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且.
(1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
（ii）设直线l斜率存在，设为，则直线l的方程为 （8分）
由方程组得① （9分）
依题意解得 （10分）
当时，设交点，CD的中点为，
方程①的解为 ，则
15.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且直线的斜率之积为
（1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）两圆的圆心坐标分别为和 （1分）
设动点的坐标为,则直线的斜率分别为
和 (3分)
由条件得，即
所以动点的轨迹M的方程为 （6分）
注：无“”扣1分
（2）假设存在满足条件的直线l易知点在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，所在直线l斜率存在，设为，
则直线l的方程为 （7分）
由方程组得①
16.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】(本小题满分12分)已知椭圆:（）的长轴长为4，离心率为，,分别为其左右焦点.一动圆过点，且与直线相切.
(Ⅰ)(1)求椭圆的方程；（2）求动圆圆心轨迹C的方程；
(Ⅱ)在曲线C上有两点M，N，椭圆上有两点P，Q，满足与共线，与共线,且,求四边形PMQN面积的最小值.
17.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知半径为6的圆C与x轴相切，圆心C在直线3x+y=0上且在第二象限，直线l过点P（2，14）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A、B两点且，求直线l的方程．
解：（I）由题意，设圆心C（m，﹣3m）（m＜0）圆C的半径r=6，
又圆C和x轴相切，则r=6=|﹣3m|
即m=±2，所以m=﹣2，所以圆C的方程为（x+2）2+（y﹣6）2=36
（II）设l方程为y﹣14=k（x﹣2），由d===4
∴k=
又l方程为x=2时也符合题意，故所求直线方程l的方程为x=2或3x﹣4y+50=0
18.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设F2（c，0），
∵直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，
∴，解得c=1．
∵离心率为e=，∴a=，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=﹣，
此时P（﹣，0），Q（，0），=﹣1，不合题意．
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（﹣，m），m≠0，
设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得，
则﹣1+4mk=0，故k=，
此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，
PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m（x+），即y=﹣4mx﹣m．
联立，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．
∴，x1x2=，
由题意=0，
∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2
=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）
=（1+16m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2
=++1+m2
==0，
∴m=．
∵M在椭圆内，∴，
∴m=符合条件．
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（﹣，﹣）和M（﹣，）．
19.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分13分）
已知, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足
（Ⅰ）求点的轨迹的方程;
（Ⅱ）过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标．
20.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为、，点，满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程．
解：(1)设，因为，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
21.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,
椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.
(1)求椭圆的方程；
若过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程；
若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值.
(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
解法2: 抛物线的焦点的坐标为，
设点的坐标为,.
∵,
∴. ① …………… 1分
∵点在抛物线上,
∴. ②
解①②得,.
∴点的坐标为. …………… 2分
∵点在椭圆上， ∴. …………… 3分
又，且， …………… 4分
解得.
∴椭圆的方程为. …………… 5分
设的中点为，则的坐标为.
∵、、、四点共线，
∴, 即. ④ …………… 8分
把④式代入③式，得，
化简得. …………… 9分
当时，可得点的坐标为，
经检验，点在曲线上.
∴动点的轨迹方程为. …………… 10分
∵ ,
∴.
∴, ①
. ② …………… 7分
①②得， ③ …………… 8分
把③代入②化简得. (*) …………… 9分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,
依题意, 可得点的坐标为，
经检验，点在曲线上.
∴动点的轨迹方程为. …………… 10分
22.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：
（II）设直线AB的方程是x﹣2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
【解析】（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0．①
设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根．
所以x1x2=﹣4m．
由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，﹣m），从而.==
所以
23.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (本题满分14分)若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则称弦是点的一条“相关弦”.；
（I）求点的“相关弦”的中点的横坐标；
(II)求点的所有“相关弦”的弦长的最大值。
【解析】（I）设为点的任意一条“相关弦”，且点，,则
，
弦的垂直平分线方程为，
由题它与轴相交于点
令
所以，
24.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
设圆F以抛物线P：的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．
（I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．
解：
（Ⅰ）设圆F的方程为(x－1)2＋y2＝r2（r＞0）．
将y2＝4x代入圆方程，得(x＋1)2＝r2，所以x＝－1－r（舍去），或x＝－1＋r．
圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r＝0，即r＝1．
故所求圆F的方程为(x－1)2＋y2＝1． …4分
（Ⅱ）设过点M(－1，0)与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．
连结TF，则TF⊥MT，且TF＝1，MF＝2，所以∠TMF＝30°． …6分
直线MT的方程为x＝y－1，与y2＝4x联立，得y2－4y＋4＝0．
记直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
y1＋y2＝4，y1y2＝4，x1＋x2＝(y1＋y2)－2＝10． …8分
从而AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－5)．
令y＝0得，x＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E(7，0)．…10分
|AB|＝＝＝8．
又点E到直线AB的距离d＝＝4，所以圆E的半径R＝＝4．
因此圆E的方程为(x－7)2＋y2＝48． …12分

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题10 计数原理和二项式定理 理
一．基础题
1.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】(1—2x)6的展开式中含X3项的系数为
(A) 160 (B)-160 (C)80 (D)-80
【答案】B
【解析】本题考查通项公式，而r=3可求系数为-160.
2.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】由数字、、、、组成无重复数字的五位数，其中奇数有 个．
【答案】36
【解析】．
4.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]由a,a,a,b,b,c六个字母所成的排列中，a在最前，c在最后的有 种
【答案】6
【解析】中间4个字母的排列方法数是种.
5.【安徽省2013届高三开年第一考】二项式的展开式所有有理项的系数和等于 （用数字作答）
6.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若的展开式的常数项为84，则的值为 .
【答案】1
【解析】，令，得其常数项为，
即，解得
7.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】二项式展开式中的第________项是常数项．
8.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】展开式中x4的系数是 (用数字作答).
【答案】10
【解析】展开式中的通项公式：，
令3r－5=4，则r=3，所以展开式中x4的系数是(－1)2C53=10.
二．能力题
1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
的展开式中含的正整数指数幂的项数是( )
A.0 B.2 C.4 D.6
2.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】“n＝10”j “”的展开式中有常数项的（　　）
A.充分不必要条件　　B．必要不充分条件
C.充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】令得∴当为5的倍数时展开式中都有常数项，故选A．
3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知=，则展开式中的常数项为
A. B. C. D.
4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】“2012”含有数字0,1，2，且有两个数字2,则含有数字0,1,2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为（ ）
A.18 B 24 C. 27 D. 36
【答案】A
【解析】由题意可知：有两个2或两个1的四位数共有：个
5.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（　　）
　
A．
36
B．
32
C．
24
D．
20
6.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持 力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远 山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：
边区学校
教师需求情况
观阁中学
3名（其中需1名数学教师）
广兴中学
2名
天池中学
3名（其中需2名英语教师）
龙滩中学
3名（均为物理教师）
现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则 不同派遣方案的种数有
(A)24 种 （B)28 种 （C)36 种 （D)48 种
7.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）在（x﹣1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是　 　．
8.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法种数为 （用数字作答）.
【答案】96
【解析】第一步，A程序有种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有=96种.
9.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图所示，△ABC是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机选取一点连成三角形．下列命题正确的是　　　　　．（写出所有正确命题的编号）
①依此方法可能连成的三角形一共有8个；
②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；
③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；
④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；
⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形．
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题11 概率与统计 文
一．基础题
1.【安徽省2013届高三开年第一考文】右图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎叶图，用，分别表示甲乙得分的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A．>且甲得分比乙稳定 B．=且乙得分比甲稳定
C．=且甲得分比乙稳定 D．<且乙得分比甲稳定
2.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】某地区共有10万户居民,该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查 了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户 中无冰箱的总户数约为
城市
农村
有冰箱
356(户）
440(户)
无冰筘
户）
160(户)
A. 0. 24万户 B 1. 6万户 C. 1. 76万户 D. 4. 4万户
【答案】B
【解析】由分层抽样按比例抽取可得户
3.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎 叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是
(A)93 (B)92 (C)91 (D) 90
4.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（　　）
　
A．
甲地：总体均值为3，中位数为4
B．
乙地：总体均值为1，总体方差大于0
　
C．
丙地：中位数为2，众数为3
D．
丁地：总体均值为2，总体方差为3
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
【解析】
【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是，则高二的学生人数为______．
高一
高二
高三
女生
男生
二．能力题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用 (万元)
4
2
3
5
销售额 (万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)．
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
【答案】B
【解析】由题，计算得：，，代入回归方程。
所以，当，选B.
2.【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】
已知回归直线的斜率的估计值是，样本中心点为，若解释变量的值为，则
预报变量的值约为
A． B． C． D．
3.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考].一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x,y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为
【答案】
【解析】为坐标的点落在直线上的的情形有共3种，所以概率是
4.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】.为促进社会和谐发展，儿童的健康已经引起人们的高度重视，某幼儿园对本园“大班”的100名儿童的体重重做了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则体重在18—20千克的儿童人数为（ ）
A.15 B.25 C.30 D.75
【答案】A
【解析】：设体重在18—20千克的儿童人数为，则=
5.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为，如果是偶数，则把乘以2后再减去2；如果是奇数，则把除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数，对仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数.当时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为，则的值不可能是
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意可知，的取值有四类结果：
6.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.4个单位； ④对分类变量X与Y来说，它们的随机变量的观测值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.
其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.
7.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（　　）
　
A．
90
B．
75
C．
60
D．
45
【答案】A
【解析】由题意可知：被调查的学生中体重不足55kg的频率是（0.04+0.02）×5=0.3，
∴样本容量是=120
∴被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是（0.04+0.06+0.05）×5×120=90
故选A．
　8.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为　　．
9.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0,且分别为，,则实数z的取值范围为____.
三．拔高题
1．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）已知一组样本点（xi，yi）其中i=1，2，3，…，30根据最小二乘法求得的回归方程是=bx+a则下列说法正确的是（　　）
　
A．
若所有样本点都在=bx+a上，则变量间的相关系数为1
　
B．
至少有一个样本点落在回归直线=bx+a上
　
C．
对所有的预报变量 xi（i=1，2，3，…，30），bxi+a的值一定与yi有误差
　
D．
若 =bx+a斜率b＞0则变量x与y正相关
【答案】D
【解析】所有样本点都在=bx+a上，则变量间的相关系数为±1，故A错误；
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；
若所有的样本点都在=bx+a上，则bxi+a的值与yi相等，故C错误；
相关系数r与b符号相同，若 =bx+a斜率b＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确；
故选D
2.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（12分）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率
如下表：
出场顺序
1号
2号
3豪
4号
5号
获胜概率
p
q
若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为
（Ⅰ）求p，q的值
（Ⅱ）甲队以什么样的比分获得决赛胜利的可能性最大？
解：（Ⅰ）由题意可得：，解得p=q=；
（Ⅱ）设A={甲队以3：0取胜}，B={甲队以3：1取胜}，C={甲队以3：2取胜}，
则P（A）=（）3=，P（B）=3×=，
P（C）=6×=．
∵P（B）＞P（C）＞P（A），
∴甲队以3：1获得胜利的可能性最大．
　
3.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分12分）
为了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B,C区中分别有16,24,16个工厂.
求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数；
若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这两个工厂中至少有1个来自A区的概率。
4.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数为4的概率．
【解析】（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以，…（2分）
等级系数为5的恰有2件，所以，…（4分）
从而a=0.35﹣b﹣c=0.1
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．…（6分）
（2）从日用品x1，x2，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，
{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}共10个…（10分）
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其中恰有一件等级为4”，
则A包含的基本事件为：{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}共6个，
故所求的概率．…（12分）
5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】（本小题满分13分）
2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
后得到如图5的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率.
解：（1）系统抽样 (2分)
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 (4分)
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得
即中位数的估计值为 (6分)
（3）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆）， (7分)
车速在的车辆数为：（辆） (8分)
所以，车速在的车辆至少有一辆的概率为.
6.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
（本小题满分12分）
在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：
(1)求参赛总人数和频率分布直方图中，之间的矩形的高，并完成直方图；
(2)若要从分数在，之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在，之间的概率．
(2)将之间的4个分数编号为之间的个分数编号为.则在之间任取两份的基本事件为：
共15个，其中至少有一个在之间的基本事件为:共9个. ………………………10分
故至少有一份分数在之间的概率是.……………………………………12分
7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】
（本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差，
其中.
（本小题满分12分）
(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为， …………… 6分
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
. …………… 9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：
. ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件，则.
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.
……………12分
8.（潮州市2013届高三上学期期末）设事件表示“关于的方程有实数根”．
（1）若、，求事件发生的概率；
（2）若、，求事件发生的概率．
9、（佛山市2013届高三上学期期末）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：
组别
候车时间
人数
一

2
二
6
三
4
四
2
五
1
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
解析：
（1）min．--------3分
（2）候车时间少于10分钟的概率为， ----4分
所以候车时间少于10分钟的人数为人． ---------6分
（3）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包含以下基本事件：，
，
，
，
， ----10分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为． -------12分
10、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差，
其中.
11、（惠州市2013届高三上学期期末）某地区有小学所，中学所，大学所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查。
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率．
（1）解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. …………3分
（2）解：在抽取到得6所学校中，3所小学分别记为 ,
2所中学分别记为大学记为，则抽取2所学校的所有可能结果为
,,,,,,,,,,,,,,.共15种。…………8分
从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件A）的所有可能结果为
,，共3种，所以 …………12分
12、（江门市2013届高三上学期期末）某班几位同学组成研究性学习小组，从[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。得到如下统计表：
组数
分组
环保族人数
占本组的频率
本组占样本的频率
第一组
[25，30)
120
0.6
0.2
第二组
[30，35)
195
第三组
[35，40)
100
0.5
0.2
第四组
[40，45)
0.4
0.15
第五组
[45，50)
30
0.3
0.1
第六组
[50，55)
15
0.3
0.05
⑴求、、、的值；
⑵从年龄段在[40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 [40，45)的概率
13、（汕头市2013届高三上学期期末）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从—批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n的值；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率．
14、（增城市2013届高三上学期期末）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品．
（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；
（2）质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格的概率多大？
15.（肇庆市2013届高三上学期期末）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
后得到如图5的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率.
解：（1）系统抽样 (2分)
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 (4分)
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得
即中位数的估计值为 (6分)
（3）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆）， (7分)
车速在的车辆数为：（辆） (8分)
设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：
共15种 (10分)
其中车速在的车辆至少有一辆的事件有：
共14种 (12分)
所以，车速在的车辆至少有一辆的概率为. (13分)
16.（中山市2013届高三上学期期末）某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知，，求高三年级中女生比男生多的概率．
17、（珠海市2013届高三上学期期末）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等
级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零
件等级恰好相同的概率.
参考答案：
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，
记作.
从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：
共计种. ………………9分
记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.
则包含的基本事件为共4个. ………………11分
故所求概率为 . ………………12分
18.（东莞市2013届高三上学期期末）
某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数，满分为 100分），从中随机抽取—个容量为120的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），［70，80），[80，90），［90，100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
(l)算出第三组[60,70）的频数，并补全
频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的
众数和平均数，
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计
值为分. ……………8分
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:

（分）. ………11分
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分
19、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差，
其中.
（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为， …………… 6分
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
. …………… 9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：
. ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件，则.
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.
……………12分
20.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
【解析】（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3
第四组的频率为0.04×5=0.2
第五组的频率为0.02×5=0．
（2）第三组的人数为0.3×100=30
第四组的人数为0.2×100=20
第五组的人数为0.1×100=10
因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组
第四组
第五组
所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．
（3）设第三组的3位同学为A1，A2，A3，第四组的2位同学为B1，B2，
第五组的1位同学为C1
则从6位同学中抽2位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2）（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共15种可能
其中第四组的2位同学B1，B2中至少1位同学入选有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能
所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为
21.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (本题满分14分)设不等式组表示的区域为，不等式组表示的区域为．
22.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于49分的整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100)后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分
的人数；
(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
……12分
23.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
（本小题满分12分）
从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）为了分析使用寿命差异较大的产品，从使用寿命低于200天和高于350天的产品中用分层抽样的方法共抽取6件，求样品A被抽到的概率。
解：
（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280．
因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分
（Ⅱ）使用寿命低于200天的一组中应抽取6×＝2． …7分
记使用寿命低于200天的5件产品A，B，C，D，E．
从中选出2件的不同情形为：
AB，AC，AD，AE，
BC，BD，BE，
CD，CE，
DE，
共10种可能．
其中某产品A被抽到的概率为P＝＝． …12分
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题11 概率与统计 理
一．基础题
1.【安徽省2013届高三开年第一考】某校高一（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年元月1日起执行的新交规的知晓情况。已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
2.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（　）
A. 780　 B. 680 　C. 648 　D. 460
3.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为， 方差为S2，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
4.【惠州市2013届高三第三次调研考试】某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）
A．19、13 B．13、19
C．20、18 D．18、20
【答案】A
【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A．
5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（　　）
　
A．
90
B．
75
C．
60
D．
45
　6.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】为了了解“预防禽流感疫苗”的
使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根
据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．
7.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为
【答案】85，
【解析】成绩平均分85 ，方差为
8.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是，现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．
高一
高二
高三
女生
男生
【解析】依表知，，于是，
，高二抽取学生人数为．
二．能力题
1.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和m，则函数在[1，+∞)上为增函数的概率是
A. 　　 B. C. 　　 D.
2.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该队员的每次罚球命中率为，则两次罚球中之多命中一次的概率为=，解得=，故选B.
3.【广州市2013届高三年级1月调研测试】在区间和分别取一个数,记为,
则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为
A． B． C． D．
4.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】变量U与V相对应的一组样本数据为（1，1.4），（2，2.2），（3，3），（4，3.8），由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2=（　　）
　
A．
B．
C．
1
D．
3
【答案】C
【解析】在线性回归中，相关指数R2等于相关系数，
由x1=1，x2=2，x3=3，x4=4得：，
y1=1.4，y2=2.2，y3=3，y4=3.8得：，
所以相关系数===1．
故选C．
5.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为（　　）
　A、　　 B、　　 C、　　 D、
【答案】B
【解析】 从8个顶点中任取两点有种取法，其线段长分别有1，2，3，，，，，①其中12条棱线，长度都；②其中4条，边长(1, 2)对角线；故长度的有，故两点距离大于3的概率.
6.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为　　．
三．拔高题
1.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .
填．
【解析】设遮住部分的数据为，，
由过得
∴，故.
2.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 已知数列满足，一颗质地均匀的正方体骰子，其六 个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c则 满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}的概率是
(A) (B) (C) (D)
3.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．
解：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，
设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：
∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：
（Ⅱ）乙所得分数为η
η可能的取值﹣4，0，4，8，12，
P（η=﹣4）==，
P（η=0）==
P（η=4）=C42=
P（η=8）==
P（η=﹣4）==
分布列如下：
∴Eη=．
4．【惠州市2013届高三第三次调研考试】（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率。
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 ……11分
所以所求概率为．……………………………………………………………………13分5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 (本小题满分12分）
PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）
(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的 分布列；
6.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分12分）
NBA总决赛采用7战4胜制，即两队中有一队胜4场则整个比赛结束．假设2013年总决赛在甲、乙两个球队间进行，根据以往总决赛的战绩，甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是，记需要比赛的场数为X.
（I）求X的最小值，并求X取最小值时的概率；
（II）求X的分布列和数学期望．
解析：（Ⅰ）依题意可知：的最小值为4.
当时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由互斥事件的概率计算公式可得.……………… 5分
7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
中学




人数





为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四
所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.
（1）问四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率；
（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学
生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列.
（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）
（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为.
∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. …………… 4分
(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别
为.
依题意得，的可能取值为， …………… 8分
， ，.
…………… 11分
∴的分布列为：


…………… 12分
8.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】 近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．
（1）如果甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这人中恰有人是低碳族的概率；
（2）小区经过大力宣传，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列．如
果周后随机地从小区中任选个人，记表示个人中低碳族人数，求．
9.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）．
解:（1）系统抽样 (2分)
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 (4分)
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得
即中位数的估计值为 (6分)
10.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】(本小题满分12分)甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子，乙也一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.
(Ⅰ)若甲、乙两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时乙胜，求甲获胜的概率；
(Ⅱ)若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一只，直到取到红球为止，求甲取球次数的数学期望.
11.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
1
2
3
P
………………5分
因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
0
1
2
3
P
………………8分
（Ⅱ）因为
所以 ………………10分
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………10分
12.【湖北省黄冈市2012年秋季2013届高三年级期末考试】（本小题满分12分）盒中有大小相同的编号为1，2，3，4,5，6的六只小球，规定：从盒中一次摸出'2只球，如果这2只球的编号均能被3整除，则获一等奖，奖金10元，如果这2只球的编号均为偶数，则获二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖．
(1)若某人参加摸球游戏一次获奖金x元，求x的分布列及期望；
（2）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率．
（1）易知X的可能取值为0，2， 10，
X的分布列为
X
0
2
10
P（X）
期望EX=（元）………6分
（2）设摸一次得一等奖为事件A，摸一次得二等奖为事件B，
则
某人摸一次且获奖为事件，显然A、B互斥 所以
故某人摸一次且获奖，他获得一等奖的概率为：
………………12分
13.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
（本小题满分12分）
从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．
解：
（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0. 1＝280．
因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分
14.【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望．
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为
，
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题12 算法框图及推理与证明、复数
一．基础题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】复数 (　　)
(A)　　　(B) 　　　(C)0　　　(D)
2.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】i是虚数单位，复数等于（　　）
　
A．
﹣1﹣i
B．
1﹣i
C．
﹣1+i
D．
1+i
【答案】D
【解析】复数===i﹣i2=1+i，
故选D．
3.【安徽省2013届高三开年第一考文】复数的实部和虚部分别为（ ）
A． B． C． D．
4.【安徽省2013届高三开年第一考】
设i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】，其虚部为1，选A
5.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）
A．6 B．-6 C．5 D．-4
【答案】A
【解析】为纯虚数，故
6.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】.是虚数单位，等于
A. B. C. D.
7.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输出的值为0，则判断框内为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时， i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.
8.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】复数=（　　）
　
A．
﹣i
B．
i
C．
﹣i
D．
i
【答案】B
【解析】．
故选B．
9.(汕头市2013届高三上学期期末）已知，，若均为正实数），类比以上等式，可推测a,t的值，则=_________.
【答案】-29
【解析】类比等式可推测，则
11.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
设（是虚数单位），则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
12.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】
A． B． C． D．
【解析】．
13.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知i为虚数单位，则复数ii对应的点位于
A．第一象限
B． 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
14.[ 2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试]若复数z=m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则=（　　）
　
A．
i
B．
﹣i
C．
2i
D．
﹣2i
【答案】A
【解析】【解析】复数z=m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）=0且（m﹣1）≠0，
解得m=0，故z=﹣i，故=﹣=﹣=i．
故选A
15.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图所示程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）
A. 3 　　B. 11　 C. 38 　D. 123
【答案】D
【解析】第一步：，第二步：，第三步：，输出．
16.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据数学归纳法的步骤可知，则为偶数）下一个偶数为，故答案为B.
17.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
18.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
20.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）复数=（　　）
　
A．
﹣4+2i
B．
4﹣2i
C．
2﹣4i
D．
2+4i
【答案】A
【解析】复数===﹣4+2i，
故选A．
21.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】
计算等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，选B.
22.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】已知某算法的程序框图如图所示，当输入x的值为13 时，则输出y的值为_____
【答案】
【解析】本题考查算法的程序框图，容易得到x=-2,后面就可以得到解答。
23.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】已知是实数，是纯虚数，则等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为是纯虚数，所以设.所以，所以，选B.
25.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】如图所示是一个箅法的流程图，则输出s的值是____.
【答案】
【解析】由流程图可得
二．能力题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．
【答案】4
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是
A． B． C． D．
3.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（　　）
　
A．
3
B．
﹣3
C．
﹣2
D．
2
【解析】开始条件：s=0，i=1，（i≤6）
i=1，i是奇数，可得s=0+1=1，
i=2，i是偶数，可得s=1﹣2=﹣1，
i=3，可得s=﹣1+3=2，
i=4，s=2﹣4=﹣2，
i=5，s=﹣2+5=3，
i=6，s=3﹣6=﹣3，i=7，输出s=﹣3，
故选B；
4.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A） （B） （C） （D）
5.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】阅读右边的程序框图，
运行相应的程序，则输出的值为
【答案】9
6.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）
(A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9
7.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出
的的值分别为
A. 　　 B.
C. 　　 D.
【答案】B
【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选B.
8.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】本程序为分段函数，当时，由得，，所以。当时，由，得。所以满足条件的有3个，选C.
9.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图,输出的值为 .
【答案】－2
10.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】
执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求的程序，所以，选B.
11.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】
执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中
① 处可以填入（ ）
（A）（B）（C）（D）
12.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】如右图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为? （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据流程图可知故判断框为，答案为B.
13.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】复数所对应复平面内的点在第二象限，则（　　）
　
A．
m＜4
B．
m＜0
C．
﹣1＜m＜4
D．
m＜﹣1
14.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（　　）
　
A．
n＞10
B．
n≤10
C．
n＜9
D．
n≤9
【答案】D
【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构
判断框内为满足循环的条件
第1次循环，m=1+1=2 n=1+1=2
第2次循环，m=2+2=4 n=2+1=3
…
当执行第10项时，n=11
n的值为执行之后加1的值，
所以，判断条件应为进入之前的值
故答案为：n≤9或n＜10，
故选D．
　15.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（　　）
　
A．
T＞0？，
B．
T＜0？，
C．
T＜0？，
D．
T＞0？，
【答案】D
【解析】根据已知中男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示
可得满足条件1时，表示该分数为男生分数，
又由男生的成绩用正数，故条件1为T＞0
统计结束后，M为正数，而W为负数（女生成绩和的相反数）
故此时A=
故选D
16.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】已知i是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】复数的共轭复数是a + bi(a，bR)，i是虛数单位，则点（a，b)为
A. (1，2) B. (2，-i) C.(2,1) D.(1，-2)
【答案】C.
【解析】，其共轭复数为，即，所以.
18.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9，则判断框内m的取值 范围是
A. (42,56] B. (56,72] C (72,90] D. (42,90)
【答案】B
【解析】∵当时，k=8，
当时，k=9,∴
19.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，时，等于（ C ）
A.11 B.10 C.8 D.7
【答案】C
【解析】因为初始时不满足，则继续输入；若，则，继续得，即8.5=，解方程得出，而当时，，故选C
20.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】右图的程序运行的结果是
A. B. C. D.
21.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（　　）
　
A．
1
B．
C．
i
D．
i
【答案】B
【解析】==，同理可得=，
由中点坐标公式可得C：=
故点C对应的复数是
故选B
22.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为
A．13 B．11 C．8 D．4
【答案】A
【解析】根据流程图可知，

23[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（　　）
　
A．
1 20
B．
720
C．
1440
D．
5040
【答案】B
【解析】由如图所示的循环结构程序图，知：
第一次循环：p=1×1=1，k=1+1=2，
第二次循环：p=1×2=2，k=2+1=3，
第三次循环：p=2×3=6，k=3+1=4，
第四次循环：p=6×4=24，k=4+1=5，
第五次循环：p=24×5=120，k=5+1=6，
第六次循环：p=120×6=720，k=6=N=6．
结束循环，输出p=720．
故选B．
24.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】按如图程序图来计算：
如果x=5，应该运算　 　次才停止？
　
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
　25.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】执行由图中的算法后，若输出的值大于10，则输入的取值范围是 ；
【解析】由题，因此
或
解之得：或
所以
26.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 (　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n=4，
此刻输出s=27.
27.【惠州市2013届高三第三次调研考试】阅读右图程序框图． 若输入，则输出的值为________．
【答案】3
【解析】
28.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为
A. B. C. D
【答案】B.
【解析】依题意，有，故.
三．拔高题
1.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】若复数（i为虚数单位），则|z|=______.
2．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（12分）根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2013；y1，y2，…，y2013
（Ⅰ）写出数列{xn}，{yn}的通项公式（不要求写出求解过程）
（Ⅱ）求数列{xn﹣yn}的前n项和Sn（n≤2013）
解：（Ⅰ）xn=2n﹣1，yn=3n﹣1，（n≤2013）．
（Ⅱ）∵xn﹣yn=2n﹣3n，
∴Sn=（2+4+6+…+2n）﹣（3+32+33+…+3n）
=﹣
=n（n+1）﹣（n≤2013）．
3.【广州市2013届高三年级1月调研测试】图2是一个算法的流程图，则输出的值是 .

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）
专题13 选修部分
一．基础题
1.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】(坐标系与参数方程选讲选做题)
已知曲线C的极坐标方程是ρ=6sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)上，则直线l与曲线C相交所得的弦的弦长为_______.
2、【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】(几何证明选讲选做题)
如右图，O是半圆的圆心，直径，PB是圆的
一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=____.
【解析】连结BC，在Rt△ABC中，，
AC=4，由勾股定理得，，
由射影定理BC2=AC·CP，得CP=2，
再由切割线定理PB2=PC·PA=2×6=12，即.
3.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 （坐标系与参数方程）在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为 .
【解析】在直角坐标系中，圆：，圆心，直线：，所以，所求为
5.【汕头市2013届高三上学期期末】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，于点D，且AD=3DB，设，则=________.
【答案】.
【解析】设半径为r，则，由得，从而
，故.
6.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____
7. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则 .
【答案】4
【解析】 ∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.
而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=.
8.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】选做题（请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，只计（1）题分）
（1）在平面直角坐标系xoy中，，则直线倾斜角的余弦值为　　．
（2）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|，则f（x）的取值范围是　　．
9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（几何证明选讲选做题）
如图3，已知是⊙的一条弦，点为上一点，
，交⊙于，若，，
则的长是

【答案】
【解析】如图，因为 ，所以是弦中点，
由相交弦定理知，
即，故
10．【广州市2013届高三年级1月调研测试】（坐标系与参数方程选讲选做题）
已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .
11.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】极坐标方程表示的图形的面积是＿＿＿＿
12.【惠州市2013届高三第三次调研考试】（几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为 ．
【答案】D
【解析】∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，
∴，∴，在△POD中由余弦定理，
得：
=．
解析2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵，
∴，
可得，，在中，
∴．答案：．
13．【惠州市2013届高三第三次调研考试】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为 ．
二．能力题
1.．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（10分）如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求证：AB?AD=AC?AE
（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．
（Ⅰ）证明：由弦切角定理可知∠CDF=∠CAD
∵∠CDB=∠CAB，∠FDC=∠BDC
∴∠CAD=∠EAB
∵∠ACD=∠ABD
∴△CDA∽△BEA
∴
∴AB?AD=AC?AE；
　2．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|?|PB|的值．
解：（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）
∵直线l过点P，且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）
∵伸缩变换，∴
代入=1，可得，即x′2+y′2=4
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；
（Ⅱ）直线l的参数方程为，代入曲线C可得t2+（）t﹣2=0
设方程的根为t1，t2，则t1+t2=；t1t2=﹣2
∴|PA|?|PB|=|t1||t2|=2
　
3．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]已知实数a＞0且函数f（x）=|x﹣2a|﹣|x+a|的值域为P={y|﹣3a2≤y≤3a2}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）﹣f（1﹣m）≤n成立，求实数n的取值范围．
4[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．
（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．
　
5．[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]已知圆锥曲线是参数）和定点，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．
（1）求经过点F2且垂直地于直线AF1的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
解：（1）圆锥曲线化为普通方程，
所以F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线AF1的斜率，
于是经过点F2垂直于直线AF1的直线l的斜率，直线l的倾斜角是120°，
所以直线l的参数方程是（t为参数），
即（t为参数）．（6分）
（2）直线AF2的斜率，倾斜角是150°，
设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，则，ρsin（150°﹣θ）=sin30°，（8分）
所以直线AF2的极坐标方程：（10分）
　
6．[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（10分）设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
7.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，AB是的直径，AC是弦，直线CE和切于点C， AD丄CE，垂足为D.
(I) 求证:AC平分；
(II) 若AB=4AD，求的大小.
（Ⅰ）连接，∵是的直径，∴.
∴
∵，∴，
∵是弦，且直线和切于点，
∴
∴，即平分； …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，由此得.
∵，∴，于是，
故的大小为． …10分
8.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本题满分10分)选修4 －4 ：坐标系与参数方程将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.(I)求直线l与曲线C的方程；
(II)求C上的点到直线l的最大距离.
（Ⅱ）设曲线上任一点为，
它到直线的距离为，
其中满足：.
∴当时，. …10分
9.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.
10.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题积分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22. (本小题满分10分)（选修4—4：极坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆上的点到直线的距离的取值范围.
23. (本小题满分10分)(选修4—5：不等式选件)已知函数=.
(Ⅰ)求不等式≤6的解集；
(Ⅱ)若关于的不等式＜||的解集非空，求实数的取值范围.
11.【河北省唐山市2012—201?3学年度高三年级期末考试】
）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD2=DE2=AE×EC;
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线Cl的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为为参数）。
（I）当时，求曲线Cl与C2公共点的直角坐标；
（II）若，当变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．
（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0． ①
当α＝时，曲线C2的普通方程为y＝x． ②
由①，②得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)． …4分
（Ⅱ）C1是过极点的圆，C2是过极点的直线．
设M(ρ，θ)，不妨取A(0，θ)，B(2ρ，θ)，则2ρ＝2cosθ． …7分
故点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ（θ≠）．
它表示以(，0)为圆心，以为半径的圆，去掉点(0，0)． …10分
选修4-5:不等式选讲
设
（I）当，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈R，恒成立，求实数a的最小值．
12.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】（10分）选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．
（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．
　13.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】平面直角坐标系中，将曲线（a为参数）上的每～点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为p=4sinθ．
（I）求Cl和C2的普通方程．
（Ⅱ）求Cl和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程．
【解析】（1）若将曲线（a为参数）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1：，故曲线C1：（x﹣2）2+y2=4
又由曲线C2的方程为ρ=4sinθ，故曲线C2：x2+y2=4y．
（2）由于Cl和C2公共弦的垂直平分线经过两圆心，
则Cl和C2公共弦的垂直平分线的方程是：x+y=2，
故其极坐标方程为：．
　14.（10分）设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．
（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值．