北师大版数学七年级下册专题专练—微专题7　“三线合一”的应用(含答案)

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北师大版数学七年级下册专题专练
微专题7　“三线合一”的应用
类型1　求线段的长或角的度数
1. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数.
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长.
类型2　说明线段或角相等
3. 如图，AB＝AC，BD＝DC，若DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E. 试说明：DE＝DF.
4. 如图所示，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB与AC的大小关系，并说明理由.
5. 如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.试说明：
(1)∠CAE＝∠CBF；
(2)AE＝BF.
类型2　说明两线垂直
6. 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点.说明AF⊥CD的理由.
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线与BC相交于点F.
试说明：DF⊥BC.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，E，F分别为AB，AC上的点，且BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，求证：DG⊥EF.
类型4　说明角的倍半关系
9. 如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D. 试说明：∠DBC＝∠BAC.
10. 在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB＋BD. 试说明：∠B＝2∠C.
类型5　说明线段的倍半关系
11. 如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D. 试说明：BF＝2CD.
参 考 答 案
1. 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，又∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.
2. 解：∵AD＝DB＝BC，CD＝4，且△BDC的周长为24，∴AD＝DB＝BC＝10，∴AC＝AD＋CD＝14，∵AB＝AC，∴AB＝14，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝AB＝7.
3. 解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD平分∠BAC，又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴DE＝DF.
4. 解：AB＝AC. 理由如下：过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AD＝AE，∴DF＝FE，又∵BD＝CE，∴DF＋BD＝FE＋EC，∴BF＝CF，又∵AF⊥BC，∴AB＝AC.
5. 解：(1)∵CH是等腰△ABC底边上的高线，∴∠ACH＝∠BCH，在△ACP和△BCP中， ∴△ACP≌△BCP(SAS)，∴∠CAE＝∠CBF；
(2)在△AEC和△BFC中， ∴△AEC≌△BFC(ASA)，∴AE＝BF.
6. 解：连接AC，AD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD，∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.
7. 解：过点A作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴DF∥AM，∵AM⊥BC，∴DF⊥BC.
8. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE与△CFD中， ∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF，又∵G为EF的中点，∴DG⊥EF.
9. 解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴∠CAE＝∠BAC，又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBE＋∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CAE，∴∠DBC＝∠BAC.
10. 解：以A为圆心，AB为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB. ∵AB＝AE，AD是BC边上的高，∴BD＝DE，∠B＝∠AEB，又∵CD＝AB＋BD＝DE＋CE，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠C，又∵∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C，∴∠B＝∠AEB＝2∠C.
11. 解：延长BA，CD交于点E. ∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠CBD＝∠EBD，∠BDC＝∠BDE，又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(ASA)，∴BC＝BE，DE＝DC，又∵∠BAC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF，又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE(ASA)，∴BF＝CE，∴BF＝2CD.
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