6.1平面向量的概念 同步练习 （Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列条件中能得到的是（ ）
A． B．与的方向相同；
C．，为任意向量 D．且
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
4．下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
5．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ， 满足（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．下列命题正确的是
A．若都是单位向量，则
B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同
C．向量与是两个平行向量
D．若，则四点是平行四边形的四个顶点
9．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（ ）
A．2 B．－2
C．4 D．－4
10．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
12．已知非零向量与满足且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．以上均有可能
二、填空题
13．已知非零向量满足，则_____________.
14．如图所示，在ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集，向量集合T={，，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为______.
15．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.
（1）若与都是单位向量，则.（ ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.（ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（ ）
（4）若与是平行向量，则.（ ）
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量.（ ）
16．如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB的中点，在以A B C D E F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
17．如图，、、分别是的边、、的中点，写出与共线（平行）的向量.
三、解答题
18．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与、、相等的向量．
19．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
20．如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，分别写出图中与，相等的向量以及与的模相等的向量.
21．如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据相等向量的概念，即可得到结果.
【详解】
由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.
故选：D.
2．B
根据相等向量的有关概念判断．
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
3．D
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
4．D
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
5．B
根据向量的线性运算方法，分别求得，；
再由，得到，即可求解.
【详解】
由，，，
可得，；
若三点共线，则，可得，化简得.
故选：B.
6．C
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.
【详解】
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
7．C
既有方向，又有大小的量为向量
【详解】
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
8．C
利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D.
【详解】
对于A，单位长度为的向量为单位向量，
都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；
对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；
对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；
对于D，，若四点在同一条直线上，
不能构成平行四边形，故D不正确；
故选：C
本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题.
9．C
根据向量共线定理的坐标表示进行求解即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以,
又因为，
所以，解得：.
故选：C.
10．C
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
11．A
对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则；显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键.
12．C
和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。
【详解】
由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形.
故选：C
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。
13．
设,则,由可得为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可
【详解】
如图,设,则,
∵,
∴,∴为等边三角形,
设其边长为1,则,
∴
故答案为:
本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用
14．12个
通常用有向线段表示向量，结合排列组合知识运算出有向线段共20条，由元素的互异性，找出相等向量8对，除去即可．
【详解】
解：由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的向量，共有个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等，即，，，，，，，.集合中元素具有互异性，故集合中的元素共有个.
故答案为：
本题考查了集合中元素的互异性及排列组合知识，属于中档题．
15．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√.
（1）根据相等向量的定义判断即可；
（2）根据方位角的定义和共线向量的定义判断即可；
（3）根据向量的定义直接判断即可；
（4）根据平行向量和相等向量的定义判断即可；
（5）根据相等向量的定义进行判断即可；
（6）根据向量的定义直接判断即可.
【详解】
解：（1）×因为单位向量的长度（模）尽管都是1，但方向不一定相同.
（2）√因为两个向量的方向相反，所以是共线向量.
（3）×因为x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量.
（4）×因为同向或反向的向量是平行向量，a与b的方向不一定相间，模也不一定相等，所以不一定成立.
（5）√假设点M与N重合，则，这与与不相等矛盾.所以点M与N不重合.
（6）√因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量.
故答案为：×；√；×；×；√；√
本题考查了相等向量的定义，考查了向量的定义，考查了平行向量的定义，考查了单位向量的定义，属于基础题.
16．5
由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】
由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
17．，，，，，，.
根据题意，找出与方向相同和方向相反的向量即可.
【详解】
根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有，，，，，，.
故答案为：，，，，，，.
18．答案见解析.
根据向量相等的定义直接求解即可.
【详解】
由图
可得；；.
19．(1)，，，，
(2)证明见解析
（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
(1)
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
(2)
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
20．；；与的模相等的向量有，，，.
根据相等向量的定义和模相等的概念，进而结合图形得到答案.
【详解】
如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，所以，
根据中位线定理可知，，，
于是，；；
与的模相等的向量有，，，.
21．
因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为，再根据平面向量模的概念即可得到结果.
【详解】
因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为；
所以，
由勾股定理可知，，.
答案第1页，共2页
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